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Section 3 Inverse d'une application linéaire

Soit \((E,\|.\|_E)\) un espace de Banach, on note \(Isom(E)\) l'ensemble des endormorphismes continus de \(E\text{,}\) bijectifs, dont l'inverse est aussi continu.

On va montrer que \(Isom(E)\) est un ouvert de l'e.v.n. \((\mathcal L(E),\|.\|_{\mathcal L(E)})\text{,}\) et que la fonction définie sur cet ouvert par

\begin{equation*} I : A\in Isom(E)\mapsto A^{-1}\in Isom(E) \end{equation*}

est continue.

Et pour ça, on va faire appel à la Proposition 2.6.

Preuve guidée 3.1. Série d'application linéaire et inverse..
(a)

Soit \(H\in \mathcal L(E)\) tel que \(\|H\|_{\mathcal L(E)}\lt 1\text{.}\) Montrer que la série de terme général \(((-1)^n H^n)_n\) converge dans \(\mathcal L(E)\text{.}\)

Indication
Montrer que cette série converge normalement.
Spoiler

Posons \(A_n=(-1)^n H^n\text{.}\) Alors, d'après Proposition 2.7,on a

\begin{equation*} \|A_n\|_{\mathcal L(E)} = \| H^n\|_{\mathcal L(E)} \leq \|H\|^n_{\mathcal L(E)} \end{equation*}

Or par hypothèse, \(\|H\|_{\mathcal L(E)}\lt 1\) donc \((\|A_n\|_{\mathcal L(E)})\) est une suite réelle positive, majorée par une suité géométrique de raison \(\lt 1\text{.}\) On en déduit que la série de terme général \((A_n)_n\) converge normalement.

Puisque \((E,\|.\|_E)\) est un Banach, d'après la la Proposition 2.6, la série \(\sum (-1)^n H^n\) converge dans \(\mathcal L(E)\text{.}\)

(b)

On peut donc définir l'application linéaire

\begin{equation*} S = \sum_{n\geq 0}(-1)^n H^n \in \mathcal L(E) \end{equation*}

Montrer que \((Id_E+H)S = S(Id_E+H)=Id_E\text{.}\)

Spoiler

Calculons donc:

\begin{align*} (Id_E+H)S \amp = (Id_E+H)\sum_{n\geq 0}(-1)^n H^n\\ \amp = \sum_{n\geq 0}(-1)^n H^n + H\sum_{n\geq 0}(-1)^n H^n\\ \amp=\sum_{n\geq 0}(-1)^n H^n+\sum_{n\geq 0}(-1)^n H^{n+1}\\ \amp=\sum_{n\geq 0}(-1)^n H^n+\sum_{k\geq 1}(-1)^{k-1} H^{k}\\ \amp=\sum_{n\geq 0}(-1)^n H^n-\sum_{k\geq 0}(-1)^k H^{k}\\ \amp=(-1)^0H^0 = Id_E \end{align*}

On montre de la même façon que \(S(Id_E+H)=Id_E\text{.}\)

(c)

En déduire que la boule ouverte \(B(Id_E, 1)\subset \mathcal L(E)\) est incluse dans \(Isom(E)\text{.}\)

Spoiler

Soit \(L \in B(Id_E, 1)\text{.}\) Alors \(\|L-Id_E\|_{\mathcal L(E)}\lt 1\text{.}\) Si on pose \(H=L-Id_E\text{,}\) on a obtenu ci-dessus que \(Id_E+H\) est inversible, d'inverse

\begin{equation*} (H+Id_E)^{-1}= \sum_{n\geq 0}(-1)^n H^n \end{equation*}

Et ça tombe bien, parce que \(Id_E+H=L\text{.}\)

(d)

Soit \(A\in Isom(E)\) quelconque, et \(H\in \mathcal L(E)\) tel que \(\|H\|_{\mathcal L(E)}\lt \frac{1}{\|A^{-1}\|_{\mathcal L(E)}}\text{.}\)

Justifier que \(\|A^{-1} H\|_{\mathcal L(E)} \lt 1\text{,}\) et que la série

\begin{equation*} \sum (-1)^n (A^{-1} H)^n \end{equation*}

converge dans\(\mathcal L(E)\text{.}\)

Spoiler

D'après la Proposition 2.7, on a

\begin{equation*} \|A^{-1} H\|_{\mathcal L(E)}\leq \|A^{-1} \|_{\mathcal L(E)}\| H\|_{\mathcal L(E)} \lt 1 \end{equation*}

On en déduit, comme précédemment, que la série \(\sum (-1)^n (A^{-1} H)^n\) converge normalement, puisque la norme \(\|(-1)^n (A^{-1} H)^n\|_{\mathcal L(E)}\) est majorée par une suite géométrique de raison \(\lt 1\text{.}\) Et comme \(\mathcal L(E)\) est toujours un Banach, on endéduit qu'elle converge tout court.

