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Motivation.

En mathématiques, le but du jeu est souvent de résoudre une équation, ou plusieurs (on parle alors de système d'équations).

Et généralement, cela n'a rien d'évident: rien que pour des équations polynomiales, on sait résoudre \(ax+b=c\text{,}\) on sait quoi faire devant \(ax^2+bx+c=d\text{,}\) ça commence à se compliquer pour les équations de degré 3...

Mais dès le degré 5, non seulement on ne sait pas faire, mais un théorème dû à Abel et Galois affirme qu'il n'existe aucune formule générale, du type \(\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\text{,}\) qui permette de calculer les solutions à partir des coefficients de l'équation !

Et encore, pour ces équations, il n'y a qu'une inconnue. Mais quelles sont les solutions de

\begin{equation*} x^3+3xyz +2y^2z^5 =4 ? \end{equation*}

Ou encore de

\begin{equation*} \begin{cases} \sin(x)e^y -3x\cos(xy)=2\\ 4x^y+\pi y^x = 56 \end{cases} \quad ? \end{equation*}

...Moi non plus.

Les systèmes d'équations linéaires sont un cas particulier pour lequel on dispose d'une méthode de résolution qui marche à tous les coups, tout en étant suffisamment généraux pour s'appliquer dans de nombreux domaines: de l'équilibrage d'équations de réaction en chimie, aux modèles économiques à la Leontieff, ils permettent de modéliser un grand nombre de situations.

Comme on le verra, ils sont de plus la base calculatoire de l'algèbre linéaire, un domaine permettant d'unifier l'étude d'objets mathématiques à première vue très différents. Ce sera l'objet de chapitres ultérieurs.

Commençons donc par apprendre à les résoudre.