Calculs de déterminants

Section 3 Calculs de déterminants

Commençons par la proposition suivante:

Proposition 3.1.

Soit \(A\in\mathcal M_n(\R)\text{.}\) Alors \(\boxed{\det({}^tA)=\det(A)}\text{.}\)

Ainsi, via la transposée, les propriétés qu'on a vu sur les colonnes de \(A\) s'appliquent aussi aux lignes de \(A\text{.}\) En particulier:

\(\det\) est linéaire par rapport à chaque ligne de \(A\)
\(\det A\neq 0\) ssi les lignes de \(A\) forment une base de \(\K^n\)
Le déterminant change de signe si on échange deux lignes.

Ce qui nous donne de nouvelles façons de calculer un déterminant: par développement, non seulement par rapport à la première ligne, mais par rapport à n'importe quelle ligne ou colonne.

Commençons par introduire une notation:

Definition 3.2.

Soit \(A=(a_{ij})\in\mathcal M_n(\K)\text{.}\) On note \(A_{ij}\) la matrice obtenue en supprimant la \(i\)-ième ligne et la \(j\)-ième colonne de \(A\text{.}\) On appelle cofacteur de \(A\) par rapport au coefficient \(a_{ij}\) le nombre

\begin{equation*} C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(A_{ij}) \end{equation*}

Theorem 3.3.

Développement par rapport à la \(i\)-ème ligne:

\begin{equation*} \det(A)=\sum_{j=1}^n a_{ij}C_{ij}=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}) \end{equation*}
Développement par rapport à la \(j\)-ème colonne:

\begin{equation*} \det(A)=\sum_{i=1}^n a_{ij}C_{ij}=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}) \end{equation*}

Proof.

On va utiliser la définition du déterminant par la formule de développement par rapport à la première ligne.

Pour démontrer la formule de développement par rapport à la \(i\)-ème ligne, on va utiliser le fait que permuter deux lignes change le signe du déterminant.

Du coup, si on permute la \(i\)-ème ligne "vers le haut" de proche en proche, jusqu'à ce qu'elle soit tout en haut de \(A\text{,}\) on change le signe du déterminant à chaque fois.

Autrement dit, au bout de \(i-1\) permutations, on obtient une nouvelle matrice \(\tilde A\) dont la première ligne est la \(i\)-ème ligne de \(A\) et toutes les suivantes sont dans le même ordre que \(A\text{.}\) Et cette matrice vérifie

\begin{equation*} \det(A)=(-1)^{i-1}\det(\tilde A) \end{equation*}

Voyons ce que cela donne:

\begin{align*} \amp \det(A)=\det \begin{pmatrix} a_{11}\amp \ldots\amp a_{1n}\\ \vdots\amp \amp \vdots\\ a_{i1}\amp \ldots\amp a_{in}\\ \vdots\amp \amp \vdots\\ a_{n1}\amp \ldots\amp a_{nn}\\ \end{pmatrix} =(-1)^{i-1}\det \begin{pmatrix} a_{i1}\amp \ldots\amp a_{in}\\ a_{11}\amp \ldots\amp a_{1n}\\ \vdots\amp \amp \vdots\\ a_{n1}\amp \ldots\amp a_{nn}\\ \end{pmatrix}\\ \amp =(-1)^{i-1}\left(\sum_{j=1}^n(-1)^{1+j}a_{ij}\det(A_{ij})\right)=\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}) \end{align*}
La formule sur les colonnes s'en déduit en appliquant celle qu'on vient de démontrer à \({}^tA\text{.}\)

D'après les propriétés du déterminant, on peut effectuer des opérations sur les colonnes \(C_j\) et les lignes \(L_i\) de \(A\) , ce qui modifie le déterminant comme suit.

Si on obtient \(\tilde A\) à partir de \(A\) par:

\(L_i \leftrightarrow L_j\text{,}\) ou \(C_i \leftrightarrow C_j\) alors \(\det \tilde A = - \det A\)
\(L_i \leftarrow L_i + \alpha L_j\text{,}\) ou \(C_i \leftarrow C_i + \alpha C_j\) alors \(\det \tilde A = \det A\)
\(L_i \leftarrow \alpha L_i\text{,}\) ou \(C_i \leftarrow \alpha C_i\) alors \(\det \tilde A = \alpha\det A\)

Stratégie: on utilise les opérations sur les lignes et les colonnes (notamment la deuxième) pour faire apparaître le plus de zéros possibles sur une ligne ou une colonne donnée, et on développe par rapport à celle-ci.

Example 3.4.

\begin{equation*} A= \begin{pmatrix} 4\amp 0\amp 3\amp 1\\4\amp 2\amp 1\amp 0\\0\amp 3\amp 1\amp -1\\1\amp 0\amp 2\amp 3 \end{pmatrix} \end{equation*}

On développe par rapport à la deuxième colonne:

\begin{align*} \det(A)\amp =2\cdot(-1)^{2+2}\det(A_{22})+3\cdot(-1)^{3+2}\det(A_{32})\\ \amp =2\det \begin{pmatrix} {\color{red}{4}}\amp 3\amp 1\\{\color{red}{0}}\amp 1\amp -1\\{\color{red}{1}}\amp 2\amp 3 \end{pmatrix}-3\det \begin{pmatrix} 4\amp 3\amp 1\\{\color{red}{4}}\amp {\color{red}{1}}\amp {\color{red}{0}}\\1\amp 2\amp 3 \end{pmatrix}\\ \amp =2\left(4\det \begin{pmatrix} 1\amp -1\\2\amp 3 \end{pmatrix}+1\det \begin{pmatrix} 3\amp 1\\1\amp -1 \end{pmatrix}\right)\\\\ \amp -3\left(-4\det \begin{pmatrix} 3\amp 1\\2\amp 3 \end{pmatrix}+1\det \begin{pmatrix} 4\amp 1\\2\amp 3 \end{pmatrix}\right)\\ \amp =2(4\times5+(-4))-3(-4\times7+11)=83. \end{align*}

Un cas particulier particulièrement simple à calculer: les matrices triangulaires:

Proposition 3.5.

Le déterminant d'une matrice triangulaire (ou diagonale) est le produit des coefficients diagonaux.

Proof.

Soit \(A\) une matrice triangulaire. Alors

\begin{equation*} \det(A)=a_{11}\det\begin{pmatrix} 1\amp \ldots\amp a_{1n-1}\amp a_{1n}\\ 0\amp \ddots\amp \\ \vdots\amp \ddots\amp \ddots\amp \vdots\\ 0\amp \ldots\amp 0\amp a_{nn} \end{pmatrix}=a_{11}\det\begin{pmatrix} 1\amp \ldots\amp 0\\ 0\amp a_{22}\amp \ddots\amp \\ \vdots\amp \ddots\amp \vdots\\ 0\amp \ldots\amp a_{nn} \end{pmatrix} \end{equation*}

via \(C_j\leftarrow C_j-a_{1j}C_1\text{,}\) ce qui ne change pas le déterminant.

Alors on voit qu'on peut mettre en facteur \(a_{22}\) dans la deuxième colonne, ce qui fait apparaître un 1, dont on se sert pour éliminer ce qui est à droite de \(a_{22}\text{.}\) En itérant, on obtient

\begin{equation*} \det(A)=a_{11}\ldots a_{nn}\det(I_n)=a_{11}\ldots a_{nn} \end{equation*}

✑ Compléter ce raisonnement par récurrence.