Analyse réelle S3

Vous trouverez ci-dessous quelques aides-mémoires:

• Utilisation du symbole $\Sigma$ pour les sommes
• Méthode de décomposition en éléments simples pour le calcul de primitives de fractions rationnelles.
• Primitives de fonctions (plus ou moins) usuelles.
• Séries: vocabulaire et critères de convergence.
• Intégrales de Riemann et intégrales généralisées
• Vocabulaire et méthodes sur les suites de fonctions

Quelques références:

• Complément de cours: Liret, Martinais, Analyse L2, chapitres 1 et 2 (séries), chapitre 3 (séries de fonctions) et chapitre 4 (séries entières). Pour l'intégration: Liret, Martinais, Analyse L1, chapitres 9 et 10.
• Fiches-méthodes: Merlin, MethodiX Analyse, chapitres 9 (études de suites), 10 (séries), 12 (suite et séries de fonctions), et 13 (séries entières). Voir aussi A.El Kaabouchi, D. Essayed, Mathématiques L2, chapitres 13, 14, 15 et 16.
• Mine inépuisable d'exercices calculatoires: recueil d'exercices de J. Douchet. Intégrales généralisées au chapitres 6-7, séries et séries entières au chapitre 8.

Chapitre 1: Suites numériques

Vous trouverez par ici un exercice bonus pour démontrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $(\sin(n)_n)$ est l'intervalle $[-1,1]$.

En parlant de valeurs d'adhérence, on les étudie souvent par "disjonction des cas": soit $(u_n)_n$ est une suite dont on veut déterminer les valeurs d'adhérence. Alors il est souvent utile de séparer les pairs des impairs, en étudiant les sous-suites $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$; ou alors les sous-suites $(u_{3n})_n, (u_{3n+1})_n$ et $(u_{3n+2})_n$

Pourquoi ça marche ? Voir ici !

Et ici, une démonstration du fait que la limsup d'une suite est sa plus grande valeur d'adhérence, etque la liminf est la plus petite.

Il n'est pas (trop) difficile, avec un encadrement astucieux, de montrer que la suite donnée par $S_n=\sum_{k=1}^n \frac1{n^2}$ converge, mais trouver vers quoi elle converge est une autre paire de manche. Deux excellentes vidéos (en anglais, mais sous-titrées) à ce sujet: la première, par le calcul et la seconde, par la géométrie

Chapitre 2: Séries numériques

Vous trouverez par ici quelques exemples illustrés de séries parmi celles figurant dans les exercices de TD. Pour un petit rafraichissement, vous trouverez ici un résumé des propriétés des sommes avec la notation $\Sigma$.

Chapitre 3: Intégrale

L'intégrale de Riemann sert à calculer l'aire sous la courbe d'une fonction donnée. Il se trouve qu'on ne sait pas calculer l'aire de grand-chose: des rectangles, principalement.

Parfois, ça suffit:

C'est donc en approximant la fonction par un paquet de rectangles (ou, comme on dit dans le métier, par une fonction en escaliers), puis en passant à la limite qu'on calcule des aires.

Vous trouverez ici une visualisation, que j'espère interactive, de ce procédé de construction de l'intégrale de Riemann via des subdivisions de plus en plus fines.

Instructions: une fois le (long) temps de chargement écoulé, allez dans le menu "Cell" et cliquez sur "Run all". Puis remontez en haut de la page.
A titre de révisions, vous trouverez ici une fiche sur la méthode d'intégration par décomposition en éléments simples.

Sur l'excellente chaîne YouTube 3blue1brown, on trouve la playlist Essence of calculus qui joint des explications limpides à de très jolies visualisations. Un avant-goût:

Chapitre 4: Intégrales généralisées

Vous trouverez ci-dessous une playlist d'exercices corrigés sur les intégrales généralisées:

Chapitre 5: Suites et séries de fonctions

Vous trouverez ici un outil pour visualiser différents exemples de séries de fonctions et comparer différents modes de convergence.
Instructions: une fois le temps de chargement écoulé, allez dans le menu "Cell" et cliquez sur "Run all". Puis remontez en haut de la page.
A titre de révisions, vous trouverez ici une fiche récapitulant les différentes façons de converger pour une suite de fonctions, et les méthodes qui vont avec (et quelques exemples et contre-exemples).