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Section 4 Où Riemann arrive enfin, pour réarranger tout ce bazar.

.

Faisons le point. On a montré que, contre toute attente, la proposition intitive suivante est fausse:

On a même montré que la proposition moins ambitieuse suivante n'est pas vraie non plus:

La situation est donc plus complexe que prévue. Il va donc falloir creuser un peu.

➢ Puisque nos propositions ne marchent pas pour toutes les suites, existe-t-il des suites pour lesquelles ça fonctionne ?

Si ça se trouve, la Proposition 4.2 est vraie pour toute suite qui n'est pas \(\frac{(-1)^n}n\) !

Regardons d'un peu plus près ce qui a rendu la Proposition 4.2 fausse. On a montré que \(a_n=\frac{(-1)^n}n\) est un contre-exemple, en construisant une permutation \(\sigma'\) telle que, bien que \(\sum a_n\) converge, \(\sum a_{\sigma'(n)}\) diverge.

➢ De quoi a-t-on eu besoin ?

On a eu besoin d'un ensemble infini d'indices, en l'occurence \(2\N+1\text{,}\) telle que, si on prend, dans l'ordre, les termes correspondants de la suite, on obtient une série divergente.

Et, pour que \(\sum a_n\) converge quand même, on avait besoin que les termes restants - les termes pairs, donc - "compensent" suffisamment les termes impairs. En particulier, il nous en faut une infinité.

➢ Il nous faut une infinité de termes positifs, et une infinité de termes négatifs, tels que, si on ne prend que les positifs (ou que les négatifs), ça diverge.

Ca ne peut arriver qu'avec des séries qui ne sont pas de signe constant à partir d'un certain rang. On pourrait donc poser une nouvelle conjecture:

Tentative de sauver la Proposition 4.2 Pour toute suite \((a_n)_n\) de réels positifs (ou négatifs) 1 , si \(\sum a_n\) converge, alors pour toute permutation \(\sigma\in\mathcal S(\N)\text{,}\) \(\sum a_{\sigma(n)}\) converge.

De plus, même si \((a_n)_n\) n'est pas de signe constant APCR 2 , pour trouver la perumtation \(\sigma'\) qui fait tout planter, on a besoin que les termes de même signe forment une série divergente. Du coup, la convergence de la série \(\sum a_n\) était dûe à une compensation par les termes de signe opposé.

En d'autre termes, dans le cas de \(\frac{(-1)^n}{n}\text{,}\) le \((-1)^n\) est indispensable pour que la série converge.

Mais il existe aussi des suites de signe non constant APCR, mais dont les termes positifs ou négatifs ne forment pas des séries divergentes. Par exemple:

\begin{equation*} u_n=\frac{(-1)^n}{n^2} \end{equation*}

Cette suite n'est pas positive ou négative, mais on ne peut pas lui appliquer notre raisonnement. Et en fait, dans ce cas, la série est absolument convergente: on peut donc se ramener à la suite positive \(|u_n|\text{.}\) On peut donc formuler:

Tentative 2 de sauver la Proposition 4.2 Pour toute suite \((a_n)_n\) réelle, si \(\sum |a_n|\) converge, alors pour toute permutation \(\sigma\in\mathcal S(\N)\text{,}\) \(\sum a_{\sigma(n)}\) converge.

⚠ On n'a pas montré que ces conjectures sont vraies ! Et on a déjà été trompés par l'intuition.

La bonne nouvelle c'est que cette fois, Bernhard est d'accord avec nous.

Figure 4.4. Georg Friedrich Bernhard Riemann, un type qui n'a pas une tête à avoir tort.

\(\leadsto\) On va même pouvoir sauver la Proposition 4.2 !

Exercices Preuve de la première implication

Supposons que la série de t.g. \((a_n)_n\) est absolument convergente. Soit \(\sigma\in\mathcal S(\N)\text{,}\) on veut montrer que la série de terme général \((a_{\sigma(n)})_n\) est convergente et a la même somme.

Exercice.

Commençons par montrer que la série \(\sum a_{\sigma(n)}\) converge.

1.

