Testez vos réflexes

Section 1 Testez vos réflexes

Exercice Vrai ou faux ?

1.

Cette équation est linéaire :

\begin{equation*} 8x+\sqrt{2}y-55z=1 \end{equation*}

True.
False.

2.

Cette équation est linéaire :

\begin{equation*} \sqrt{x}-3y=2 \end{equation*}

True.
False.

3.

Ce système est linéaire :

\begin{equation*} \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcr} 3x\amp -\amp 4y\amp =\amp \frac17\cr \sqrt{5}x\amp +\amp e^{13} y \amp =\amp \frac{\pi}6\cr \sin(1)x\amp -\amp 2y \amp =\amp 54\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}

True.
False.

4.

Ce système est linéaire :

\begin{equation*} \begin{cases}xy+2z=3\\x-z=1\end{cases} \end{equation*}

True.
False.

5.

Si un système a plus d'équations que d'inconnues, il n'a aucune solution.

True.
Il peut arriver qu'un système qui a plus d'inconnues que d'équations n'aie pas de solution, par exemple

\begin{equation*} \begin{cases} x-y=1\\x-2y=2\\x+y=1 \end{cases} \end{equation*}

n'admet effectivement aucune solution (vérifiez-le !).

Mais ce n'est pas toujours le cas: un système qui a plus d'équations que d'inconnues peut quand même avoir des solutions. Par exemple,
- les systèmes
  
  \begin{equation*} \begin{cases} x+y\amp =1\\ 2x-2y\amp =0\\ x+y\amp =1\end{cases}\quad \begin{cases} x+y\amp =1\\ 2x-2y\amp =0\\ 2x+2y\amp =2\end{cases}\quad \begin{cases} x+y\amp =1\\ 2x-2y\amp =0\\ 3x-y\amp =1\end{cases} \end{equation*}
  
  ont 3 équations, 2 inconnues, et admettent tous une solution : $(\frac12,\frac12)\text{.}$
- les systèmes du type
  
  \begin{equation*} \begin{cases} x+y\amp =1\\ 2x+2y\amp =2\\ \amp \vdots\\ nx+ny\amp =n\end{cases} \end{equation*}
  
  ont 2 inconnues, autant d'équations que vous voulez, et non seulement ils admettent une solution, par exemple $(\frac12,\frac12)\text{,}$ mais en fait ils en ont une infinité : pour n'importe quel réel $a\text{,}$ $(a,1-a)$ est solution.
- les systèmes homogènes, comme par exemple
  
  \begin{equation*} \begin{cases} 3x-2y=0\\45\pi x + \sin(3)y = 0\\\frac{143}{11}x-\frac{\sqrt 7}{2} y= 0\end{cases} \end{equation*}
  
  ont toujours au moins la solution $x=y=0\text{.}$
False.
Il peut arriver qu'un système qui a plus d'inconnues que d'équations n'aie pas de solution, par exemple

\begin{equation*} \begin{cases} x-y=1\\x-2y=2\\x+y=1 \end{cases} \end{equation*}

n'admet effectivement aucune solution (vérifiez-le !).

Mais ce n'est pas toujours le cas: un système qui a plus d'équations que d'inconnues peut quand même avoir des solutions. Par exemple,
- les systèmes
  
  \begin{equation*} \begin{cases} x+y\amp =1\\ 2x-2y\amp =0\\ x+y\amp =1\end{cases}\quad \begin{cases} x+y\amp =1\\ 2x-2y\amp =0\\ 2x+2y\amp =2\end{cases}\quad \begin{cases} x+y\amp =1\\ 2x-2y\amp =0\\ 3x-y\amp =1\end{cases} \end{equation*}
  
  ont 3 équations, 2 inconnues, et admettent tous une solution : $(\frac12,\frac12)\text{.}$
- les systèmes du type
  
  \begin{equation*} \begin{cases} x+y\amp =1\\ 2x+2y\amp =2\\ \amp \vdots\\ nx+ny\amp =n\end{cases} \end{equation*}
  
  ont 2 inconnues, autant d'équations que vous voulez, et non seulement ils admettent une solution, par exemple $(\frac12,\frac12)\text{,}$ mais en fait ils en ont une infinité : pour n'importe quel réel $a\text{,}$ $(a,1-a)$ est solution.
- les systèmes homogènes, comme par exemple
  
  \begin{equation*} \begin{cases} 3x-2y=0\\45\pi x + \sin(3)y = 0\\\frac{143}{11}x-\frac{\sqrt 7}{2} y= 0\end{cases} \end{equation*}
  
  ont toujours au moins la solution $x=y=0\text{.}$

6.

