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Section 4 Applications du déterminant

Subsection 4.1 Calcul d'inverse de matrice

Definition 4.1.

Soit \(A\in \mathcal M_n(\R)\text{.}\) On note \(C_{ij}\) ses cofacteurs. Alors la matrice Com\((A)=(C_{ij})_{i,j}\in \mathcal M_n(\R)\) est appelée la comatrice de \(A\text{.}\)

Montrons que \(A{}^t\text{Com}(A)=\det(A)I_n\) (que \(A\) soit inversible ou non).

Le \((i,j)\)-ième coefficient de \(A^t\text{Com}(A)\) est donné par \(\sum_{k=1}^n a_{ik}C_{jk}\) .

  • Si \(i=j\text{,}\) cela donne

    \begin{equation*} \sum_{k=1}^n a_{ik}C_{ik}=\sum_{k=1}^n a_{ik}(-1)^{i+k}\det(A_{ik})=\det(A) \end{equation*}

  • Si \(i\neq j\text{,}\) appelons \(A'\) la matrice obtenue à partir de \(A\) en remplaçant \(L_j\) par \(L_i\text{.}\) Alors \(A'\) a deux lignes identiques dont \(\det(A')=0\text{.}\) On note \(C'_{kl}\) ses cofacteurs, alors on a pour tout \(k\text{,}\) \(C'_{jk}=C_{jk}\) et

    \begin{equation*} 0=\det(A')=\sum_{k}a'_{jk}C'_{jk}=\sum_k {a_ik}C_{jk} \end{equation*}

    donc si \(i\neq j\) le \((i,j)\)-ième coefficient de \(A^t\text{Com}(A)\) est donc nul.

On a donc bien \(A{}^t\text{Com}(A)=\det(A)I_n\text{.}\)

\begin{equation*} A= \begin{pmatrix} 1\amp 1\amp 0\\0\amp 1\amp 1\\1\amp 0\amp 1 \end{pmatrix} \text { donc } \text{Com}(A)= \begin{pmatrix} 1\amp 1\amp -1\\-1\amp 1\amp 1\\1\amp -1\amp 1 \end{pmatrix} \end{equation*}

De plus, en développant la première ligne, on obtient

\begin{equation*} \det(A)=\det \begin{pmatrix}1\amp 1\\0\amp 1\end{pmatrix}-\det \begin{pmatrix}0\amp 1\\1\amp 1\end{pmatrix}=2\neq 0 \end{equation*}

donc \(A\) est inversible et par la proposition précédente,

\begin{equation*} A^{-1}=\frac12\begin{pmatrix} 1\amp -1\amp 1\\1\amp 1\amp -1\\-1\amp 1\amp 1 \end{pmatrix} \end{equation*}

On vérifie:

\begin{equation*} \frac12\begin{pmatrix} 1\amp -1\amp 1\\1\amp 1\amp -1\\-1\amp 1\amp 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\amp 1\amp 0\\0\amp 1\amp 1\\1\amp 0\amp 1 \end{pmatrix} =\frac12\begin{pmatrix} 2\amp 0\amp 0\\0\amp 2\amp 0\\0\amp 0\amp 2 \end{pmatrix} =I_3. \end{equation*}

Subsection 4.2 Méthode de Cramer

La méthode de Cramer permet, en utilisant des déterminants, de résoudre un système linéaire ayant le même nombre de lignes et de colonnes:

Considérons le système linéaire

\begin{equation*} (\star) \begin{cases} a_{11}x_1+\ldots+a_{1n}x_n=b_1\\ \vdots\\ a_{n1}x_1+\ldots+a_{nn}x_n=b_n\\ \end{cases} \iff AX=B \end{equation*}

Pour \(j\in\{ 1 ,...,n\}\text{,}\) on note \(A_j\) la matrice obtenue en remplaçant la \(j\)-ième colonne de \(A\) par le vecteur-colonne \(B\text{:}\)

\begin{equation*} A_j= \begin{pmatrix} a_{11}\amp \ldots\amp b_{1}\amp \ldots\amp a_{1n}\\ \vdots\amp \amp \vdots\amp \amp \vdots\\ a_{n1}\amp \ldots\amp b_{n}\amp \ldots\amp a_{nn} \end{pmatrix} \end{equation*}

On a alors:

Si \(\det(A)\neq 0\text{,}\) \(A\) est inversible et l'unique solution de \((\star)\) est

\begin{equation*} X=A^{-1}B=\frac1{\det(A)}{}^t\text{Com}(A)B. \end{equation*}

Or le \(i\)-ième coefficient de \({}^t\text{Com}(A)B\) est

\begin{equation*} \sum_{k=1}^n C_{ki}b_k=\sum_{k=1}^n b_k(-1)^{i+k}\det(A_{ki}) \end{equation*}

ce qui est le développement de \(\det(A_i)\) par rapport à la \(i\)-ème colonne (celle qui est donnée par \(B\)). D'où

\begin{equation*} x_i=\frac1{\det(A)}\det(A_i) \end{equation*}

Considérons le système

\begin{equation*} (\star) \begin{cases} 3x-4y=6\\5x-3y=-1 \end{cases} \end{equation*}

Alors

\begin{align*} A\amp =\begin{pmatrix}3\amp -4\\5\amp -3\end{pmatrix}, \det(A)=11\\ A_1\amp =\begin{pmatrix}6\amp -4\\-1\amp -3\end{pmatrix}, \det(A_1)=-22\\ A_2\amp =\begin{pmatrix}3\amp 6\\5\amp -1\end{pmatrix}, \det(A)=-33 \end{align*}

donc la solution de \((\star)\) est

\begin{equation*} \begin{cases} x=-2\\y=-3 \end{cases} \end{equation*}