Section 2 Systèmes linéaires à \(n\) équations et \(p\) inconnues.
Dans cette section, on note \(\mathbb{K}=\mathbb R\) ou \(\mathbb C\text{.}\)
Définition 2.1.
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On appelle équation linéaire d'inconnues \((x_1,\ldots, x_p)\) toute équation de la forme
\begin{equation*} a_{1}x_1+a_{2} x_2\dots + a_{p}x_p=b. \end{equation*}où \(a_1,\ldots,a_p,b \in \mathbb K\text{.}\)
-
Un système de \(n\) équations linéaires à \(p\) inconnues est une liste de \(n\) équations linéaires:
\begin{equation*} (S) \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12} x_2\dots + a_{1p}x_p=b_1\\ \vdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2} x_2\dots+a_{np}x_p = b_n \end{cases} \end{equation*}Les \(a_{ij}\in \mathbb K\) sont appelés les coefficients de \((S)\text{,}\) les \(b_i\in \mathbb K\) forment le second membre.
Exemple 2.2.
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\(8x+\sqrt{2}y-55z=1\) est une équation linéaire d'inconnues \(x,y,z\text{.}\) De même,
\begin{equation*} \begin{cases} \begin{array}{rcrcr} 3x\amp -\amp 4y\amp =\amp \frac17\cr \sqrt{5}x\amp +\amp e^{13} y \amp =\amp \frac{\pi}6\cr \sin(1)x\amp -\amp 2y \amp =\amp 54\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}est un système linéaire à 3 équations et 2 inconnues.
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En revanche, l'équation \(\sqrt{x}-3y=2\) n'est pas linéaire. De même, le système
\begin{equation*} \begin{cases} xy+2z=3\\ x^2-z^3=1 \end{cases} \end{equation*}n'est pas linéaire.
✑ Donner d'autres exemples
Définition 2.3.
Une solution de \((S)\) est un \(p\)-uplet \((s_1,\ldots,s_p)\in \mathbb K^p\) vérifiant simultanément les \(n\) équations linéaires qui composent \((S)\text{.}\) L'ensemble des solutions de \((S)\) est, sans grande surprise, l'ensemble de tous ces \(p\)-uplets.
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Deux systèmes \((S)\) et \((S')\) sont équivalents s'ils ont le même ensemble de solutions:
\begin{equation*} (s_1,\ldots,s_p) \text{ solution de } (S) \iff (s_1,\ldots,s_p) \text{ solution de } (S') \end{equation*}
Remarque 2.4.
Une équation linéaire à deux inconnues est, on l'a vu, une équation de droite dans le plan. Une équation linéaire à 3 inconnues \(x,y,z\) est de la forme
c'est l'équation d'un plan dans l'espace.
Du coup, de même qu'un système de deux équations à deux inconnues s'interprète géométriquement comme l'intersection de deux droites dans le plan, un système linéaire à 2 équations et 3 inconnues, de la forme
représente l'intersection de deux plans dans l'espace.
Par exemple, ci-dessous, les plans \(P_0:-x+y-z=1\) (en bleu) et \(P:ax+by+cz=d\) (en violet):
✑ Pour quelles valeurs de \(a,b,c,d\) a-t-on des solutions ?
✑ Peut-on avoir une solution unique ?
Par analogie, une équation linéaire à \(p\) inconnues est aussi appelée équation d'hyperplan dans \(\mathbb K^p\text{.}\) Un système linéaire à \(n\) équations et \(p\) inconnues décrit donc l'intersection de \(n\) hyperplans: on y reviendra dans les chapitres suivants sur les espaces vectoriels de dimension finie.
Sous-section 2.1 Systèmes échelonnés
Avant de s'attaquer à la résolution générale de systèmes linéaires, voyons un cas facile à résoudre:
qui nous donne, en remontant, une unique solution: \((1,-3,3)\text{.}\)
De même, le système suivant n'a, clairement, aucune solution, puisque sa dernière ligne est fausse 1
Un chouïa plus dur, mais pas beaucoup plus:
On n'a ici pas de valeurs unique pour \(x_3\text{,}\) mais on voit qu'on peut l'exprimer en fonction de \(x_4\text{:}\) la dernière ligne donne \(x_3=1-2x_4\text{.}\)
De là, on peut exprimer \(x_2\) en fonction de \(x_3\) et \(x_4\text{,}\) et en remplaçant \(x_3\) par \(1-2x_4\text{,}\) on exprime \(x_2\) seulement en fonction de \(x_4\text{:}\) on trouve \(x_2=2+3x_4\text{.}\)
Enfin, on utilise la première ligne pour faire de même avec \(x_1,\) ce qui donne \(x_1=-5x_4-4\text{.}\)
Il y a donc une solution pour chaque valeur de \(x_4\text{:}\) l'ensemble des solutions est donc infini.