(e)

En déduire que \(A+H\in Isom(E)\text{,}\) avec

\begin{equation*} (A+H)^{-1}= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (A^{-1} H)^n A^{-1} \end{equation*}
Spoiler

Toujours d'après ce qu'on a obtenu ci-dessus, on peut définir

\begin{equation*} S= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (A^{-1} H)^n \in \mathcal L(E) \end{equation*}

et \(S\) est l'inverse de \(Id_E+A^{-1} H\text{.}\) Mais du coup,

\begin{equation*} S(Id_E+A^{-1} H)=Id_E \text{ donc } SA^{-1}(A+Id_E)=Id_E \end{equation*}

autrement dit,

\begin{equation*} \left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (A^{-1} H)^n A^{-1} \right)(A+Id_E)=Id_E \end{equation*}

D'un autre côté,

\begin{align*} \amp (Id_E+A^{-1} H)\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (A^{-1} H)^n =Id_E\\ \text{donc }\amp (Id_E+A^{-1} H)\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (A^{-1} H)^n A^{-1} \right) = A^{-1}\\ \text{donc }\amp A(Id_E+A^{-1} H)\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (A^{-1} H)^n A^{-1} \right) =A A^{-1}=Id_E\\ \text{donc }\amp (A+ H)\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (A^{-1} H)^n A^{-1} \right) = A^{-1} \end{align*}

Ce qui montre que \(A+H\) est inversible, d'inverse \(\sum_{n=0}^\infty ((-1)^n (A^{-1} H)^n A^{-1}) \in \mathcal L(E)\text{.}\) Donc \(A+H \in Isom(E)\text{.}\)

(f)

En déduire que \(Isom(E)\) est un ouvert de \(\mathcal L(E)\text{,}\) et que \(\mathcal I:Isom(E)\rightarrow Isom(E)\) est continue sur \(Isom(E)\text{.}\)

⚠ \(\mathcal I\) n'est pas une application linéaire ! Il faut donc montrer qu'elle est continue en chaque point de \(Isom(E)\text{.}\)

Spoiler

Soit \(A_0\in Isom(E)\text{.}\) Soit \(A\in \mathcal L(E)\) tel que \(\|A-A_0\|_{\mathcal L(E)} \lt \frac{1}{\|A_0^{-1}\|_{\mathcal L(E)}}\text{,}\) alors \(A_0+(A-A_0) \in Isom(E)\text{.}\) En d'autres termes,

\begin{equation*} B\left(A_0, \frac{1}{\|A_0^{-1}\|_{\mathcal L(E)}}\right) \subset Isom(E) \end{equation*}

Donc \(Isom(E)\) est un voisinage de \(A_0\text{:}\) et comme c'est le cas pour tout \(A_0\in Isom(E)\text{,}\) \(Isom(E)\) est un ouvert.

Soit maintenant \(A_0\in Isom(E).\) Montrons que \(\mathcal I\) est continue en \(A_0\text{.}\) Soit \(A\in B\left(A_0, \frac{1}{\|A_0^{-1}\|_{\mathcal L(E)}}\right)\text{.}\) On écrit \(A = A_0 + H\) et on calcule

\begin{align*} \mathcal I(A)-\mathcal I(A_0) \amp= (A_0+H)^{-1} - A_0^{-1}\\ \amp= (A_0+H)^{-1} - A_0^{-1}\\ \amp= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (A_0^{-1} H)^n A_0^{-1} - A_0^{-1}\\ \amp= \sum_{n=1}^\infty (-1)^n (A_0^{-1} H)^n A_0^{-1} \end{align*}

donc

\begin{align*} \|\mathcal I(A)-\mathcal I(A_0)\|_{\mathcal L(E)}\amp= \|\sum_{n=1}^\infty (-1)^n (A_0^{-1} H)^n A_0^{-1}\|_{\mathcal L(E)}\\ \amp \leq \sum_{n=1}^\infty \|(-1)^n (A_0^{-1} H)^n A_0^{-1}\|_{\mathcal L(E)} \\ \amp \leq \sum_{n=1}^\infty (\|A_0^{-1}\|_{\mathcal L(E)}^n \|H\|_{\mathcal L(E)}^n \|A_0^{-1}\|_{\mathcal L(E)}) \\ \amp \leq \|H\|_{\mathcal L(E)}\sum_{n=1}^\infty (\|A_0^{-1}\|_{\mathcal L(E)}^{n+1} \|H\|_{\mathcal L(E)}^{n-1}) \\ \amp \leq \|H\|_{\mathcal L(E)}\sum_{k=0}^\infty (\|A_0^{-1}\|^2\|A_0^{-1}\|_{\mathcal L(E)}^{k} \|H\|_{\mathcal L(E)}^k) \end{align*}

