La preuve d'Euler

On va ici utiliser l'approche utilisée par Euler en 1735 pour démontrer l'égalité \(\sum_n \frac1{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\text{,}\) en s'appuyant sur l'excellente vidéo de Mathologer ¹ ²

Attention: Cette preuve date de 1735 et n'est pas rigoureuse! Elle a été rendue "propre" par Weierstrass un siècle plus tard, en utilisant de l'analyse complexe³. L'idée est donc surtout de donner une idée de comment ça marche, mais ne faites pas ça sans guide compétent et certifié !

Projet 1.1. \(\sin(x)\) vu comme un polynôme.

Pour faire sortir le \(\pi\) qu'il nous faut, on se tourne vers la fonction \(\sin\text{.}\) Et, brièvement, on va imaginer que \(\sin\) est une sorte de "polynôme infini".

Kwa ?

En fait, ce n'est pas si délirant si on considère cette formule que vous connaissez déjà:

\begin{equation*} \sin(x)= x - \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!} -... \end{equation*}

Plus tard dans l'année, on va étudier les séries entières, et on apprendra que pour tout \(x\in\mathbb R\) on peut écrire rigoureusement

\begin{equation*} \sin(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{equation*}

Donc cette idée de "polynôme infini" est dangereuse, mais pas totalement aberrante.

(a)

Déterminer les \(x\in \mathbb R\) tels que \(\sin(x)=0\text{.}\)

Spoiler.

\begin{equation*} \sin(x)=0 \iff x=k\pi,\ k\in \mathbb Z. \end{equation*}

(b)

Toujours en imaginant que \(\sin\) est en fait un polynôme, en déduire qu'il existe une constante \(\alpha \in \mathbb R\) telle que

\begin{equation*} \sin(x)= \alpha x (1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{4\pi^2})(1-\frac{x^2}{9\pi^2})... \end{equation*}

Indication 1.

Si \(P\) est un polynôme et \(x_0\) est une racine de \(P\text{,}\) par quoi peut-on factoriser \(P\text{?}\)

Indication 2.

\begin{equation*} x-x_0 = -x_0(1-\frac x{x_0}) \end{equation*}

Spoiler.

D'après la question précédente, pour tout \(k\in \mathbb Z\text{,}\) \(k\pi\) est une racine de \(\sin(x)\text{.}\) Si \(\sin(x)\) est un polynôme, on peut donc le factoriser par \((x-k\pi) = -k\pi(1-\frac{x}{k\pi})\) pour tout \(k\in \mathbb Z\text{,}\) ce qui donne:

\begin{equation*} \sin(x)=\alpha (x-0)\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\frac{x}{k\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\frac{x}{2\pi}\right).... \end{equation*}

Or, pour tout \(k\in\mathbb{N}^*\text{,}\) \(\left(1-\frac{x}{k\pi}\right)\left(1+\frac{x}{k\pi}\right)=\left(1-\frac{x^2}{k^2\pi^2}\right)\text{,}\) d'où la formule souhaitée

\begin{equation*} \sin(x)= \alpha x \left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{9\pi^2}\right)... \end{equation*}

(c)

Calculer \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}.\) En déduire que \(\alpha =1\text{.}\)

Indication.

\(\frac{\sin(x)}{x}=\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}.\)

Spoiler.

On peut réécrire \(\frac{\sin(x)}{x}\) comme le taux d'accroissement de la fonction \(\sin\) en 0, ce qui donne

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}= \sin'(0)=\cos(0)=1. \end{equation*}

or on a obtenu

\begin{align*} \frac{\sin(x)}{x}\amp = \alpha (1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{4\pi^2})(1-\frac{x^2}{9\pi^2})...\\ \amp \xrightarrow[]{x\rightarrow 0} \alpha \end{align*}

Donc, par unicité de la limite, \(\alpha=1\) et

\begin{equation*} \frac{\sin(x)}{x} = (1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{4\pi^2})(1-\frac{x^2}{9\pi^2})... \end{equation*}

(d)

On va maintenant développer le polynôme⁴. On a donc trouvé que \(\frac{\sin(x)}{x}\) est un polynôme en \(x^2\text{:}\)

\begin{equation*} \frac{\sin(x)}{x} = \left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{9\pi^2}\right)... \end{equation*}

Il existe donc \(A_2,A_4,...\) tels que

\begin{equation*} \frac{\sin(x)}{x} = A_0+ A_2 x^2 + A_4 x^4 +.... \end{equation*}

Déterminer \(A_0\) et \(A_2\text{.}\)

Spoiler.

Lorsqu'on développe le produit \(\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{9\pi^2}\right)\text{,}\) on va obtenir tous les produits possibles de \(1\) et \(-\frac{x^2}{k^2\pi^2}\) pour \(k\) allant de 1 à \(+\infty\text{.}\)

La seule façon d'avoir un terme constant est donc de prendre le 1 dans chaque parenthèse, ce qui donne \(A_0=1*1*1...=1\text{.}\)

D'un autre côté, les termes en \(x^2\) vont être ceux obtenus en prenant un seul des termes \(\frac{x^2}{k^2\pi^2}\text{,}\) multiplié par le 1 de tous les autres facteurs (sinon on se retrouve avec un terme en \(x^4\) au moins). Au total, tous ces termes donnent

\begin{equation*} -\frac{x^2}{\pi^2}-\frac{x^2}{4\pi^2}-\frac{x^2}{9\pi^2}-...=-\left(\frac1{\pi^2}+\frac1{4\pi^2}+...\right)x^2 \end{equation*}

D'où finalement

\begin{align*} A_2\amp=-\left(\frac1{\pi^2}+\frac1{4\pi^2}+...\right)\\ \amp =-\frac1{\pi^2}\left(1+\frac14+\frac19...\right)\\ \amp =-\frac1{\pi^2}\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2} \end{align*}

(e)

En utilisant le développement limité de \(\sin\) en 0, montrer que

\begin{equation*} \frac{\sin(x)}{x} = 1- \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!}+... \end{equation*}

En déduire que \(A_2=-\frac16\text{.}\) Conclure.

Spoiler.

On sait que pour un polynôme \(P\in\mathbb{R}[X]\text{,}\) si on a

\begin{equation*} P=a_0+a_1X+...+a_nX^n = b_0+b_1X+...+b_nX^n \end{equation*}

alors on peut identifier les coefficients: \(a_i=b_i\) pour tout \(i\in\{1,\ldots n\}\text{.}\)

On va dire que ça marche aussi pour les polynômes infinis. Or on a le développement de Taylor de \(\sin:\)

\begin{equation*} \sin(x) = x- \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!}+... \end{equation*}

donc⁵

\begin{equation*} \frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!}+ \frac{x^4}{5!}+... \end{equation*}

Et d'un autre côté on a trouvé

\begin{equation*} \frac{\sin(x)}{x}=1-\frac1{\pi^2}\left(\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2}\right)x^2+... \end{equation*}

Donc, en identifiant les coefficients correspondant à \(x^2\text{:}\)

\begin{equation*} -\frac1{\pi^2}\left(\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2}\right)=- \frac{1}{3!} \end{equation*}

Autrement dit,

\begin{equation*} \sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2}= \frac{\pi^2}{6}. \end{equation*}

Trois preuves et demi de \(\sum_n \frac1{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\)

Section 1 La preuve d'Euler

Projet 1.1. \(\sin(x)\) vu comme un polynôme.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)