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Section 2 Familles libres

Definition 2.1.

Une famille de vecteurs \(\{v_1,\ldots,v_p\}\subset E\) est dite libre si

\begin{equation*} (\lambda_1v_1+\ldots +\lambda_p v_p = 0_E ) \iff (\lambda_1=\ldots=\lambda_p=0). \end{equation*}

Une famille qui n'est pas libre est dite liée.

Autrement dit, \(\{v_1,\ldots,v_p\}\) est liée ssi il existe \(\lambda_1\dots,\lambda_p\) non tous nuls tels que \(\sum \lambda_i v_i = 0_E\text{.}\)

Pour montrer qu'une famille est libre, on prend \(p\) scalaires \(\lambda_1,\ldots,\lambda_p\text{,}\) et on suppose que

\begin{equation*} \lambda_1v_1+\ldots +\lambda_p v_p = 0_E \end{equation*}

En général, en utilisant les coordonnées des \(v_i\text{,}\) cette équation se réécrit sous forme d'un système linéaire dont les inconnues sont les scalaires \(\lambda_i\text{.}\) Le second membre de ce système ne comporte que des zéros: c'est un système linéaire homogène. Il y a alors deux possibilités:

  • Soit \((0,\ldots,0)\) est la seule solution de ce système.

    \(\leadsto\) Dans ce cas la famille est libre.

  • Soit il y a une infinité de solutions. Dans ce cas, il y a au moins une solution non nulle (c'est-à-dire, un \(p\)-uplet de scalaires qui ne sont pas tous nuls et qui est solution du système).

    \(\leadsto\) Dans ce cas la famille est liée.

⚠ Ne pas confondre "les scalaires \(\lambda_1,\ldots,\lambda_p\) ne sont pas tous nuls" et "les scalaires \(\lambda_1,\ldots,\lambda_p\) sont tous non nuls"

La famille \(\left\{v_1 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\right\}\) est libre dans \(\R^2\text{.}\) En effet, pour tous \(\lambda_1,\lambda_2\text{,}\) on a

\begin{equation*} \lambda_1 \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+ \lambda_2 \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{cases} \lambda_1+\lambda_2 = 0\\ \lambda_1 - \lambda_2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \lambda_1= 0\\ \lambda_2 = 0 \end{cases} \end{equation*}

La famille \(\left\{e_1 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, e_2 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}, v_3= \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\right\}\) n'est pas libre:

pour \(\lambda_1=1, \lambda_2=2,\lambda_3 = -1\) on obtient \(e_1 +2e_2-v_3 = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}.\)

✑ Soit \(v \in E\) quelconque. Montrer que la famille \(\{v\}\) est libre si, et seulement si, \(v\neq 0_E\text{.}\)
✑ Toute famille qui contient \(0_E\) est liée.

On procède par double implication.

\(\boxed{\Rightarrow}\) Supposons que \(\mathscr F\) soit liée.

Alors il existe un \(p\)-uplet scalaires \((\lambda_1,\ldots,\lambda_p)\) tels que au moins l'un des \(\lambda_i\) soit non nul, et tels que

\begin{equation*} \lambda_1 v_1+\ldots+\lambda_p v_p = 0_E \end{equation*}

Notons \(\lambda_{i_0}\) l'un des scalaires non nuls. Alors on a:

\begin{equation*} \lambda_{i_0}v_{i_0} = - \sum_{i\neq i_0}\lambda_i v_i \quad \text{ c.à.d } \quad v_{i_0} = \sum_{i\neq i_0} -\frac{\lambda_i}{\lambda_{i_0}} v_i \in \vect(v_i, i\neq i_0). \end{equation*}

donc \(v_{i_0}\) est combinaison linéaire des autres vecteurs de \(\mathscr F\text{.}\)

\(\boxed{\Leftarrow}\) Réciproquement, supposons que l'un des \(v_i\text{,}\) noté \(v_{i_0}\text{,}\) soit dans \(\vect(v_i, i\neq i_0)\text{.}\) Alors il existe des scalaires \((\mu_i)_{i\neq i_0}\) tels que

\begin{equation*} v_{i_0} = \sum_{i\neq i_0}\mu_i v_i \end{equation*}

mais alors, on en déduit une combinaison linéaire nulle dont tous les coefficients ne sont pas nuls:

\begin{equation*} 0_E= \mu_1 v_1 + \ldots - v_{i_0} + \mu_{i_0+1} v_{i_0+1}+\ldots+ \mu_p v_p \end{equation*}

donc \(\mathscr F\) est liée.

Intuitivement, donc, si on part d'une famille génératrice, on peut enlever des vecteurs jusqu'à tomber sur une famille libre. A ce moment-là, la contraposée de la proposition précédente dit qu'aucun des vecteurs restants n'est combinaison linéaire des autres.