Sauter au contenu

Section 1 Permutations

Une des propriétés les plus évidentes de l'addition, c'est la commutativité : quels que soient \(a,b\in\R\text{,}\) \(a+b=b+a\text{.}\) Et de là, par une récurrence immédiate  1 , quand on a une somme de \(n\) termes, on peut les ranger dans l'ordre qu'on veut.

Figure 1.1. via GIPHY 2 

Je sais, je sais. Mais cette récurrence est-elle si immédiate ? Essayez de l'écrire, pour voir.

Commençons par formaliser un peu cette idée: comment traduire mathématiquement l'idée "je somme dans l'ordre que je veux" ?

Si on a deux éléments à sommer \(a_1\) et \(a_2\text{,}\) il n'y a que deux possibilités pour les ordonner : \(a_1+a_2\) et \(a_2+a_1\text{.}\)

Si on en a trois, disons \(a_1,a_2\) et \(a_3\text{,}\) \(a_1,a_2,a_3\text{,}\) il y a six possibilités:

\begin{equation*} a_1+a_2+a_3,a_1+a_3+a-2,a_2+a_1+a_3,a_3+a_2+a_1,a_3+a_1+a_2,a_2+a_3+a_1 \end{equation*}

Et s'il y en a 4 ?

Lister tous les ordres possibles pour la somme de 4 termes.

Indication.
Il y en a 24 au total !
Spoiler.

Ca se complique rapidement ! Et pour 5 éléments, il y en a 120 3 .

\(\leadsto\) Comment être sûr qu'on n'en a pas loupé ?

Pour 4 éléments, une façon de faire est de choisir, parmi \(a_1,a_2,a_3,a_4\text{,}\) lequel on va mettre en premier.

\(\leadsto\) Il y a 4 possibilités pour ce premier élément.

Ensuite, on choisit le deuxième parmi les trois qui restent, puis le troisième parmi les deux qui restent. Et pour le dernier, on n'a plus de choix: il n'en reste qu'un.

Ce qui nous permet de compter les ordres possibles: 4 possiblités pour le premier élément, chacune laissant 3 possiblités pour le deuxième, chacune de ceux-là laissant 2 possiblités pour le troisième, et 1 seule possibilité pour le dernier: au total, 4*3*2*1=24 choix possibles.

De là, on peut se convaincre que pour \(n\) éléments, on aura \(n*(n-1)*...*2*1=n!\) choix possibles.

Mais quel sens mathématique donner à la notion "d'ordre" ? Quel genre d'objet mathématique représenterait le mieux cette idée ?

Figure 1.3.
Figure 1.4.

\(\leadsto\) Chaque ordre fait correspondre, à chaque élément \(k\) de l'ensemble \(\{1,2,3,...,n\}\text{,}\) un unique élément \(\alpha_k\) du même ensemble \(\{1,2,3,....,n\}\) de façon à ce que

  • Si \(k\neq k'\text{,}\) alors \(\alpha_k\neq \alpha_{k'}\) (on ne reprend pas un élément qu'on a déjà utilisé)

  • Pour tout \(\ell \in \{1,2,3,...,n\}\) il existe \(k\in \{1,2,3,...,n\}\) tel que \(\ell=\alpha_k\) (on utilise tous les éléments \(a_1,...a_n\) pour faire notre somme)

\(\leadsto\) On obtient une application \(k\in \{1,2,3,...,n\} \mapsto \alpha_k\) injective et surjective: un ordre, c'est une bijection de \(\{1,2,3,...,n\}\) vers \(\{1,2,3,...,n\}\text{.}\) On appelle ça une permutation de l'ensemble \(\{1,2,3,...,n\}\text{.}\)

On note \(\mathcal{S}_n\) l'ensemble de toutes les permutations de l'ensemble \(\{1,2,...,n\}\text{.}\) On a vu que \(\Card(\mathcal{S}_n)=n!\text{.}\)

Donc, on peut écrire mathématiquement la propriété de commutativité d'une somme de \(n\) termes comme ça: pour tout entier \(n\text{,}\) et pour tout \((a_1,...,a_n)\in\R^n\text{,}\)

\begin{equation*} \forall \sigma\in \mathcal S_n, \sum_{k=1}^n a_{\sigma(k)}=\sum_{k=1}^n a_k. \end{equation*}

On serait maintenant en mesure de le prouver, mais comme on le sait déjà, on va laisser ça de côté. Ce qui va nous intéresser, c'est plutôt:

Question Est-ce que c'est encore vrai pour une somme infinie ?

Formule consacrée permettant de ne pas écrire une preuve qu'on a la flemme d'écrire
giphy.com/gifs/betawards-behind-the-scenes-leslie-jones-3o7bu4Tq2KTi52J6Ew
Listez-les ! .... Non, je plaisante.