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Section 1 Familles génératrices

Definition 1.1.

Une famille de vecteurs \(\{v_1,\dots,v_p\}\subset E\) est dite génératrice si \(E = \vect(v_1,\dots,v_p).\) Autrement dit:

\begin{equation*} \forall\, v\in E,\ \exists(\lambda_1,\dots, \lambda_p)\in \K^p \text{ t.q. } v = \lambda_1v_1+\dots +\lambda_p v_p. \end{equation*}

Si \(E\) admet une famille génératrice finie, on dit que \(E\) est de dimension finie}.

Pour montrer qu'une famille est génératrice, il suffit de montrer que \(E\subset \vect(v_1,\dots,v_p)\) 1 . On prend donc \(v\in E\) quelconque, et on cherche des scalaires \((\lambda_i)_{i=1\dots p}\) tels que \(v = \sum_{i=1}^p \lambda_i v_i\text{.}\)

L'autre inclusion est toujours vraie.

  1. \(\left\{e_1 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, e_2 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\right\}\) est génératrice dans \(\R^2\text{:}\) si \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \in \R^2\text{,}\) alors

    \begin{equation*} \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} + y \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} = xe_1 + ye_2 \in \vect(e_1,e_2). \end{equation*}

  2. \(\left\{e_1 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, e_2 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}, v_3= \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\right\}\) est aussi génératrice: pour un vecteur \((x,y)\in\R^2\text{,}\) on a

    \begin{equation*} \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} = xe_1 + ye_2 + 0v_3 \in \vect(e_1,e_2, v_3). \end{equation*}

    mais aussi

    \begin{equation*} \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix} = 0e_1 + (y-2x) e_2 + xv_3 \in \vect(e_1,e_2, v_3). \end{equation*}

  3. \(\left\{v_1 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\right\}\) est génératrice dans \(\R^2\text{:}\)

    Soit \(u=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \in \R^2\text{,}\) cherchons \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) tels que \(u=\lambda_1v_1+\lambda_2 v_2\text{.}\) On aurait:

    \begin{equation*} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \lambda_1 \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda_1+\lambda_2\\\lambda_1- \lambda_2\end{pmatrix} \end{equation*}

    En résolvant le système, on voit qu'il y a une solution:

    \begin{equation*} \begin{cases} \lambda_1=\frac{x+y}2\\ \lambda_2 = \frac{x-y}2 \end{cases} \end{equation*}

    donc \(u\in \vect(v_1,v_2).\)

\(\leadsto\) Pour montrer l'existence des scalaires \((\lambda_i)\text{,}\) on se ramène à un système d'équations linéaires, comme ci-dessus.

\(\left\{f_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}, f_2 = \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right\}\) n'est pas génératrice dans \(\R^3\text{.}\) En effet, \(u=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \notin \vect(f_1,f_2)\text{:}\)

Supposons, par l'absurde, qu'il existe \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) tels que \(u= \lambda_1 f_1+\lambda_2 f_2\text{.}\) Alors \((\lambda_1, \lambda_2)\) est solution de

\begin{equation*} \begin{cases} \lambda_1\amp =1\\ \phantom{\lambda_1+\phantom{}}\lambda_2 \amp = 0\\ \lambda_1+\lambda_2\amp =0 \end{cases} \iff \begin{cases} \lambda_1\amp =1\\ \lambda_2 \amp = 0\\ 1\amp =0 \end{cases} \end{equation*}

et la dernière ligne est une contradiction. Il n'y a donc pas de tels scalaires \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\text{.}\)

Moralité: On apprend de ces exemples:

  • Qu'un même espace vectoriel peut avoir plusieurs familles génératrices différentes.
  • Que toute famille qui contient une famille génératrice est génératrice: on peut toujours ajouter des vecteurs avec un coefficient 0.
  • Que pour une même famille génératrice \((v_1,\dots,v_p)\text{,}\) un vecteur donné peut avoir plusieurs décompositions en combinaison linéaires des \((v_i)\text{.}\)

Questions:

  • Comment repérer les vecteurs en trop ?
  • Peut-on choisir la famille génératrice de façon à avoir une unique décomposition pour chaque vecteur ?

Soit \(v\in E\text{.}\) Montrons que \(v\in\vect(v_1,\dots, v_{p-1})\text{.}\) Puisque \(\{v_1,\dots,v_p\}\) est génératrice, il existe \((\lambda_i)_{1\leq i \leq p}\in \K^p\) tels que

\begin{equation*} v = \lambda_1v_1+\dots+\lambda_{p-1}v_{p-1}+\lambda_pv_p \end{equation*}

Par ailleurs, puisque \(v_p \in\vect(v_1,\dots, v_{p-1}) \text{,}\) il existe des scalaires \((\alpha_i)_{1\leq i \leq p-1}\) tels que \(v_p=\sum_{i=0}^{p-1} \alpha_iv_i\text{.}\) Donc

\begin{align*} v \amp = \lambda_1v_1+\dots+\lambda_{p-1}v_{p-1}+\lambda_p(\alpha_1 v_1 + \dots + \alpha_{p-1}v_{p-1})\\ \amp = (\lambda_1+\lambda_p \alpha_1)v_1+\dots+(\lambda_{p-1}+\lambda_p \alpha_{p-1})v_{p-1}\\ \amp \in \vect(v_1,\dots, v_{p-1}) \end{align*}

On sait maintenant enlever les vecteurs inutiles. Mais comment savoir quand s'arrêter ?

\(\longrightarrow\) Y a-t-il une condition simple qui garantisse qu'aucun \(v_i\) n'est combinaison linéaire des autres ?

On va voir que c'est la notion de famille libre qui répond à cette question.