Montrer que, pour tout \(n\in\N\text{,}\) il existe \(n'\in\N\) tel que:

\begin{equation*} \sum_{k=0}^n |a_{\sigma(k)}| \leq \sum_{k=0}^{n'} |a_k|\text{.} \end{equation*}
Spoiler.
2.
En déduire que la suite \(\left(\sum_{k=0}^n |a_{\sigma(k)}|\right)_n\) est majorée.
Spoiler.
3.
Montrer que la série de terme général \((a_{\sigma(n)})_n\) converge.
Spoiler.

On a montré que, si la série de t.g. \((a_n)_n\) converge absolument alors, pour n'importe quelle permutation \(\sigma:\N\rightarrow \N\text{,}\) la série de terme général \((a_{\sigma(n)})_n\) converge.

Exercice.

Il nous reste maintenant à montrer que \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\text{.}\)

On note \(S=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\text{.}\)

Soit \(\varepsilon \gt 0\text{,}\) on cherche donc \(M_\varepsilon\in \N\) tel que, pour tout \(N\geq M_\varepsilon\text{,}\)

\begin{equation*} \left|\sum_{k=0}^N a_{\sigma(k)} - S\right| \lt \varepsilon. \end{equation*}
4.

Montrer qu'il existe \(N_1\in\N\) tel que, pour tout \(n\geq N_1\text{,}\)

\begin{equation*} \sum_{k=n}^{+\infty} | a_k| \lt \frac{\varepsilon}2 \end{equation*}
Spoiler.
5.

On pose \(N_2\) tel que, pour tout \(n\geq N_2\text{,}\)

\begin{equation*} \left|\sum_{k=0}^n a_k - S\right| \lt \frac{\varepsilon}2 \end{equation*}

et \(N_0=\max(N_1+1,N_2)\text{.}\)

Justifier que l'ensemble \(\{k\in\N,\sigma(k)\leq N_0\}\) est fini. On note \(M=\max\{k\in\N,\sigma(k)\leq N_0\}\text{.}\)

Spoiler.
6.

On va montrer que \(M\) est le \(M_\varepsilon\) qu'il nous faut. Soit donc \(N\geq M\text{.}\)

Montrer que

\begin{equation*} \sigma^{-1}(\{0,\ldots, N_0\})\subset \{0\ldots, N\}. \end{equation*}
Spoiler.
7.

On introduit quelques notations supplémentaires:

\begin{gather*} I_N:=\{k\in\N, 0\leq k \leq N, \sigma(k)\gt N_0\},\\ b=\min\{\sigma(k),k\in I_N\}, B=\max\{\sigma(k),k\in I_N\} \end{gather*}

Montrer que \(b\gt N_0\text{.}\)

Spoiler.
8.

Rentrons dans le vif du sujet: on veut obtenir

\begin{equation*} \left|\sum_{k=0}^N a_{\sigma(k)} - S\right| \lt \varepsilon. \end{equation*}

Montrer que

\begin{equation*} \sum_{k=0}^N a_{\sigma(k)}=\sum_{k\in I_n}a_{\sigma(k)} + \sum_{k\in \sigma^{-1}(\{0,\ldots, N_0\})}a_{\sigma(k)}=\sum_{k\in I_n}a_{\sigma(k)} + \sum_{j=0}^{N_0}a_{j} \end{equation*}
Spoiler.
9.

En déduire que

\begin{equation*} \left|\sum_{k=0}^N a_{\sigma(k)} - S\right| \leq \left|\sum_{j=0}^{N_0} a_{j} - S\right| + \sum_{k\in I_n}|a_{\sigma(k)}| \end{equation*}
Spoiler.
10.

Justifier que

\begin{equation*} \sum_{k\in I_n}|a_{\sigma(k)}|\leq \sum_{j=b}^B |a_j| \end{equation*}
Spoiler.
11.

Montrer que

\begin{equation*} \left|\sum_{k=0}^N a_{\sigma(k)} - S\right| \lt \varepsilon \end{equation*}
Spoiler.

Donc, non seulement \(\sum a_{\sigma(n)}\) converge, mais en plus la somme est égale à \(\sum_{n=0}^\infty a_n\text{.}\)

Exercices Preuve de la seconde implication

On va procéder par contraposée: on suppose que la série \(\sum |a_n|\) diverge, et on va montrer qu'il existe une permutation \(\sigma:\N\rightarrow\N\) telle que la série \(\sum a_{\sigma(n)}\) diverge.

