Convergence commutative et séries absolument convergentes

Section 2 La série harmonique alternée

A priori, ça semble tomber sous le sens. Mais l'infini¹ et² le bon sens³ ne⁴ s'entendent⁵ pas⁶ très⁷ bien⁸.

\(\leadsto\) Déjà pour commencer, ça signifie quoi, mathématiquement, de sommer une infinité de réels \(a_1,a_2,a_3...\) ?

Traditionnellement, c'est la notion de série, et plus spécifiquement de série convergente, qui donne le sens mathématique d'une "somme infinie".

Prenons notre infinité d'éléments \(a_1,a_2,a_3...\text{.}\) Ils forment une suite \((a_n)_n\text{,}\) à partir de laquelle on va former une nouvelle suite, la suite des sommes partielles, c'est-à-dire la suite des sommes des \(n\) premiers termes:

\(\leadsto\) Chacun des \(S_n\) est une brave somme finie, donc ça, on sait faire. On ajoute les termes \((a_n)_n\) dans l'ordre "traditionnel" : \(a_1\text{,}\) puis on ajoute \(a_2\text{,}\) puis on ajoute \(a_3\) à cette somme, puis \(a_4\text{,}\) etc.

Si la suite \((S_n)_n\) ainsi formée a une limite \(S\) quand \(n\rightarrow\infty\text{,}\) on dit que la série de terme général \((a_n)_n\) converge. Et on va considérer, ce qui ne semble pas déraisonnable, que la somme de tous les \(a_n\text{,}\) c'est cette limite \(S\text{:}\)

Prenons par exemple la somme de tous les \(\frac{(-1)^{n+1}}{n}\text{,}\) autrement dit la série de terme général \(\left(a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right)_n\).

Cette suite \(S_n\) converge, quoique lentement, vers \(S=\ln(2)\simeq 0.693147\text{.}\)

Projet 2.1. Convergence de la série de terme général \(\frac{(-1)^{n+1}}{n}\).

(a)

On considère la fonction

\begin{equation*} f:t\in ]-1,1[\mapsto \ln(1+t)\in\R \end{equation*}

Montrer que \(f\) est indéfiniment dérivable en 0 et que, pour tout \(n\in\N^*\text{,}\)

\begin{equation*} f^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}(n-1)! \end{equation*}

Indication.

Récurrence ?

Spoiler.

(b)

En déduire que, pour tout \(n\geq 1\text{,}\)

\begin{equation*} \left|\ln(2) - \sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k-1}}{k}\right|\leq \frac1n \end{equation*}

Indication.

A toutes fins utiles, on rappelle l'inégalité de Taylor-Lagrange⁹:

Soit \(f:I\rightarrow \R\) une fonction \(n\) fois dérivable en \(a\in I\text{.}\) On suppose qu'il existe \(M>0\) tel que, pour tout \(y\in I\text{,}\) \(|f^{(n)}(y)|\leq M\text{.}\) Alors, pour tout \(x\in I\text{,}\)

\begin{equation*} \left|f(x)-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\right|\leq \frac{M}{n!}|x-a|^n \end{equation*}

Spoiler.

(c)

Conclure sur la convergence de la série de terme général \(\frac{(-1)^{n+1}}{n}\text{.}\)

Spoiler.

Projet 2.2. Une autre preuve de la même chose, pour être sûrs..

(a)

Montrer que pour tout \(n\geq 1\text{,}\)

\begin{equation*} S_n=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}{k} = \int_0^1 \frac{1-(-t)^n}{1+t} dt \end{equation*}

Indication.

Je pense que vous êtes au courant, mais, pour tout \(k\geq 1\text{,}\)

\begin{equation*} \frac 1{k} = \int_0^1 t^{k-1} dt \end{equation*}

Spoiler.

(b)

Montrer que, pour tout \(n\geq 1\text{,}\)

\begin{equation*} \left|\int_0^1 \frac{(-t)^n}{1+t} dt\right| \leq \frac 1{n+1} \end{equation*}

Spoiler.

(c)

En déduire que

\begin{equation*} |S_n - \ln(2)|\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 0 \end{equation*}

Spoiler.

Maintenant qu'on en est certains, voyons ce qui se passe si on change l'ordre des termes.

Allons-y prudemment. Si on échange les deux premiers termes, il ne se passe rien.

Prouvez-le !

Spoiler.

De même, en fait, si on permute un nombre fini de termes.

Spoiler.

Essayons donc une autre permutation \(\sigma:\N\rightarrow\N\text{,}\) définie comme suit:

Dans nos sommes partielles \(S_n=\sum_{k=1}^n a_k\text{,}\) on alterne un terme positif et un terme négatif:

On va réordonner les termes pour sommer un terme positif, puis deux négatifs, puis un positif, puis deux négatifs... et ainsi de suite jusqu'à l'infini¹¹:

Projet 2.3. Qu'avons-nous fait ?

(a)

Exprimer la suite \((b_k)_k\) ainsi obtenue en fonction de \(a_k\text{.}\)

Indication.

Spoiler.