Or la série de terme général \(a_k=(\|A_0^{-1}\|_{\mathcal L(E)} \|H\|_{\mathcal L(E)})^k\) converge vers \(\frac1{1-\|A_0^{-1}\|_{\mathcal L(E)} \|H\|_{\mathcal L(E)}}\) donc

\begin{equation*} \|\mathcal I(A)-\mathcal I(A_0)\|_{\mathcal L(E)} \leq \varphi(\|A-A_0\|_{\mathcal L(E)}) \end{equation*}

où

\begin{equation*} \varphi:t\mapsto \frac{\|A_0^{-1}\|_{\mathcal L(E)}^2}{1-t\|A_0^{-1}\|_{\mathcal L(E)}}t \xrightarrow[t\rightarrow 0]{}0. \end{equation*}

Donc \(\mathcal I\) est continue en \(A_0\text{.}\)

En fait, c'est encore mieux que ça: non seulement \(\mathcal I\) est continue, mais en plus, elle est différentiable.

Preuve guidée 3.2.
(a)

Soit \(A \in Isom(E)\text{.}\) Montrer que \(\mathcal I\) est différentiable en \(A\text{,}\) de différentielle

\begin{equation*} D\mathcal I(A): H\in \mathcal L(E) \mapsto -A^{-1} H A^{-1} \in \mathcal L(E) \end{equation*}
Indication

Utiliser la formule qu'on a obtenue à la Preuve guidée 3.1 et qui donnait \(\mathcal I(A)-\mathcal I(A_0)\) pour exprimer \(\mathcal I(A_0+H)-\mathcal I(A_0)\text{.}\)

En déduire une majoration de

\begin{equation*} \mathcal I(A_0+H)-\mathcal I(A_0) + A_0^{-1} H A_0^{-1} \end{equation*}
Spoiler

On a obtenu à la Preuve guidée 3.1

\begin{align*} \mathcal I(A_0+H)-\mathcal I(A_0)\amp=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n (A_0^{-1} H)^n A_0^{-1}\\ \amp= (-1)^1 (A_0^{-1} H)^1 A_0^{-1}+\sum_{n=2}^\infty (-1)^n (A_0^{-1} H)^n A_0^{-1}\\ \amp= \underbrace{-A_0^{-1} H A_0^{-1}}_{\text{linéaire en }H!}+\underbrace{\sum_{n=2}^\infty (-1)^n (A_0^{-1} H)^n A_0^{-1}}_{:=R(H)} \end{align*}

Reste à montrer que

\begin{equation*} \frac1{\|H\|_{\mathcal L(E)}}\|R(H)\|_{\mathcal L(E)} \xrightarrow[H\rightarrow 0]{}0 \end{equation*}

Or,

\begin{align*} \|R(H)\|_{\mathcal L(E)} \amp\leq \sum_{n\geq 2} \|(-1)^n (A_0^{-1} H)^n A_0^{-1}\|_{\mathcal L(E)}\\ \amp\leq \sum_{n\geq 2}\|A_0^{-1}\|^n_{\mathcal L(E)} \|H\|_{\mathcal L(E)}^n A_0^{-1}\|_{\mathcal L(E)}\\ \amp=\|H\|_{\mathcal L(E)}^2\underbrace{\sum_{k\geq 0}\|A_0^{-1}\|^{k+3}_{\mathcal L(E)} \|H\|_{\mathcal L(E)}^k \|_{\mathcal L(E)}}_{\text{borné}} \end{align*}

donc il existe \(C\gt0\) tq

\begin{equation*} \frac1{\|H\|_{\mathcal L(E)}}\|R(H)\|_{\mathcal L(E)} \leq C\frac{\|H\|_{\mathcal L(E)}^2}{\|H\|_{\mathcal L(E)}}=C\|H\|_{\mathcal L(E)}\xrightarrow[H\rightarrow 0]{}0 \end{equation*}

comme on voulait.

(b)

Montrer que \(\mathcal I\in \mathcal C^1(Isom(E))\text{.}\)

Indication

En utilisant la méthode ancestrale de l'ajout-soustraction simultanée, on a

\begin{equation*} A_0^{-1} H A_0^{-1}-A^{-1} H A^{-1} = A_0^{-1} H A_0^{-1}-A^{-1} H A_0^{-1}+A^{-1} H A_0^{-1}-A^{-1} H A^{-1} \end{equation*}