\(\leadsto\) C'est exactement ce qu'on a fait pour la série harmonique alternée: on va donc pouvoir recycler les idées qu'on a utilisées plus haut.

1. Question préliminaire.

Montrer que dans ce cas, \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|=+\infty\text{.}\)

Indication.

Remarque: Ce n'est pas la seule façon de diverger ! Par exemple, pour \((u_n=(-1)^n)_n\text{,}\) la suite des sommes partielles est:

\begin{equation*} S_n=\sum_{k=0}^n u_k = \begin{cases}1 \amp\text{ si } n \text{ pair}\\0 \amp\text{ si } n \text{ impair}\end{cases} \end{equation*}

\((S_n)_n\) ne converge pas, donc la série \(\sum(-1)^n\) diverge, mais \(S_n\nrightarrow +\infty\text{.}\)

\(\leadsto\) Comment peut-on être sûrs que ce n'est pas ça le problème avec \(\sum |a_n| ?\)

Spoiler.

Exercice.

Premier cas: Si est \((a_n)_n\) est de signe constant à partir d'un certain rang.

2.

Supposons d'abord que \((a_n)_n\) est une suite positive: pour tout \(n\in\N\text{,}\) \(a_n\geq 0\text{.}\)

Trouver une permutation \(\sigma\in\mathcal S(\N)\) telle que \(\sum a_{\sigma(n)}\) diverge.

Indication.

Est-ce qu'on a vraiment besoin de permuter quoi que ce soit pour que \(\sum a_n\) diverge ?

Spoiler.
3.

Supposons maintenant que \((a_n)_n\) est une suite positive à partir d'un certain rang: il existe donc \(n_0\in \N\) tel que pour tout \(n\geq n_0\text{,}\) \(a_n\geq 0\text{.}\)

Trouver une permutation \(\sigma\in\mathcal S(\N)\) telle que \(\sum a_{\sigma(n)}\) diverge.

Indication.

A nouveau, est-ce qu'on a vraiment besoin de permuter quoi que ce soit ?

Spoiler.
4.
Montrer que si \((a_n)_n\) est négative à partir d'un certain rang, il existe une permutation \(\sigma\) telle que \(\sum a_{\sigma(n)}\) diverge.
Indication.
Peut-on se ramener au cas précédent pour ne pas trop avoir de travail ?
Spoiler.

On a donc montré que, si la suite \((a_n)_n\) est de signe constant à partir d'un certain rang, on a la conclusion qu'on voulait.

Le cas qui reste est celui où le signe de \((a_n)_n\) ne se fixe jamais.

\(\leadsto\) C'est dans ce cas que les idées qu'on a eues pour la série harmonique alternée vont nous servir.

Exercice.

On suppose donc, maintenant, que \((a_n)_n\) n'est pas de signe constant à partir d'un certain rang:

Spoiler.
\begin{gather*} non(\exists n_0 \in\N,\forall p\geq n_0, a_p\geq 0 \text { ou }\exists n_0 \in\N,\forall p\geq n_0, a_n\leq 0)\\ non(\exists n_0 \in\N,\forall p\geq n_0, a_p\geq 0) \text { et }non(\exists n_0 \in\N,\forall p\geq n_0, a_p\leq 0)\\ (\forall n \in\N,\exists p_1\geq n, a_{p_1}\lt 0) \text { et }(\forall n \in\N,\exists p_2\geq n, a_{p_2}\gt 0)\\ \forall n \in\N,\exists p_1,p_2\geq n_0, a_{p_1}\lt 0 \text { et } a_{p_2}\gt 0 \end{gather*}
\begin{equation*} \forall n \in\N,\exists p_1,p_2\geq n, a_{p_1}\lt 0 \text { et } a_{p_2}\gt 0 \end{equation*}

Dans un premier temps, on va montrer que dans ce cas, \((a_n)_n\) vérifie les points qui semblent nécessaire au fonctionnement de la construction qu'on a faite pour \(\frac{(-1)^n}{n}\text{.}\)

5.

