Section 1 Applications linéaires en dimension finie
Proposition 1.1.
Soit \(\mathscr B=(e_1,\ldots,e_p)\) une base de \(E.\) Alors, pour tout \(p\)-uplet \((v_1,\dots,v_p)\) de vecteurs de \(F\text{,}\) il existe une unique application linéaire \(f\in\mathcal L(E,F)\) telle que
Example 1.2. Un exemple dans l'espace des polynômes.
Il existe une unique application linéaire \(f:\R^p \rightarrow \R_p[X]\) telle que
où \((e_1,\ldots,e_p)\) est la base canonique de \(\R^p\text{.}\) L'application \(f\) est donnée par
Proof.
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Unicité: Supposons qu'il existe \(f,g\in\mathcal L(E,F)\) telle que \(f(e_i)=v_i=g(e_i)\) pour tout \(i\text{.}\)
Soit \(x\in E\text{.}\) Alors, puisque \(\mathscr B\) est une base, il existe un unique \(p\)-uplet de scalaires \((x_1,\ldots,x_p)\in\K^p\) tel que
\begin{equation*} x=x_1e_1+\ldots+x_pe_p \end{equation*}On a alors, par linéarité de \(f\) et \(g\text{,}\)
\begin{align*} g(x)\amp =g(x_1e_1+\ldots+x_pe_p)=x_1g(e_1)+\ldots+x_pg(e_p)\\ \amp = \boxed{x_1v_1+\ldots+x_pv_p}\\ \amp =x_1f(e_1)+\ldots+x_pf(e_p)\\ \amp =f(x_1e_1+\ldots x_pe_p)=f(x) \end{align*}On a donc \(f(x)=g(x)\) pour tout \(x\in E\text{,}\) autrement dit \(f=g\text{.}\) Donc si une telle application linéaire existe, elle est unique.
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Existence: Montrons que l'application suivante convient:
\begin{equation*} f: x=\sum_{i=1}^p x_i e_i\in E \mapsto \sum_{i=1}^p x_i v_i \in F \end{equation*}-
\(\triangleright\) \(f\) est linéaire: en effet, soient \(\lambda,\mu \in \K\) et \(x=\sum_i x_i e_i,y=\sum_i y_i e_i\) deux vecteurs de \(E\text{.}\) Alors
\begin{align*} f(\lambda x+\mu y) \amp= f\left(\sum_i (\lambda x_i + \mu y_i)e_i\right)\\ \amp=\sum_i (\lambda x_i + \mu y_i)f(e_i)=\sum_i (\lambda x_i + \mu y_i)v_i\\ \amp=\lambda\sum_ix_iv_i + \mu\sum_i y_i v_i=\lambda f(x)+ \mu f(y). \end{align*} -
\(\triangleright\) Pour tout \(i \in \{ 1,...,p\}\text{,}\) \(f(e_i)=v_i\text{.}\) En effet,
\begin{equation*} e_i=0\cdot e_1+\ldots +1\cdot e_i +\ldots+0\cdot e_p \end{equation*}donc \(f(e_i) = 0\cdot v_1+\ldots +1\cdot v_i +\ldots+0\cdot v_p=v_i\text{.}\)
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On avait vu au chapitre 5 que s'il existe un isomorphisme linéaire \(f:E\rightarrow F\text{,}\) alors \(\dim E= \dim F\text{.}\)
Réciproquement:
Corollary 1.3.
Si \(\dim E=\dim F\text{,}\) il existe un isomorphisme linéaire \(f: E \rightarrow F\text{.}\)
Proof.
Notons \(n=\dim E = \dim F\text{.}\)
Soient \((e_1,\ldots, e_n)\) une base de \(E\) et \((f_1,\ldots,f_n)\) une base de \(F\text{.}\)
Il existe une unique \(f\in\mathcal L(E,F)\) telle que \(f(e_i)=f_i\) pour tout \(i\text{.}\)
\(\leadsto\) Montrons que \(f\) est bijective.
Puisque \(\dim E= \dim F\text{,}\) il suffit de montrer que \(f\) est injective, c'est-à-dire que \(\Ker(f)=\{0_E\}\text{.}\)
Soit \(x\in \Ker(f)\text{.}\) Alors \(x\) s'écrit \(x_1e_1+\ldots +x_ne_n\text{,}\) donc
Puisque \((f_1,\ldots,f_n)\) est une base de \(F\text{,}\) c'est une famille libre. Donc ceci implique \(x_1=\ldots=x_n=0\text{.}\) Mais alors
On a donc bien \(\Ker(f)=\{0_E\}\text{.}\)