Et pourtant, elle converge...

On a donc remarqué que changer l'ordre des termes d'une série peut modifier la valeur de la somme.

Mais on peut aussi réarranger les termes et obtenir une série qui tend vers \(+\infty !\)

Pour faire diverger la série harmonique alternée, l'idée est de prendre les termes de la suite \(a_n=\frac{(-1)^{n+1}}n\) et de les ranger dans deux sacs:

et on va construire une suite \((c_n=a_{\sigma'(n)})_n\) telle que la série \(\sum c_n\) diverge, en piochant successivement dans \(A^+\) et \(A^-\text{.}\)

Projet 3.1. Construction de \(c_n\text{.}\).

(a)

On commence par le premier terme négatif: \(c_1=a_2=-\frac12\text{.}\)

Puis on ajoute des termes positifs \(c_2=a_1, c_3=a_3,...c_{k_1}=a_{2p_1+1}\text{.}\)

\(\leadsto\) Trouver \(k_1\geq 1\) tel que

\begin{equation*} \sum_{i=1}^{k_1} c_i \geq 1 \end{equation*}

Spoiler.

(b)

On a maintenant les \(k_1\) premiers termes de la suite \((c_n)_n\text{.}\)

A l'étape 2, on commence par prendre le deuxième terme négatif: \(c_{k_1+1}=a_4=-\frac14\text{.}\)

Puis on pioche des termes positifs, à partir de là où on s'ens arrêtés à l'étape 1:

\begin{equation*} c_{k_1+2}=a_{2p_1+3},\ldots,c_{k_2}=a_{2p_2+1} \end{equation*}

\(\leadsto\) Montrer qu'on peut trouver \(k_2\) tel que

\begin{equation*} \sum_{i=k_1+1}^{k_2} c_i \geq 1 \end{equation*}

Bonus: Commencer à méditer sur l'éventuelle divergence de \(\sum c_n\text{:}\)

Spoiler.

(c)

On suppose qu'on a ainsi fait \(m\) étapes:

On a construit \(k_m\) termes de la suite \((c_n)_n\) tels que, pour \(1\leq l\leq m-1\text{,}\) \(c_{k_l+1}=a_{2(l+1)}\) et

\begin{equation*} \sum_{i=k_l+1}^{k_{l+1}} c_i \geq 1 \end{equation*}

donc ¹

\begin{equation*} \sum_{i=1}^{k_{m}} c_i \geq m \end{equation*}

Pour terminer le raisonnement par récurrence², on décrit l'étape \(m+1\text{.}\)

Essayez de faire ça !

Indication.

On commence par choisir \(c_{k_m+1}\text{:}\) on prend un terme négatif.

\(\leadsto\) Lequel ?

Ensuite, on va "compenser" ce terme négatif: on pioche des termes positifs

\begin{equation*} c_{k_m+1}=a_{2p_m+3},c_{k_m+2}=a_{2p_m+5},\ldots, c_{k_{m+1}}=a_{2p_{m+1}+1} \end{equation*}

tels que

\begin{equation*} \sum_{i=k_l+1}^{k_{l+1}} c_i \geq 1 \end{equation*}

\(\leadsto\) Comment peut-on être sûrs qu'il existe un tel \(k_{m+1}\) ?

Spoiler.

(d)

Challenge ! On a obtenu un bijection (ou permutation) \(\sigma'\) de \(\N^*\) telle que

\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty} a_{\sigma'(n)} = +\infty \end{equation*}

\(\leadsto\) Pouvez-vous trouver une bijection \(\sigma'':\N^*\rightarrow \N^*\) telle que:

\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty} a_{\sigma''(n)} = -\infty ? \end{equation*}

Convergence commutative et séries absolument convergentes

Section 3 Et pourtant, elle converge...

Projet 3.1. Construction de \(c_n\text{.}\).

(a)

(b)

(c)

(d)