Justifier que les deux ensembles suivants sont infinis:

\begin{equation*} K^+=\{k\in\N,a_k\geq 0\},K^-=\{k\in\N,a_k\lt 0\} \end{equation*}
Spoiler.
6.

Construire deux fonctions strictement croissantes \(\phi,\psi:\N\rightarrow\N\) telles que \(\phi(\N),\psi(\N)\) est une partition de \(\N\) et

\begin{equation*} \forall n\in\N, a_{\phi(n)}\geq 0, a_{\psi(n)}\lt0 \end{equation*}

Bonus: Quelles sont les applications \(\phi\) et \(\psi\) pour \(a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n}\) ?

Indication.

On peut construire \(\phi\) en prenant les éléments de \(K^+\) dans l'ordre, et \(\psi\) en uilisant \(K^-\text{.}\)

Spoiler.
7.

Montrer que

\begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\phi(n)}= +\infty \text{ ou } \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\psi(n)}= -\infty \end{equation*}
Indication.

On peut procéder par l'absurde: si ce n'est pas le cas, alors les séries \(\sum a_{\phi(n)}\) et \(\sum a_{\psi(n)}\) convergent 8 .

\(\leadsto\) En déduire que dans ce cas \(\sum|a_n|\) convergerait aussi.

Spoiler.
On est bien dans les mêmes conditions que pour la série harmonique alternée !

Premier cas.

On suppose que \(\sum_{n=0}^{+\infty} a_{\phi(n)}= +\infty\text{.}\)

Attaquons-nous à la construction d'une permutation \(\sigma\) telle que \(\sum a_{\sigma(n)}\) diverge.

8. Etape 1.

Justifier que l'ensemble suivant n'est pas vide :

\begin{equation*} N_1=\{n\in \N,a_{\psi(0)}+\sum_{j=0}^n a_{\phi(j)} \gt1\} \end{equation*}

\(\leadsto\) On peut donc poser \(n_1=\min N_1\text{.}\) En s'inspirant de ce qu'on a fait pour la série harmonique alternée, construire \(\sigma(0),....,\sigma(n_1+1)\) tels que

\begin{equation*} \sum_{j=0}^{n_1+1} a_{\sigma(j)} \gt 1 \end{equation*}

Bonus: Qui sont \(n_1,\sigma(0),....,\sigma(n_1+1)\) pour \(a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n}\) ?

Indication.

On peut commencer par le terme négatif \(\sigma(0)=\psi(0)\text{,}\) puis prendre les termes positifs \(a_{\phi(0)},...,a_{\phi(n_1)}\) dans l'ordre.

Spoiler.
9. Etape 2.

On pose

\begin{equation*} n_2=\min\{n\in \N,a_{\psi(1)}+\sum_{j=n_1+1}^{n} a_{\phi(j)} \gt1\} \end{equation*}

 9  Justifer que \(n_2\gt n_1\) puis construire \(\sigma(n_1+2),....,\sigma(n_2+2)\) tels que

\begin{equation*} \sum_{j=n_1+2}^{n_2+2} a_{\sigma(j)} \gt 1 \end{equation*}

\(\leadsto\) Combien de \(\sigma(j)\) a-t-on construit à cet étape ? Combien en tout ?

Indication.

On peut commencer par le terme négatif: \(\sigma(n_1+2)=\psi(1)\text{,}\) puis prendre les termes positifs \(a_{\phi(n_1+1)},...,a_{\phi(n_2)}\) dans l'ordre.

Spoiler.
10. Etape 3.

On pose, devinez quoi,

\begin{equation*} n_3=\min\{n\in \N,a_{\psi(2)}+\sum_{j=n_2+1}^{n} a_{\phi(j)} \gt1\} \end{equation*}

Construire \(\sigma(n_2+3),....,\sigma(n_3+3)\) tels que

\begin{equation*} \sum_{j=n_2+3}^{n_3+3} a_{\sigma(j)} \gt 1 \end{equation*}

Bonus: Combien de \(\sigma(j)\) a-t-on construit à cet étape ? Combien en tout maintenant ?

Spoiler.
11. Etape \(m+1\).