(b)

En déduire une application \(\sigma:\N\rightarrow\N\) telle que, pour tout \(k\in\N^*\text{,}\) \(b_k=a_{\sigma(k)}\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Montrer que \(\sigma:\N\rightarrow\N\) est injective.

Indication.

Si on suppose que \(\sigma(k)=\sigma(k')=m\text{,}\) alors on peut séparer les cas selon la parité de \(m\text{,}\) et, dans le cas où \(m\) est pair, distinguer deux sous-cas selon si \(m\) est divisible par 4 ou non.

Spoiler.

(d)

Montrer que \(\sigma:\N\rightarrow\N\) est surjective.

Indication.

Pour un entier \(m\) quelconque, on cherche donc un antécédent \(k\text{.}\) A nouveau, on peut séparer différents cas en utilisant la partition

\begin{equation*} \N=(4\N)\cup (4\N+1)\cup (4\N+2) \cup (4\N+3) \end{equation*}

\(\leadsto\) \(m\) est forcément dans un de ces 4 ensembles !

Spoiler.

Projet 2.4.

Question: Est-ce que la série de terme général \((a_{\sigma(n)})_n\) converge vers \(\ln(2)\) ? Et pour commencer, est-ce qu'elle converge ?

Spoiler.

Rappelons qu'on note \(S_n=\sum_{k=1}^n a_k\text{,}\) \(\widetilde S_n=\sum_{k=1}^n b_k=\sum_{k=1}^n a_{\sigma(k)}\text{.}\) On sait que la suite \((S_n)_n\) converge vers \(\ln(2)\text{,}\) et ce qu'on veut savoir, c'est si c'est aussi le cas de la suite \((\widetilde S_n)_n\text{.}\)

Admettons pour le moment que \((\widetilde S_n)_n\) converge vers une limite \(\widetilde S \in \R\text{.}\)

Projet 2.5.

(a)

Montrer que la sous-suite \((S_{2n})_n\) de \((S_n)_n\) est strictement croissante.

Indication.

\begin{equation*} S_{2(n+1)}=S_{2n+2}=\sum_{k=1}^{2n+2}a_k=\left(\sum_{k=1}^{2n}a_k\right) + a_{2n+1}+a_{2n+2} \end{equation*}

Spoiler.

(b)

Montrer que la sous-suite \((\widetilde S_{3n+1})_n\) de \((\widetilde S_n)_n\) est strictement décroissante.

Indication.

\begin{align*} \widetilde S_{3(n+1)+1}\amp=\widetilde S_{3n+4}=\sum_{k=1}^{3n+4} a_{\sigma(k)}\\ \amp=\left(\sum_{k=1}^{3n+1}a_{\sigma(k)}\right) + a_{\sigma(3n+2)}+a_{\sigma(3n+3)}+a_{\sigma(3n+4)} \end{align*}

\(\leadsto\) On sait calculer \(a_{\sigma(3n+2)}\text{,}\) et on remarque que \(3n+3=3(n+1),3n+4=3(n+1)+1\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Trouver des entiers \(m\) et \(\ell\) tels que \(S_{2m}\geq \widetilde S_{3\ell+1}\)

Spoiler.

(d)

En déduire que \(\widetilde S \lt \ln(2)\text{.}\)

Spoiler.

Mais alors, si ce n'est pas vers \(\ln(2)\text{,}\) vers quoi convergerait \((\widetilde S_n)_n\) ? Et d'abord, est-ce qu'elle converge ?

On peut se faire une idée heuristique¹² en regroupant les termes par paquets de 3:

⚠ Ici, on n'a pas changé l'ordre des termes, mais le fait de les regrouper utilise une autre propriété triviale de l'addition: l'associativité \(A+(B+C)=(A+B)+C\text{.}\)

Et on a appris à se méfier des propriétés triviales quand il y a des ... !

Sauf que cette fois, ça marche. Pour le prouver, on va utiliser le bien nommé:

Projet 2.6.

Démontrons ce résultat:

(a)

Montrer que, pour tout \(n\in\N\text{,}\)

\begin{equation*} \sum_{k=1}^{\phi(n)-1}u_k = \sum_{k=1}^n T_k \end{equation*}

Spoiler.

(b)

En déduire que si la série de terme général \((u_n)_n\) converge, alors la série de terme général \((T_n)_n\) converge, et

\begin{equation*} \sum_{n=1}^\infty u_n = \sum_{n=1}^\infty T_n \end{equation*}

Indication.

A la question précédente, on a montré que la suite des sommes partielles de l'une de ces deux séries est une sous-suite de la suite des sommes partielles de l'autre.

Spoiler.

(c)

On va maintenant montrer la réciproque: c'est à dire que si la série de terme général \((T_n)_n\) converge, alors la série de terme générale \((u_n)_n\) converge aussi et les sommes de ces deux séries sont les mêmes.

On suppose donc que la série \(\sum T_n\) converge. Autrement dit, il existe \(\ell\in\R\) tel que la suite \(\left(\sum_{k=0}^n T_k\right)_n\) converge vers \(\ell\text{.}\) Il s'agit donc de montrer que la suite \(\left(\sum_{k=1}^n u_k\right)_n\) converge également vers \(\ell\)

Ecrire ceci en quantificateurs et en déduire un plan de bataille.