Donnons un nom à ces sympathiques systèmes:
Définition 2.6.
Un système linéaire est échelonné si le nombre de coefficients nuls en début d'équation croît strictement à chaque ligne.
Le premier coefficient non nul de chaque ligné est appelé "pivot".
On appelle rang du système le nombre de pivots.
Exemple 2.7.
Plus généralement, un système échelonné est de la forme
où on a \(1\lt j_2 \lt \dots \lt j_r \leq p\text{,}\) et où les "pivots" \(a_{11}, a_{2j_2},\dots,a_{rj_r}\) sont tous non nuls. Le rang du système est l'entier \(r\text{.}\)
Définition 2.8.
On appelle inconnues principales les inconnues \(x_1,x_{j_2}\dots x_r\) qui correspondent à un pivot et inconnues libres les autres inconnues.On a donc:
L'avantage des systèmes échelonnés, c'est qu'ils sont faciles à résoudre. On distingue différents cas:
- Si l'un des \(b'_{r+1}, \dots,b'_n\) est non nul, le système n'a pas de solution. Ce cas ne se produit que si \(r\lt n\text{.}\)
-
Sinon, \(b'_{r+1}= \dots=b'_n=0\text{,}\) et, en ôtant les (éventuelles) lignes \(0=0\text{,}\) notre système échelonné est équivalent à
\begin{equation*} \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} a'_{11}x_1\amp +\amp a'_{12} x_2\amp +\amp \dots \amp +\amp \amp +\amp a'_{1p}x_p\amp =\amp b'_1\cr \amp \amp a'_{2j_2} x_{j_2}\amp +\amp \dots \amp +\amp \amp +\amp a'_{2p}x_p\amp =\amp b'_2\cr \amp \amp \amp \amp \amp \amp \amp \amp \vdots \amp \amp \cr \amp \amp \amp \amp a'_{rj_r}x_{j_r}\amp +\amp \dots\amp +\amp a'_{rp}x_p \amp =\amp b'_r\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}Alors,
-
si \(r=p\text{,}\) il n'y a pas d'inconnues libres, et le système est triangulaire:
\begin{equation*} \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} a'_{11}x_1\amp +\amp a'_{12} x_2\amp +\amp \dots \amp +\amp \amp +\amp a'_{1p}x_p\amp =\amp b'_1\cr \amp \amp a'_{2j_2} x_{j_2}\amp +\amp \dots \amp +\amp \amp +\amp a'_{2p}x_p\amp =\amp b'_2\cr \amp \amp \amp \amp \amp \amp \amp \amp \vdots \amp \amp \cr \amp \amp \amp \amp \amp \amp \amp \amp a'_{rr}x_r\amp =\amp b'_r\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}\((SE')\) admet une unique solution, qu'on obtient "en remontant":
On fait \(x_r = \frac {b'_r}{a'_{rr}}\text{,}\) d'où l'on déduit \(x_{r-1}\) en remplaçant \(x_r\) par sa valeur dans la ligne \(L_{r-1}\text{,}\) d'où l'on déduit \(x_{r-2}\text{,}\) etc.
-
si \(r\lt p\text{,}\) les inconnues \((x_{j_{r+1}},\dots,x_p)\) sont libres. On écrit alors:
\begin{equation*} \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} a'_{11}x_1\amp +\amp a'_{12} x_2\amp +\amp \dots\amp +\amp a'_{1j_r}x_{j_r}\amp =\amp b'_1 - a'_{1j_{r+1}}x_{j_r+1}- \dots-a'_{1p}x_p\cr \amp \amp \amp +\amp \dots \amp +\amp a'_{2j_r}x_{j_r}\amp =\amp b'_2 - a'_{2j_{r+1}}x_{j_r+1}- \dots-a'_{2p}x_p\cr \amp \amp \amp \amp \amp\amp \vdots \amp \amp \cr \amp \amp \amp \amp \amp \amp a'_{rj_r}x_{j_r} \amp = \amp b'_r - a'_{rj_{r+1}}x_{j_r+1}- \dots-a'_{rp}x_p \cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}et pour chaque choix d'inconnues libres \((x_{j_{r+1}},\dots,x_p)\text{,}\) on a une solution. Il y a donc une infinité de solutions.