Si un système a une unique solution, alors forcément il a autant d'inconnues que d'équations.

True.
Pas nécessairement, par exemple

\begin{equation*} \begin{cases} x-y\amp =1\\x+y\amp =3\\x-2y\amp =0\end{cases} \end{equation*}

a 3 équations, 2 inconnues, mais a une unique solution $(2,1)$.

Et de là, en faisant comme à la question précédente, on peut avoir autant d'équations qu'on veut:

\begin{equation*} \begin{cases} x-y\amp =1\\x+y\amp =3\\x-2y\amp =0\\2x-4y\amp =0\\\amp \vdots\\nx-2ny\amp =0\end{cases} \end{equation*}

admet la même unique solution $(2,1)\text{,}$ quel que soit $n\in\mathbb{N}$
False.
Pas nécessairement, par exemple

\begin{equation*} \begin{cases} x-y\amp =1\\x+y\amp =3\\x-2y\amp =0\end{cases} \end{equation*}

a 3 équations, 2 inconnues, mais a une unique solution $(2,1)$.

Et de là, en faisant comme à la question précédente, on peut avoir autant d'équations qu'on veut:

\begin{equation*} \begin{cases} x-y\amp =1\\x+y\amp =3\\x-2y\amp =0\\2x-4y\amp =0\\\amp \vdots\\nx-2ny\amp =0\end{cases} \end{equation*}

admet la même unique solution $(2,1)\text{,}$ quel que soit $n\in\mathbb{N}$

7.

Si un système échelonné, sans ligne nulle 0=0, a une unique solution, alors forcément il a autant d'inconnues que d'équations.

True.
C'est vrai: un système échelonné sans ligne nulle (et sans ligne contradictoire type 0=137) ressemble à

\begin{equation*} \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12} x_2+\dots +\phantom{a_{33}x_3 }+ a_{1p}x_p\amp =b_1\\ \phantom{a_{11}x_1+}a_{2j_2} x_{j_2}+\dots +\phantom{a_{33}x_3 } + a_{2p}x_p\amp =b_2\\ \amp \vdots\\ \phantom{a_{11}x_1+a_{2j_2} x_{j_2}}a_{rj_r}x_{j_r}+\dots+a_{rp}x_p \amp = b_r \end{cases} \end{equation*}

et a une unique solution si, set seulement si $p=r\text{.}$ Et dans ce cas il est triangulaire:

\begin{equation*} \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12} x_2+\dots +\phantom{a_{33}x_3 }+ a_{1p}x_p\amp =b_1\\ \phantom{a_{11}x_1+}a_{22} x_{2}+\dots +\phantom{a_{33}x_3 } + a_{2p}x_p\amp =b_2\\ \amp \vdots\\ \phantom{a_{11}x_1+a_{2j_2} x_{j_2}+\dots+a_{rj_r}x_{j_r}} a_{rr}x_r\amp = b_r \end{cases} \end{equation*}

donc il a autant d'inconnues que d'équations.
False.
C'est vrai: un système échelonné sans ligne nulle (et sans ligne contradictoire type 0=137) ressemble à

\begin{equation*} \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12} x_2+\dots +\phantom{a_{33}x_3 }+ a_{1p}x_p\amp =b_1\\ \phantom{a_{11}x_1+}a_{2j_2} x_{j_2}+\dots +\phantom{a_{33}x_3 } + a_{2p}x_p\amp =b_2\\ \amp \vdots\\ \phantom{a_{11}x_1+a_{2j_2} x_{j_2}}a_{rj_r}x_{j_r}+\dots+a_{rp}x_p \amp = b_r \end{cases} \end{equation*}

et a une unique solution si, set seulement si $p=r\text{.}$ Et dans ce cas il est triangulaire:

\begin{equation*} \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12} x_2+\dots +\phantom{a_{33}x_3 }+ a_{1p}x_p\amp =b_1\\ \phantom{a_{11}x_1+}a_{22} x_{2}+\dots +\phantom{a_{33}x_3 } + a_{2p}x_p\amp =b_2\\ \amp \vdots\\ \phantom{a_{11}x_1+a_{2j_2} x_{j_2}+\dots+a_{rj_r}x_{j_r}} a_{rr}x_r\amp = b_r \end{cases} \end{equation*}

donc il a autant d'inconnues que d'équations.

8.

Si un système a une infinité de solutions, alors forcément il a plus d'inconnues que d'équations.

