Section 1 Déterminants de petites matrices
Commençons, modestement, par les matrices de taille \(2\times 2\text{:}\)
Definition 1.1.
Soit \(\begin{pmatrix}a\amp b\\c\amp d\end{pmatrix}\in \mathcal M_2(\R)\text{.}\)
Son déterminant est défini par
Interprétation géométrique: pour \(A\in \mathcal M_2(\R)\text{,}\) \(|\det(A)|\) est l'aire du parallélogramme défini par les vecteurs \(v_1=\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}\) et \(v_2=\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}\text{:}\)
En particulier, \(\det(A)=0\) ssi les vecteurs \(v_1\) et \(v_2\) sont colinéaires.
Passons maintenant aux matrices de taille \(3\times 3\text{:}\)
Definition 1.2.
Soit \(A=(a_{ij})\in \mathcal M_3(\R)\text{.}\) Alors son déterminant est défini par
Moyen mnémotechnique:
Interprétation géométrique: Ici, \(|\det(A)|\) est le volume du parallélépipède donné par les vecteurs colonnes \(v_1,v_2,v_3\) de \(A\text{.}\)
En particulier, \(\det(A)=0\) ssi ce parallélépipède est plat, autrement dit ssi \(\dim\vect(v_1,v_2,v_3)\leq 2\text{,}\) autrement dit, ssi ces vecteurs sont liés.