-
Exemple 2.9.
Reprenons l'exemple de système échelonné précédent:
Ici, on a donc \(r=n=3\text{,}\) \(p=4\text{.}\) De plus, \(x_4\) est une inconnue libre, on peut donc exprimer les autres inconnues en fonction de \(x_4\text{:}\)
Pour chaque \(x_4\in \mathbb R\text{,}\) on obtient donc une solution du système. Il y a donc une infinité de solutions, et l'ensemble des solutions est
Sous-section 2.2 Résolution de systèmes linéaires quelconques.
Voyons maintenant la méthode du pivot de Gauss, qui permet de résoudre tous les systèmes linéaires. On va utiliser les faits suivants 2 :
-
Quels que soient \(A,B,A',B'\text{,}\)
\begin{equation*} \begin{cases}A=B\\A'=B'\end{cases} \iff \begin{cases}A'=B'\\A= B\end{cases} \end{equation*} - Si \(\alpha\neq 0\text{,}\) \(A=B\iff \alpha A = \alpha B\text{.}\)
-
Pour tout réel \(\lambda\text{,}\)
\begin{equation*} \begin{cases}A=B\\A'=B'\end{cases}\iff \begin{cases}A=B\\A'+\lambda A=B'+\lambda B\end{cases} \end{equation*}
On en déduit qu'on peut appliquer les opérations élémentaires suivantes au système \((S)\) pour obtenir un système équivalent.
- l'échange de deux lignes: \({\color{blue}{L_i \leftrightarrow L_j}}\)
- la multiplication d'une ligne par un réel non nul \(\alpha\text{:}\) \({\color{blue}{L_i \leftarrow \alpha L_i}}\)
- l'ajout à une ligne d'un multiple d'une autre: \({\color{blue}{L_i \leftarrow L_i+ \lambda L_j}}\)
L'algorithme du pivot de Gauss consiste à passer d'un système linéaire quelconque \((S)\) à un système échelonné équivalent \((S_E)\) en utilisant intelligemment les 3 opérations élémentaires.
L'idée est d'utiliser un coefficient non nul devant l'inconnue \(x_1\) sur la première ligne pour se "débarrasser" des \(x_1\) apparaissant dans les lignes en dessous. Puis on garde le \(x_2\) a la deuxième ligne et on s'en sert pour éliminer tous les \(x_2\) sur les lignes \(3,4,...,n\text{.}\) On élimine ainsi de plus en plus de variables.
Voyons cela sur un exemple: on considère le système linéaire à 4 inconnues et 3 équations suivant:
Premier problème: le coefficient de la première inconnue \(x\) dans la première ligne est 0. On utilise donc l'opération élémentaire \({\color{blue}{L_1\leftrightarrow L_2}}\) pour y remédier, ce qui nous donne le système équivalent
Utilisons maintenant la première ligne pour éliminer les \(x\) sur les 3 autres lignes. Sur la deuxième ligne, il n'y a pas de \(x\text{,}\) donc on n'y touche pas, et on fait les opérations \({\color{blue}{L_3\leftarrow L_3-3L_1}}\) et \({\color{blue}{L_4\leftarrow L_4-2L_1}}\text{,}\) ce qui donne
On utilise ensuite la deuxième ligne pour éliminer les \(y\) sur les lignes 3 et 4, via les opérations \({\color{blue}{L_3\leftarrow L_3+L_2}}\) et \({\color{blue}{L_4\leftarrow L_4+L_2}}\text{:}\)
ce qui est un superbe système échelonné ! En le résolvant par la méthode vue plus haut, on trouve que l'ensemble des solutions est donné par:
Regardons maintenant le cas général: considérons un système de \(n\) équations à \(p\) inconnues
Les étapes du pivot de Gauss sont alors:
Si tous les coefficients associés à \(x_1\) sont nuls, autrement dit si \(a_{11} = a_{21}=\dots=a_{n1}=0\text{,}\) alors on a en fait un système de \(x_2,\dots,x_p\text{.}\) On résoud alors le système à \(p-1\) inconnues \(x_2,\dots,x_p\text{.}\)
-
Supposons donc qu'un des \(a_{i1}\) est non nul. Quitte à échanger la première et la \(i\)-ème ligne via l'opération élémentaire \({\color{blue}{L_1\leftrightarrow L_i}}\text{,}\) on se ramène à \(a_{11}\neq 0\text{.}\)
On utilise alors \(a_{11}\) comme pivot pour éliminer \(x_1\) dans toutes les autres équations via l'opération \({\color{blue}{L_k\leftarrow L_k - \frac{a_{k1}}{a_{11}}L_1}}\) pour \(k=2\dots n\text{.}\) Le système \((S)\) est donc équivalent à
\begin{equation*} \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} a_{11}x_1\amp +\amp a_{12} x_2\amp +\amp \dots \amp +\amp a_{1p}x_p\amp =\amp b_1\cr 0\amp +\amp \alpha'_{22}x_2\amp +\amp \dots\amp +\amp a'_{2p}x_p\amp =\amp b'_2\cr \amp \amp \amp \amp \amp \amp \vdots\amp \amp \cr 0\amp +\amp \alpha'_{n2} x_2\amp +\amp \dots\amp +a'_{np}x_p\amp =\amp b'_n\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*} -
Si l'un des \(\alpha'_{k2}\) est non nul, on recommence avec \(x_2\text{:}\) on échange \(L_2\) et \(L_k\text{.}\) On peut donc supposer \(\alpha'_{22}\neq 0\text{,}\) et on utilise ce pivot pour éliminer \(x_2\) dans les autres équations, par l'opération \({\color{blue}{L_j\leftarrow L_j - \frac{\alpha'_{j2}}{\alpha'_{22}}L_2}}\text{.}\)
Si tous les \(\alpha'_{k2}\) sont nuls, c'est-à-dire si \(x_2\) n'apparaît plus que dans la première ligne, on regarde les \(\alpha'_{k3}\) et on procède de même. Et si les \(x_3\) n'apparaissent pas non plus dans les lignes 2 à \(n\text{,}\) on utilise \(x_4\text{,}\)etc.
En éliminant les inconnues une par une, on se ramène ainsi à un système échelonné, qui comme on l'a vu est facile à gérer. Et on a fini !
Il y a donc trois cas possibles pour l'ensemble des solutions \(\mathcal S\) d'un système d'équation linéaires \((S)\text{,}\) qui sont ceux qu'on a obtenu pour les systèmes échelonnés:
- Soit il n'y a aucune solutions: \(\mathcal S = \emptyset\text{;}\)
- Soit il y a une unique solution \(\mathcal S =\{X_0\}\text{;}\)
-
Soit il y a une infinité de solutions, dépendant du choix de \(p-r\) inconnues libres \(y_1,\dots y_{p-r}\text{:}\)
\begin{equation*} \mathcal S =\left\{\left(c_1+\sum_{i=1}^{p-r} \lambda_{1i}y_i, \dots,c_p+\sum_{i=1}^{p-r} \lambda_{pi}y_i\right), y_1,\dots,y_{p-r}\in \mathbb R \right\} \end{equation*}
Sous-section 2.3 Systèmes homogènes
Dans le cas particulier où le second membre est nul \((b_1=\dots=b_n=0)\text{,}\) on dit que le système est homogène.
Exemple 2.11.
Le système suivant est homogène:
Le système suivant est homogène si et seulement si \(a=0\)
Un système homogène admet toujours au moins la solutions nulle \(x_1=\dots=x_p=0\text{.}\) Il n'y a donc que deux cas possibles:
- soit le rang du système est égal au nombre d'inconnues, et la \((0,\dots,0)\) est la seule solution;
- soit le rang est strictement inférieur au nombre d'inconnues, et il y a alors, en plus de \((0,\dots,0)\text{,}\) une infinité de solutions non nulles.
En particulier, un système homogène qui a plus d'inconnues que d'équations a toujours une infinité de solutions.