Spoiler.

(d)

Montrer que, pour tout \(n\in\N\text{,}\) il existe \(k_n\in\N\) tel que

\begin{equation*} \phi(k_n)\leq n\leq \phi(k_n+1)-1 \end{equation*}

Indication.

Pour un \(n\in\N\text{,}\) on peut considérer l'ensemble

\begin{equation*} A_n=\{k\in \N, \phi(k)\leq n\} \end{equation*}

et utiliser le fait que toute partie non vide majorée de \(\N\) admet un maximum¹³.

Spoiler.

(e)

Soit \(n\in\N\text{.}\) Montrer que:

\begin{equation*} \left|\sum_{k=1}^n u_k - \ell\right| \leq \left|\sum_{k=1}^{k_n} T_k - \ell\right| + G_{k_n} \end{equation*}

Indication.

Utiliser la définition de \(k_n\) et recycler la question 1

Spoiler.

(f)

Déterminer un entier \(N\in\N\) tel que, si \(n\geq N\text{,}\)

\begin{equation*} \left|\sum_{k=1}^{k_n} T_k - \ell\right| \lt \frac{\varepsilon}2\text{ et } G_{k_n} \lt \frac{\varepsilon}2 \end{equation*}

Conclure que la série de t.g. \((u_n)_n\) converge et que

\begin{equation*} \sum_{n=1}^\infty u_n=\ell \end{equation*}

Spoiler.

Revenons à nos moutons harmoniques alternés. On a vu que, si \(a_n=\frac{(-1)^n}{n}\text{,}\) alors la série de terme général \((a_n)_n\) converge et que sa somme est \(\ln(2)\text{.}\) On a introduit une suite \((b_n=a_{\sigma(n)})_n\) en permutant l'ordre des \((a_n)_n\) et on veut montrer que la série de terme général \((b_n)_n\) converge.

On a eu plus haut une idée prometteuse: regrouper les \(b_k\) par paquets de 3. Peut-on utiliser le théorème de sommation par paquet pour transformer cette idée en preuve ?

Projet 2.7.

(a)

Trouver une application \(\phi:\N^*\rightarrow \N^*\) strictement croissante, telle que \(\phi(1)=1\) et telle que, avec les notations du théorème de sommation par paquet appliqué à la suite \((b_n)_n\text{,}\) les tranches \(T_n\) soient somme de trois termes consécutifs de la suite \((b_n)_n\text{.}\)

Vérifier que les conditions du théorème de sommation par paquet sont alors remplies.

Spoiler.

(b)

Montrer que la série de terme général \((T_n)_n\) converge.

Indication.

Calculer \(T_n\) et utiliser le principe d'équivalence.

Spoiler.

(c)

Conclure.

Spoiler.

Reste à calculer la limite de \(\widetilde S_n=\sum_{k=1}^n a_{\sigma(k)}\text{.}\)

Projet 2.8.

Revenons à \(S_n=\sum_{k=1}^n a_k\) et appliquons le théorème de sommation par paquets, cette fois avec des paquets de 2:

(a)

Trouver \(\psi:\N^*\rightarrow \N^*\) strictement croissante, telle que, pour tout \(n\in\N^*\text{,}\)

\begin{equation*} t_n := a_{\psi(n)}+a_{\psi(n)+1}+...+a_{\psi(n+1)-1} \end{equation*}

est la somme de deux termes consécutifs de la suite \((a_n)_n\text{.}\)

Spoiler.

(b)

En déduire la valeur de \(\sum_{n=1}^\infty t_n\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Quelle est la relation entre \(t_n\) et \(T_n\) obtenu à l'exercice précédent ?

En déduire la la valeur de \(\sum_{n=1}^\infty T_n\text{.}\)

Spoiler.

(d)

Que vaut \(\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)}\) ?

Spoiler.

Un autre calcul de la valeur de \(\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)}\text{:}\)

Projet 2.9.

(a)

Montrer que pour tout \(n\geq 1\text{,}\)

\begin{equation*} \widetilde S_{3n}= S_{2n}+\sum_{k=n+1}^{2n}a_{2k} \end{equation*}

Indication.

Ca ressemble à "récurer"

Spoiler.

(b)

Montrer que, pour tout \(k\in\N^*\text{,}\)

\begin{equation*} a_{2(k+1)}\geq -\int_k^{k+1}\frac1{2x}ds \geq a_{2k} \end{equation*}

Indication.

On pourra chercher l'inspiration dans la preuve du critère de comparaison série-intégrale (ou dans la forêt hein, comme vous préférez)

Spoiler.

(c)

En déduire un encadrement de \(\sum_{k=n+1}^{2n}a_{2k}\text{.}\)

Indication.

La forêt, il faut reconnaître que c'est très inspirant, mais vraiment, s'il pleut, je recommande une petite balade dans la preuve du critère de comparaison série-intégrale.

Spoiler.

(d)

Montrer que \(\widetilde S=S-\frac12\ln(2)\text{.}\)

En déduire \(\widetilde S\text{.}\)

Spoiler.