True.
Pas nécessairement, par exemple

\begin{equation*} \begin{cases} x-y\amp =0\\2x-2y\amp =0\\3x-3y\amp =0\end{cases} \end{equation*}

a plus d'équations que d'inconnues, mais il a tout de même une infinité de solutions: tous les couples du type $(\alpha,\alpha)\text{,}$ pour n'importe quel réel $\alpha\text{,}$ est une solution de ce système.
False.
Pas nécessairement, par exemple

\begin{equation*} \begin{cases} x-y\amp =0\\2x-2y\amp =0\\3x-3y\amp =0\end{cases} \end{equation*}

a plus d'équations que d'inconnues, mais il a tout de même une infinité de solutions: tous les couples du type $(\alpha,\alpha)\text{,}$ pour n'importe quel réel $\alpha\text{,}$ est une solution de ce système.

9.

Si un système échelonné (sans ligne nulle 0=0 ou contradictoire 0=23) a plus d'inconnues que d'équations, alors il a une infinité de solutions.

True.
C'est vrai: un système échelonné sans ligne nulle et sans ligne contradictoire type 0=137 ressemble à

\begin{equation*} \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12} x_2+\dots +\phantom{a_{33}x_3 }+ a_{1p}x_p\amp =b_1\\ \phantom{a_{11}x_1+}a_{2j_2} x_{j_2}+\dots +\phantom{a_{33}x_3 } + a_{2p}x_p\amp =b_2\\ \amp \vdots\\ \phantom{a_{11}x_1+a_{2j_2} x_{j_2}}a_{rj_r}x_{j_r}+\dots+a_{rp}x_p \amp = b_r \end{cases} \end{equation*}

S'il a plus d'inconnues que d'équations ($p>r$) alors les inconnues $x_{r+1},x_{r+2},...x_p$ qui ne correspondent pas à un pivot sont des inconnues libres: on peut trouver une solution pour n'importe quelle valeur de ces inconnues libres, donc il y a une infinité de solutions.
False.
C'est vrai: un système échelonné sans ligne nulle et sans ligne contradictoire type 0=137 ressemble à

\begin{equation*} \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12} x_2+\dots +\phantom{a_{33}x_3 }+ a_{1p}x_p\amp =b_1\\ \phantom{a_{11}x_1+}a_{2j_2} x_{j_2}+\dots +\phantom{a_{33}x_3 } + a_{2p}x_p\amp =b_2\\ \amp \vdots\\ \phantom{a_{11}x_1+a_{2j_2} x_{j_2}}a_{rj_r}x_{j_r}+\dots+a_{rp}x_p \amp = b_r \end{cases} \end{equation*}

S'il a plus d'inconnues que d'équations ($p>r$) alors les inconnues $x_{r+1},x_{r+2},...x_p$ qui ne correspondent pas à un pivot sont des inconnues libres: on peut trouver une solution pour n'importe quelle valeur de ces inconnues libres, donc il y a une infinité de solutions.

10.

Un système linéaire peut avoir plusieurs solutions distinctes.

True.
Oui, et il peut même en avoir un paquet !

Par exemple, le système

\begin{equation*} \begin{cases}x+y+z=2\\x-y+3z=0\end{cases} \end{equation*}

admet $(1,1,0)$ comme solution, mais aussi $(-1,2,1)$ ou $(1-2\pi, \pi+1, \pi)$ (Trouvez-en d'autres !)
False.
Oui, et il peut même en avoir un paquet !

Par exemple, le système

\begin{equation*} \begin{cases}x+y+z=2\\x-y+3z=0\end{cases} \end{equation*}

admet $(1,1,0)$ comme solution, mais aussi $(-1,2,1)$ ou $(1-2\pi, \pi+1, \pi)$ (Trouvez-en d'autres !)

11.

Un système linéaire peut avoir exactement 3 solutions différentes.

True.
Un système peut avoir
- aucune solution
- une seule et unique solution
- une infinité de solutions
mais il ne peut pas en avoir exactement 3: s'il en a plus d'une, il y en a forcément une infinité.