✑ Que se passe-t-il si on fixe \(m=p=0\) ici ? et là ?
✑ En revenant aux interprétations géométriques de la section précédentes, à quoi correspondent les systèmes homogènes à 2 équations et 2 inconnues ?
Sous-section 2.4 Exemples
On va résoudre le système à 4 inconnues et 3 équations suivants:
Pour commencer, il faut que le coefficient devant \(x_1\) dans la première ligne soit non nul. Ce n'est pas le cas, donc on commence par échanger les lignes \(L_1\) et \(L_2\text{:}\)
On choisit alors comme premier pivot le coefficient 1 devant \(x_1\) dans la ligne \(L_1\text{.}\) On va s'en servir pour éliminer \(x_1\) dans les autres lignes. Pour \(L_2\text{,}\) comme \(x_1\) n'y figure pas, on n'a rien à faire. On fait donc \(L_3 \leftarrow L_3 + L_1\text{:}\)
On utilise maintenant le pivot \(-x_2\) au début de la deuxième ligne pour éliminer \(x_2\) dans la troisième ligne via \(L_3 \leftarrow L_3+L_2\text{:}\)
On a ainsi obtenu un système échelonné de rang 3. Les inconnues principales sont \(x_1, x_2\) et \(x_3\) et il y a une inconnue libre \(x_4\text{.}\) On exprime donc \(x_1, x_2, x_3\) en fonction de celle-ci:
et on "remonte" pour remplacer \(x_3\) et \(x_2\) par leurs valeurs en fonction de \(x_4\text{:}\)
L'ensemble des solutions est donc \(\mathcal S=\{(-2+4x_4,3+3x_4,4-5x_4 , x_4), x_4 \in \mathbb R\}\text{.}\)
Un exemple avec paramètre: On va résoudre, en fonction du paramètre \(a\text{,}\) le système
Le coefficient devant \(x\) dans la ligne \(L_1\) est non nul, on peut donc s'en servir pour éliminer \(x\) dans \(L_2\) et \(L_3\) par les opérations \(L_2 \leftarrow L_2 - 2 L_1\) et \(L_3 \leftarrow L_3 - L_1\text{:}\)
Le coefficient devant \(y\) dans la ligne 2 étant non nul, on l'utilise comme pivot pour éliminer \(y\) dans la ligne 3 via \(L_3 \leftarrow L_3-(a-1)L_2\text{,}\) ce qui donne:
soit, en remarquant que \(4-(a-1)(a+2)=-a^2+4+6=-(a-2)(a+3)\text{,}\)
Trois cas se présentent: soit \(a=2\text{,}\) soit \(a=-3\text{,}\) soit \(a\) n'est ni l'un ni l'autre.
-
Si \(a=2\text{,}\) la troisième ligne est \(0=0\) et le système équivaut à
\begin{equation*} \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcr} x\amp +\amp y\amp -\amp z\amp =\amp 1\cr \amp \amp y\amp +\amp 4z\amp =\amp 1\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}Il y a alors 2 variables principales \(x\) et \(y\) que l'on exprime en fonction de la variable libre \(z\text{:}\)
\begin{equation*} \begin{cases} x\amp =1-y+z=5z\\ y\amp =1-4z\\ \end{cases} \end{equation*}Il y a donc une infinité de solutions \(\mathcal S = \{(5z, 1-4z,z),z \in \mathbb R\}\text{.}\)
- Si \(a=-3\) la dernière ligne est \(0=1\text{:}\) le système n'a aucune solution.
-
Si \(a\neq 2\) et \(a\neq -3\text{,}\) le système est de rang 3 et admet une unique solution:
\begin{equation*} \begin{cases} x\amp =1-y+z=1\\ y\amp =1 -(a+2)z = \frac1{a+3}\\ z\amp =\frac1{a+3} \end{cases} \end{equation*}d'où \(\mathcal S=\left\{\left(1,\frac1{a+3},\frac1{a+3}\right)\right\}\text{.}\)
Exercice 2.12. Un autre exemple.
Résoudre le système suivant via la méthode de Gauss:
Il y a une unique solution:
Exercice 2.13. Et un autre.
Résoudre le système suivant via la méthode de Gauss:
Il y a une infinité de solutions. En choisissant \(x\) et \(z\) comme inconnues libres, on trouve: