Section 2 Familles libres
Definition 2.1.
Une famille de vecteurs \(\{v_1,\ldots,v_p\}\subset E\) est dite libre si
Une famille qui n'est pas libre est dite liée.
Autrement dit, \(\{v_1,\ldots,v_p\}\) est liée ssi il existe \(\lambda_1\dots,\lambda_p\) non tous nuls tels que \(\sum \lambda_i v_i = 0_E\text{.}\)
Pour montrer qu'une famille est libre, on prend \(p\) scalaires \(\lambda_1,\ldots,\lambda_p\text{,}\) et on suppose que
En général, en utilisant les coordonnées des \(v_i\text{,}\) cette équation se réécrit sous forme d'un système linéaire dont les inconnues sont les scalaires \(\lambda_i\text{.}\) Le second membre de ce système ne comporte que des zéros: c'est un système linéaire homogène. Il y a alors deux possibilités:
-
Soit \((0,\ldots,0)\) est la seule solution de ce système.
\(\leadsto\) Dans ce cas la famille est libre.
-
Soit il y a une infinité de solutions. Dans ce cas, il y a au moins une solution non nulle (c'est-à-dire, un \(p\)-uplet de scalaires qui ne sont pas tous nuls et qui est solution du système).
\(\leadsto\) Dans ce cas la famille est liée.
⚠ Ne pas confondre "les scalaires \(\lambda_1,\ldots,\lambda_p\) ne sont pas tous nuls" et "les scalaires \(\lambda_1,\ldots,\lambda_p\) sont tous non nuls"
Example 2.2. Un exemple dans \(\R^2\).
La famille \(\left\{v_1 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\right\}\) est libre dans \(\R^2\text{.}\) En effet, pour tous \(\lambda_1,\lambda_2\text{,}\) on a
Example 2.3. Un contre-example dans \(\R^2\).
La famille \(\left\{e_1 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, e_2 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}, v_3= \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\right\}\) n'est pas libre:
pour \(\lambda_1=1, \lambda_2=2,\lambda_3 = -1\) on obtient \(e_1 +2e_2-v_3 = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}.\)
Checkpoint 2.4.
Checkpoint 2.5.
Proposition 2.6.
Soit \(p\geq 2\text{.}\) Une famille \(\mathscr F= \{v_1,\ldots,v_p\}\) est liée ssi au moins l'un des \(v_i\) est combinaison linéaire des autres.
Proof.
On procède par double implication.
\(\boxed{\Rightarrow}\) Supposons que \(\mathscr F\) soit liée.
Alors il existe un \(p\)-uplet scalaires \((\lambda_1,\ldots,\lambda_p)\) tels que au moins l'un des \(\lambda_i\) soit non nul, et tels que
Notons \(\lambda_{i_0}\) l'un des scalaires non nuls. Alors on a:
donc \(v_{i_0}\) est combinaison linéaire des autres vecteurs de \(\mathscr F\text{.}\)
\(\boxed{\Leftarrow}\) Réciproquement, supposons que l'un des \(v_i\text{,}\) noté \(v_{i_0}\text{,}\) soit dans \(\vect(v_i, i\neq i_0)\text{.}\) Alors il existe des scalaires \((\mu_i)_{i\neq i_0}\) tels que
mais alors, on en déduit une combinaison linéaire nulle dont tous les coefficients ne sont pas nuls:
donc \(\mathscr F\) est liée.
Intuitivement, donc, si on part d'une famille génératrice, on peut enlever des vecteurs jusqu'à tomber sur une famille libre. A ce moment-là, la contraposée de la proposition précédente dit qu'aucun des vecteurs restants n'est combinaison linéaire des autres.