On suppose qu'on a fait \(m\) étapes, qui nous ont donné:

  • \(n_1\lt....\lt n_m\) tels que, pour tout \(1\leq k\leq m\text{,}\) \(a_{\psi(k-1)}+\sum_{j=n_{k-1}+1}^{n_k} a_{\phi(j)}\gt1\) 10 

  • Pour chaque \(k\in\{1... m\}\text{,}\) on a construit \((n_k-n_{k-1})+1\) \(\sigma(j)\text{,}\) \(\sigma(n_{k-1}+k),\ldots,\sigma(n_{k}+k)\text{,}\) tels que

    \begin{equation*} \sum_{j=n_{k-1}+k}^{n_{k}+k}\sigma(j) \gt 1 \end{equation*}

  • \(\leadsto\) Au total, on a construit \(\sigma(j)\) pour \(j\) allant de 0 à \(n_m+m+1\) 11 

Bonus: Vérifiez que ça marche bien pour \(k=1,k=2\text{!}\)

On pose, tous en choeur,

\begin{equation*} n_{m+1}=\min\{n\in \N,a_{\psi(m)}+\sum_{j=n_m+1}^{n_{m+1}} a_{\phi(j)} \gt1\} \end{equation*}

 12  Construire \(\sigma(n_{m}+m+1),....,\sigma(n_{m+1}+m+1)\) tels que

\begin{equation*} \sum_{j=n_{m}+m+1}^{n_{m+1}+m+1} a_{\sigma(j)} \gt 1 \end{equation*}
Spoiler.
On a ainsi obtenu une application \(\sigma\text{,}\) définie sur un ensemble d'entiers, à valeurs dans les entiers.

\(\boxed{\sigma\in\mathcal S(\N)}\).

Il nous faut maintenant montrer que \(\sigma\) est définie sur \(\N\) entier 13  et est une permutation de \(\N\text{,}\) c'est-à-dire une bijection \(\N\rightarrow\N\text{.}\)
12.
Montrer que les ensembles \(\{n_k+1,\ldots n_{k+1}\}\) pour \(k\in\N\) forment une partition de \(\N\text{.}\)
Spoiler.
13.

Montrer que, pour tout \(k\in\N\text{,}\) \(\sigma:\{n_k+k+2,n_k+k+3,...n_{k+1}+k+1\}\rightarrow\phi(\{n_k+1,\ldots n_{k+1}\})\) est bijective.

En déduire que \(\sigma\) réalise une bijection entre les ensembles \(\N\setminus\{n_k+k+1,k\in\N\}\) et \(\phi(\N)\text{.}\)

Spoiler.
14.

Montrer que, d'un autre côté, \(\sigma\) réalise une bijection entre les ensembles \(\{n_k+k+1,k\in\N\}\) et \(\psi(\N)\text{.}\)

Spoiler.
15.
En déduire que \(\sigma\) est bien définie sur \(\N\) et que \(\sigma:\N\rightarrow\N\) est bijective.
Spoiler.
16. Où est-ce qu'on allait déjà ?

Montrer que la série de terme général \((a_{\sigma(n)})_n\) diverge.

Bonus: Montrer,plus précisément que \(\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)}=+\infty\text{.}\)

Spoiler.
Ah oui, voilà. OK.

17. Deuxième cas.

En faisant les ajustements nécessaires au raisonnement du premier cas, construire une permutation \(\sigma':\N\rightarrow\N\) telle que

\begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty a_{\sigma'(n)}=-\infty \end{equation*}
ou positifs/négatifs APCR
A Partir d'un Certain Rang
www.youtube.com/watch?v=r6sGWTCMz2k
en.wikipedia.org/wiki/Divergent_series
fr.wikipedia.org/wiki/Noyau_de_Dirichlet
commons.wikimedia.org/wiki/File:Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet.jpg#/media/File:Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet.jpg
commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=90476
Pourquoi, au fait ?
Pourquoi est-on sûrs que \(n_2\) existe ?
Pour que ça marche en \(k=1\text{,}\) on pose \(n_0=-1\)
Vérifiez-le !
Juste pour être sûrs: pourquoi \(n_{m+1}\) existe ? Et pourquoi \(n_{m}\lt n_{m+1}\) ?
...et pas seulement, par exemple, sur \(\{0,....,23589441\}\)