Espaces vectoriels

Motivation.

Notation: Dans ce chapitre, on note encore \(\K=\R\) ou \(\C\text{,}\) et on continue de l'appeller l'ensemble des scalaires.

Sur des objets mathématiques très différents, on peut effectuer des opérations similaires:

1. Polynômes. On note \(\R_3[X]\) l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 3.

• On peut sommer deux polynômes de degré 3:

  Indication.
  \begin{gather*} P=a_0+a_1X+a_2X^2+a_3X^3,\ Q=b_0+b_1X+b_2X^2+b_3X^3\\ {\color{blue}{\triangleright}}\ P+Q=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)X+(a_2+b_2)X^2+(a_3+b_3)X^3 \end{gather*}

• On peut multiplier un polynôme de degré 3 par un réel \(\lambda\text{:}\)

  Indication.
  \begin{gather*} P=a_0+a_1X+a_2X^2+a_3X^3,\ \lambda\in\R\\ {\color{blue}{\triangleright}}\ \lambda P=\lambda a_0+\lambda a_1X+\lambda a_2X^2+\lambda a_3X^3 \end{gather*}

2. Vecteurs du plan \(\R^2\)

3. Matrices de taille \(3\times 2\) à coefficients complexes:

• On peut sommer deux matrices 3 x 2:

  Indication.
  \begin{align*} A = \begin{pmatrix} a_{11}\amp a_{12}\\a_{21}\amp a_{22}\\a_{31}\amp a_{32}\end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix}b_{11}\amp b_{12}\\b_{21}\amp b_{22}\\b_{31}\amp b_{32}\end{pmatrix}\\ {\color{blue}{\triangleright}}\ A+B=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}\amp a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}\amp a_{22}+b_{22}\\a_{31}+b_{31}\amp a_{32}+b_{32}\end{pmatrix} \end{align*}

• On peut multiplier une matrice 3 x 2 par un scalaire \(\lambda\text{:}\)

  Indication.
  \begin{align*} A \amp = \begin{pmatrix} a_{11}\amp a_{12}\\a_{21}\amp a_{22}\\a_{31}\amp a_{32}\end{pmatrix},\ \lambda\in\C\\ {\color{blue}{\triangleright}}\ \lambda A \amp =\begin{pmatrix} \lambda a_{11}\amp \lambda a_{12}\\\lambda a_{21}\amp \lambda a_{22}\\\lambda a_{31}\amp \lambda a_{32}\end{pmatrix} \end{align*}

Mais aussi: les fonctions \(\R\rightarrow\R\text{,}\) les suites de réels...¹

Ces opérations, bien que très diverses, ont des propriétés communes:

Pour chacun de ces ensembles \(E\)

(A1)

(Associativité) \(\forall u,v,w\in E, (u+v)+w=u+(v+w)\text{;}\)

(A2)

(Element neutre) Il existe un élément \(0_E\in E\) tel que

\begin{equation*} \forall u \in E, u+0_E=0_E+u=u; \end{equation*}

(A3)

(Opposé) Chaque élément \(u\in E\) a un opposé:

\begin{equation*} \forall u \in E,\exists u'\in E,u+u'=0_E; \end{equation*}

(A4)

(Commutativité) \(\forall u,v\in E, u+v=v+u\text{.}\)

(M1)

Pour tout \(u\in E\text{,}\) \(1\cdot u = u\text{;}\)

(M2)

Pour tous \(\lambda,\mu\in \K\text{,}\) \((\lambda \mu)u=\lambda(\mu\cdot u)\)

(M3)

Pour tous \(\lambda,\mu\in \K\text{,}\) pour tout \(u\in E\text{,}\) \((\lambda+\mu)u=\lambda u+\mu u\text{;}\)

(M4)

Pour tout \(\lambda \in \K\text{,}\) pour tous \(u,v\in E\text{,}\) \(\lambda(u+v)=\lambda u+ \lambda v\text{.}\)

\(\leadsto\) On va s'intéresser à tous les ensembles qui possèdent ce "type" d"opérations.

On va leur donner un nom: espaces vectoriels.