C'est dû au fait que tout système linéaire peut être transformé en système échelonné

\begin{equation*} \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12} x_2+\dots +\phantom{a_{33}x_3 }+ a_{1p}x_p\amp=b_1\\ \phantom{a_{11}x_1+}a_{2j_2} x_{j_2}+\dots +\phantom{a_{33}x_3 } + a_{2p}x_p\amp=b_2\\ \amp\vdots\\ \phantom{a_{11}x_1+a_{2j_2} x_{j_2}}a_{rj_r}x_{j_r}+\dots+a_{rp}x_p \amp= b_r\\ \phantom{a_{11}x_1+a_{2j_2 x_{j_2}}a_{rj_r}x_{j_r}+\dots+a_{rp}}0\amp= b_{r+1}\\ \amp\vdots\\ \phantom{a_{11}x_1+a_{2j_2 x_{j_2}}a_{rj_r}x_{j_r}+\dots+a_{rp}}0\amp=b_n \end{cases} \end{equation*}

En résolvant ce système, on obtient soit 0 solution (s'il y a une ligne contradictoire type 0=8), soit , soit une infinité de solutions (s'il n'y a pas de ligne contradictoire et s'il y a des inconnues libres), soit une seule solution (si le système est triangulaire).
False.
Un système peut avoir
- aucune solution
- une seule et unique solution
- une infinité de solutions
mais il ne peut pas en avoir exactement 3: s'il en a plus d'une, il y en a forcément une infinité.

C'est dû au fait que tout système linéaire peut être transformé en système échelonné

\begin{equation*} \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12} x_2+\dots +\phantom{a_{33}x_3 }+ a_{1p}x_p\amp=b_1\\ \phantom{a_{11}x_1+}a_{2j_2} x_{j_2}+\dots +\phantom{a_{33}x_3 } + a_{2p}x_p\amp=b_2\\ \amp\vdots\\ \phantom{a_{11}x_1+a_{2j_2} x_{j_2}}a_{rj_r}x_{j_r}+\dots+a_{rp}x_p \amp= b_r\\ \phantom{a_{11}x_1+a_{2j_2 x_{j_2}}a_{rj_r}x_{j_r}+\dots+a_{rp}}0\amp= b_{r+1}\\ \amp\vdots\\ \phantom{a_{11}x_1+a_{2j_2 x_{j_2}}a_{rj_r}x_{j_r}+\dots+a_{rp}}0\amp=b_n \end{cases} \end{equation*}

En résolvant ce système, on obtient soit 0 solution (s'il y a une ligne contradictoire type 0=8), soit , soit une infinité de solutions (s'il n'y a pas de ligne contradictoire et s'il y a des inconnues libres), soit une seule solution (si le système est triangulaire).

12.

Les systèmes suivants sont équivalents:

\begin{align*} \amp(\mathcal S) \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} a_1x_1\amp + \amp \ldots \amp + \amp a_nx_n \amp = \amp \alpha\cr b_1x_1\amp + \amp \ldots \amp + \amp b_nx_n \amp = \amp \beta\cr \end{array} \end{cases}\\ \\ \Leftrightarrow \amp (\mathcal S') \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} a_1x_1\amp + \amp \ldots \amp + \amp a_nx_n \amp = \amp \alpha\cr b_1x_1\amp + \amp \ldots \amp + \amp b_nx_n \amp = \amp \beta\cr (a_1+3b_1)x_1\amp + \amp \ldots \amp + \amp (a_n+3b_n)x_n \amp = \amp \alpha+3\beta\cr \end{array} \end{cases} \end{align*}

True.
C'est vrai (même si ce n'est pas une opération élémentaire !):

Si $s=(s_1,...,s_n)$ est une solution de $\mathcal S)\text{,}$ alors

\begin{equation*} a_1s_1+\ldots + a_ns_n =\alpha\text{ et } b_1s_1+\ldots + b_ns_n =\beta \end{equation*}

donc forcément on a aussi

\begin{equation*} (a_1+3b_1)s_1+\ldots + (a_n+3b_n)s_n =\alpha+3\beta \end{equation*}

donc $s$ est aussi une solution de $\mathcal S'\text{.}$

Réciproquement, si $s$ est une solution de $\mathcal S'\text{,}$ alors $s$ vérifie les deux premières équations de ($\mathcal S'$), donc c'est aussi une solution de $(\mathcal S)\text{.}$
False.
C'est vrai (même si ce n'est pas une opération élémentaire !):

Si $s=(s_1,...,s_n)$ est une solution de $\mathcal S)\text{,}$ alors

\begin{equation*} a_1s_1+\ldots + a_ns_n =\alpha\text{ et } b_1s_1+\ldots + b_ns_n =\beta \end{equation*}

donc forcément on a aussi

\begin{equation*} (a_1+3b_1)s_1+\ldots + (a_n+3b_n)s_n =\alpha+3\beta \end{equation*}

donc $s$ est aussi une solution de $\mathcal S'\text{.}$

Réciproquement, si $s$ est une solution de $\mathcal S'\text{,}$ alors $s$ vérifie les deux premières équations de ($\mathcal S'$), donc c'est aussi une solution de $(\mathcal S)\text{.}$