Section 3 Entraînez-vous !
Consigne pour les exercices "Donner la solution":
Si vous trouvez que l'ensemble des solutions du système est \(\mathcal S = \{(0,3,3)\}\text{,}\) écrivez \(\boxed{0\ 3\ 3}\text{.}\)
-
Si vous trouvez que l'ensemble des solutions est
\begin{equation*} \mathcal S = \left\{\left(2+4x_4,5-x_4,5-x_4, x_4\right), x_4\in \R\right\} \end{equation*}et qu'on vous demande la solution telle que \(x_1=2\text{,}\) écrivez \(\boxed{2\ 5\ 5\ 0}\text{.}\)
Exercice Système 1
On considère le système:
1.
\((\mathcal S_1)\) est homogène
Le second membre n'est pas \(0,0,0\text{,}\) donc \((\mathcal S_1)\)n'est pas homogène.
\((\mathcal S_1)\) n'a aucune solution
-
Pour savoir combien on a de solutions, on échelonne le système avec le pivot de Gauss.
Il n'y a pas de \(x\) sur la première ligne, on commence donc par régler ce problème en échangeant \(L_1\) et \(L_3\text{.}\)
\begin{equation*} (\mathcal S_1) \iff \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} x \amp - \amp y \amp - \amp 2z \amp = \amp -5\cr 2x \amp + \amp 3y \amp + \amp z \amp = \amp 5\cr \amp \amp 2y \amp + \amp 3z \amp = \amp 8\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}De là, on élimine le \(x\) sur la deuxième ligne en faisant \(L_2\leftarrow L_2-2 L_1\text{:}\)
\begin{equation*} (\mathcal S_1) \iff \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} x \amp - \amp y \amp - \amp 2z \amp = \amp -5\cr \amp \amp 5y \amp + \amp 5z \amp = \amp 15\cr \amp \amp 2y \amp + \amp 3z \amp = \amp 8\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}On peut simplifier un peu \(L_2\) en la divisant par \(5\text{:}\)
\begin{equation*} (\mathcal S_1) \iff \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} x \amp - \amp y \amp - \amp 2z \amp = \amp -5\cr \amp \amp y \amp + \amp z \amp = \amp 3\cr \amp \amp 2y \amp + \amp 3z \amp = \amp 8\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}Puis on se débarasse des \(y\) sur la troisième ligne en faisant \(L_3 \leftarrow L_3 - 2 L-2\text{:}\)
\begin{equation*} (\mathcal S_1) \iff \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} x \amp - \amp y \amp - \amp 2z \amp = \amp -5\cr \amp \amp y \amp + \amp z \amp = \amp 3\cr \amp \amp \amp \amp z \amp = \amp 2\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}Le système est échelonné, il est de rang 3, sans ligne contradictoire et sans inconnue libre.
\(\leadsto\) Il y a une unique solution.
Remarque: On n'a pas besoin de résoudre entièrement le système pour savoir combien il a de solutions: il suffit de l'échelonner.
\((\mathcal S_1)\) a une unique solution
-
C'est ça !
\((\mathcal S_1)\) a une infinité de solutions
-
Pour savoir combien on a de solutions, on échelonne le système avec le pivot de Gauss.
Il n'y a pas de \(x\) sur la première ligne, on commence donc par régler ce problème en échangeant \(L_1\) et \(L_3\text{.}\)
\begin{equation*} (\mathcal S_1) \iff \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} x \amp - \amp y \amp - \amp 2z \amp = \amp -5\cr 2x \amp + \amp 3y \amp + \amp z \amp = \amp 5\cr \amp \amp 2y \amp + \amp 3z \amp = \amp 8\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}De là, on élimine le \(x\) sur la deuxième ligne en faisant \(L_2\leftarrow L_2-2 L_1\text{:}\)
\begin{equation*} (\mathcal S_1) \iff \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} x \amp - \amp y \amp - \amp 2z \amp = \amp -5\cr \amp \amp 5y \amp + \amp 5z \amp = \amp 15\cr \amp \amp 2y \amp + \amp 3z \amp = \amp 8\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}On peut simplifier un peu \(L_2\) en la divisant par \(5\text{:}\)
\begin{equation*} (\mathcal S_1) \iff \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} x \amp - \amp y \amp - \amp 2z \amp = \amp -5\cr \amp \amp y \amp + \amp z \amp = \amp 3\cr \amp \amp 2y \amp + \amp 3z \amp = \amp 8\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}Puis on se débarasse des \(y\) sur la troisième ligne en faisant \(L_3 \leftarrow L_3 - 2 L-2\text{:}\)
\begin{equation*} (\mathcal S_1) \iff \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} x \amp - \amp y \amp - \amp 2z \amp = \amp -5\cr \amp \amp y \amp + \amp z \amp = \amp 3\cr \amp \amp \amp \amp z \amp = \amp 2\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}Le système est échelonné, il est de rang 3, sans ligne contradictoire et sans inconnue libre.
\(\leadsto\) Il y a une unique solution.
Remarque: On n'a pas besoin de résoudre entièrement le système pour savoir combien il a de solutions: il suffit de l'échelonner.
Sélectionner la ou les affirmation(s) correctes.
2.
Si \((\mathcal S_1)\) a une unique solution, donner la solution.
Si \((\mathcal S_1)\) a une infinité de solutions, donner la solution \((x,y,z)\) telle que \(x=0\text{.}\)
Si \((\mathcal S_1)\) n'a aucune solution, taper \(\boxed{\text{impossible}}\text{.}\)
Réponse:
Exercice Système 2
On considère le système:
1.
\((\mathcal S_2)\) est de rang 3
-
Pour déterminer le rang et le nombre de solutions de \((\mathcal S_2)\text{,}\) on l'échelonne à coups de pivot de Gauss.
On commence par se débarrasser des \(u\) sur \(L_2\) et \(L_3\) en faisant \(L_2 \leftarrow L_2-2L_1\) et \(L_3\leftarrow L_3+L_1\text{,}\) ce qui donne
\begin{equation*} (\mathcal S_2) \iff \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} u\amp -\amp x \amp -\amp y\amp +\amp 2z\amp =\amp 1\cr \amp \amp \amp \amp y\amp -\amp z\amp =\amp 1\cr \amp \amp \amp -\amp 2y\amp+\amp 2z \amp =\amp -2\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}Plus qu'à éliminer les \(y\) sur la dernière ligne: \(L_3 \leftarrow L_3+2L_2\) nous donne
\begin{equation*} (\mathcal S_2) \iff \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} u\amp -\amp x \amp -\amp y\amp +\amp 2z\amp =\amp 1\cr \amp \amp \amp \amp y\amp -\amp z\amp =\amp 1\cr \amp \amp \amp \amp \amp\amp 0 \amp =\amp 0\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}Le système est de rang 2, avec deux inconnues principales \(u\) et \(y\) et deux inconnues libres \(x\) et \(z\text{:}\) il y a donc une infinité de solutions (et le rang n'est pas 3).
\((\mathcal S_2)\) n'a aucune solution
-
Pour déterminer le rang et le nombre de solutions de \((\mathcal S_2)\text{,}\) on l'échelonne à coups de pivot de Gauss.
On commence par se débarrasser des \(u\) sur \(L_2\) et \(L_3\) en faisant \(L_2 \leftarrow L_2-2L_1\) et \(L_3\leftarrow L_3+L_1\text{,}\) ce qui donne
\begin{equation*} (\mathcal S_2) \iff \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} u\amp -\amp x \amp -\amp y\amp +\amp 2z\amp =\amp 1\cr \amp \amp \amp \amp y\amp -\amp z\amp =\amp 1\cr \amp \amp \amp -\amp 2y\amp+\amp 2z \amp =\amp -2\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}Plus qu'à éliminer les \(y\) sur la dernière ligne: \(L_3 \leftarrow L_3+2L_2\) nous donne
\begin{equation*} (\mathcal S_2) \iff \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} u\amp -\amp x \amp -\amp y\amp +\amp 2z\amp =\amp 1\cr \amp \amp \amp \amp y\amp -\amp z\amp =\amp 1\cr \amp \amp \amp \amp \amp\amp 0 \amp =\amp 0\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}Le système a deux inconnues principales \(u\) et \(y\) et deux inconnues libres \(x\) et \(z\text{:}\) il y a donc une infinité de solutions.
\((\mathcal S_2)\) a une unique solution
-
Pour déterminer le rang et le nombre de solutions de \((\mathcal S_2)\text{,}\) on l'échelonne à coups de pivot de Gauss.
On commence par se débarrasser des \(u\) sur \(L_2\) et \(L_3\) en faisant \(L_2 \leftarrow L_2-2L_1\) et \(L_3\leftarrow L_3+L_1\text{,}\) ce qui donne
\begin{equation*} (\mathcal S_2) \iff \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} u\amp -\amp x \amp -\amp y\amp +\amp 2z\amp =\amp 1\cr \amp \amp \amp \amp y\amp -\amp z\amp =\amp 1\cr \amp \amp \amp -\amp 2y\amp+\amp 2z \amp =\amp -2\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}Plus qu'à éliminer les \(y\) sur la dernière ligne: \(L_3 \leftarrow L_3+2L_2\) nous donne
\begin{equation*} (\mathcal S_2) \iff \begin{cases} \begin{array}{rcrcrcrcr} u\amp -\amp x \amp -\amp y\amp +\amp 2z\amp =\amp 1\cr \amp \amp \amp \amp y\amp -\amp z\amp =\amp 1\cr \amp \amp \amp \amp \amp\amp 0 \amp =\amp 0\cr \end{array} \end{cases} \end{equation*}Le système a deux inconnues principales \(u\) et \(y\) et deux inconnues libres \(x\) et \(z\text{:}\) il y a donc une infinité de solutions.
\((\mathcal S_2)\) a une infinité de solutions
-
C'est ça !
Sélectionner la ou les affirmation(s) correctes.
2.
Si \((\mathcal S_2)\) a une unique solution, donner la solution.
Si \((\mathcal S_2)\) a une infinité de solutions, donner la solution \((u,x,y,z)\) telle que \(x=1,y=2\text{.}\)
Si \((\mathcal S_2)\) n'a aucune solution, taper \(\boxed{\text{impossible}}\text{.}\)
Réponse:
Opérations réalisées: \(L_1 \leftrightarrow L_3\text{,}\) \(L_2\leftarrow L_2-2 L_1\text{,}\) \(L_2\leftarrow \dfrac15 L_2\text{,}\) \(L_3 \leftarrow L_3 - 2 L-2\)