Section 4 Changement de base
On n'a pas arrêté de le dire, la matrice associée à une application linéaire dépend des bases choisies sur \(E\) et \(F\) 1 .
Très bien, mais peut-on quand même prévoir comment la matrice représentant une même application linéaire change si on change les bases ?
\({\color{blue}{\leadsto}}}\) Plus précisément:
Si l'on choisit des bases différentes \(\B_1\) sur \(E\) et \(\B_1'\) sur \(F\text{,}\) peut-on déterminer \([x]_{\B_1}\) à partir de \([x]_\B\) et \([f]_{\B_1,\B_1'}\) à partir de \([f]_{\B,\B'}\) ?
Il se trouve que oui, c'est l'opération de changement de base. Introduisons d'abord une matrice qui va servir justement à ça:
Definition 4.1.
Soient \(\B_0=(e_1,\ldots,e_p),\B_1=(e_1',\ldots,e_p')\) deux bases de \(E\text{.}\)
On appelle matrice de passage de \(\B_0\) vers \(\B_1\), notée \(P_{\B_0,\B_1}\text{,}\) la matrice de \(\mathcal M_p(\K)\) dont la \(j\)-ème colonne est donnée par les coordoonnées de \(e_j'\) dans la base \(\B_0\text{.}\)
Cette matrice s'interprète en termes d'algèbre linéaire comme suit:
Proposition 4.2.
\(P_{\B_0,\B_1}\) est la matrice de \(\Id_E:E\rightarrow E\) dans les bases \({\color{red!70!black}{\B_1}}\) au départ et \({\color{red!70!black}{\B_0}}\) à l'arrivée:
Proof.
La \(j\)-ième colonne de \([\Id_E]_{\B_1,\B_0}\) est donnée par les coordonnées de \(\Id_E(e_j')=e_j'\) dans la base \(\B_0\text{,}\) ce qui correspond à la \(j\)-ième colonne de \(P_{\B_0,\B_1}\text{.}\)
Example 4.3. Changement de base dans \(\R^2\).
Dans \(\R^2\text{,}\) on considère la base canonique \(\B'_0=(f_1,f_2)\) et la base
Alors
D'autre part,
et
Example 4.4. Changement de base dans \(\R^3\).
Considérons dans \(\R^3\) la base canonique \(\B_0=(e_1,e_2,e_3)\) et la base \(\B_1\) donnée par
Alors
donc
Réciproquement, on a
donc
Proposition 4.5.
Soient \(\B_0,\B_1,\B_2\) trois bases sur \(E\text{.}\) Alors
- \(P_{\B_0,\B_1}\) est inversible, et \(P_{\B_0,\B_1}^{-1}=P_{\B_1,\B_0}\)
- \(\displaystyle P_{\B_0,\B_2}=P_{\B_0,\B_1}\cdot P_{\B_1,\B_2}\)
Proof.
-
D'après la Proposition 4.2, on a \(P_{\B_0,\B_1}=[\Id_E]_{\B_1,\B_0}\text{.}\) Or \(\Id_E\) est un isomorphisme, donc \(P_{\B_0,\B_1}\) est inversible et
\begin{equation*} (P_{\B_0,\B_1})^{-1}=[\Id_E]_{\B_1,\B_0}^{-1}=[\Id_E^{-1}]_{\B_0,\B_1}=[\Id_E]_{\B_0,\B_1}=P_{\B_1,\B_0}. \end{equation*} -
On a \(\Id_E\circ \Id_E = \Id_E\text{,}\) d'où, par la formule de composition
\begin{equation*} P_{\B_0,\B_1}\cdot P_{\B_1,\B_2}=[\Id_E]_{\B_1,\B_0}[\Id_E]_{\B_2,\B_1}=[\Id_E\circ \Id_E]_{\B_2,\B_0}=P_{\B_0,\B_2} \end{equation*}
Avant de voir la formule de changement de base pour les matrices, voyons comment trouver les coordonnées d'un vecteur dans une nouvelle base:
Proposition 4.6.
Soient \(\B_0=(e_1,\ldots,e_p)\text{,}\) \(\B_1=(e_1',\ldots e_p')\) deux bases de \(E\text{.}\) Soit \(x\in E\text{,}\) alors il existe des coordonnées \((x_j)\) et \((x_j')\) telles que \(x=\sum x_je_j=\sum_jx'_j e'_j\text{.}\)
On note
Alors
Proof.
On utlise la Proposition 4.2:
Example 4.7.
Ajouter exemple
Pour les applications linéaires, on a:
Proposition 4.8.
Soit \(f\in \mathcal L(E,F)\text{,}\) \(\B_0,\B_1\) deux bases de \(E\text{,}\) \(\B'_0,\B'_1\) deux bases de \(F\text{.}\)
On note
Alors on a
Proof.
En utilisant encore la Proposition 4.2, on écrit \(f:(E,\B_1)\rightarrow (F,\B_1')\) comme la composée
ce qui, écrit avec des matrices, donne
comme annoncé.
Example 4.9. Changement de bases de notre exemple habituel.
On a vu à l'Example 2.3 que la matrice de l'application \(f:(x,y,z)\in\R^3\mapsto (2x+y,y+z)\in\R^2\) est
On a aussi calculé à l'Example 4.4 et à l':
On vérifie bien
En particulier, dans le cas d'un endomorphisme, on sera plutôt amené à faire le même changement de base "au départ" et "à l'arrivée", ce qui donne:
Corollary 4.10.
Soit \(f\in\mathcal L(E)\) un endormorphisme, \(\B_0,\B_1\) deux bases de \(E\text{.}\) On note
Alors \(\boxed{B=P^{-1}AP}\text{.}\)
Definition 4.11.
Soient \(A,B\in\mathcal M_n(\K)\) deux matrices carrées. On dit que \(B\) est semblable à \(A\) s'il existe une matrice inversible \(P\) telle que \(B=P^{-1}AP\text{.}\)
\(\leadsto\)Deux matrices sont semblables si, et seulement si, elles représentent le même endormorphisme dans deux bases différentes.