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Know your proofs

Compléments de logique

En première analyse, la logique (mathématique ou autre) est la science des raisonnements corrects. Dans ce sens, contrairement à la géométrie kählérienne en dimension 8, son utilité saute aux yeux: les arguments corrects, à la base des sciences, permettent de comprendre les trous noirs et faire voler les avions, et ils interviennent aussi dans les procès, les débats (parfois) et les repas de famille (rarement). De plus, la notion de "raisonnement correct" semble assez claire (en tout cas, avant le début du débat).

Un argument correct consiste en un certain nombre de prémisses dont découle une conclusion. Il peut donc échouer de deux façons différentes: soit les prémisses sont faux, soit ils ne fournissent pas de raison suffisante d'accepter la conclusion. Régler le premier de ces problèmes nous obligerait à décider, pour chaque fait, s'il est vrai ou faux, ce qui semble exagérément fatigant et de plus rendrait les raisonnements obsolètes. En (toute) logique, on s'intéressera donc plutôt au second: comment utiliser notre raison pour passer d'une proposition à une autre.

Cette quête des règles de la raison débute avec Aristote et ses célèbres syllogismes ("Tous les hommes sont mortels, Socrate est un homme, donc Socrate est mortel"), à une époque où les Éléments d'Euclide apparaissent comme le modèle de théorie scientifique parfaite. Depuis, ces principes ont été remis en cause:

  • Avec la Révolution Scientifique, il est apparu que les observations sont aussi essentielles aux sciences que la pure raison (s'ensuivit un discrédit assez massif de la Physique d'Aristote). Le raisonnement scientifique se déplace donc d'un raisonnement déductif, partant d'axiomes "évident" pour en tirer des conséquences nécessaires, à un raisonnement inductif, partant d'observations pour former des lois générales et des prédictions.
  • D'autre part, le statut quasi-sacré des Éléments d'Euclide lui-même a été remis en jeu, certains axiomes apparaissant, finalement, pas si évidents que cela. Avec d'autres bouleversements, ceci poussa les mathématiciens à s'interroger sur les fondements de leur domaine, et en particulier à la logique mathématique, avec les symboles ésotériques et les calculs qui leurs sont chers; l'œuvre de Boole, entre autres, est à la base de ce mouvement.

Le document que voici résume la crise des fondements traversée par les maths, et la formalisation de la logique déductive qui en a découlé. On y traite de langages formels, de règles de déduction et de sémantique, et de là, on prouve des théorèmes sur les preuves elles-mêmes. Une version "light" est disponible ici.

Pour s'approprier ces règles formelles, rien ne vaut la manipulation directe: c'est par ici.

Aucune discussion des fondements de la logique mathématiques n'est complète sans mentionner l'excellente BD Logicomix. Si vous la lisez, vous apprendrez que même avec cette mention, la discussion n'est pas complète, ne peut pas l'être, et on peut le prouver. Ce sont les théorèmes de Gödel, dont on discute plus en détail ici, ainsi que dans cette excellente vidéo de ScienceEtonnante

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