Compléments sur les suites et séries

Sous-section 4.1 Permutations

Une des propriétés les plus évidentes de l'addition, c'est la commutativité : quels que soient \(a,b\in\R\text{,}\) \(a+b=b+a\text{.}\) Et de là, par une récurrence immédiate ¹, quand on a une somme de \(n\) termes, on peut les ranger dans l'ordre qu'on veut.

Je sais, je sais. Mais cette récurrence est-elle si immédiate ? Essayez de l'écrire, pour voir.

Commençons par formaliser un peu cette idée: comment traduire mathématiquement l'idée "je somme dans l'ordre que je veux" ?

Si on a deux éléments à sommer \(a_1\) et \(a_2\text{,}\) il n'y a que deux possibilités pour les ordonner : \(a_1+a_2\) et \(a_2+a_1\text{.}\)

Si on en a trois, disons \(a_1,a_2\) et \(a_3\text{,}\) \(a_1,a_2,a_3\text{,}\) il y a six possibilités:

Et s'il y en a 4 ?

Lister tous les ordres possibles pour la somme de 4 termes.

Indice.

Il y en a 24 au total !

Spoiler.

Ca se complique rapidement ! Et pour 5 éléments, il y en a 120².

\(\leadsto\) Comment être sûr qu'on n'en a pas loupé ?

Pour 4 éléments, une façon de faire est de choisir, parmi \(a_1,a_2,a_3,a_4\text{,}\) lequel on va mettre en premier.

\(\leadsto\) Il y a 4 possibilités pour ce premier élément.

Ensuite, on choisit le deuxième parmi les trois qui restent, puis le troisième parmi les deux qui restent. Et pour le dernier, on n'a plus de choix: il n'en reste qu'un.

Ce qui nous permet de compter les ordres possibles: 4 possiblités pour le premier élément, chacune laissant 3 possiblités pour le deuxième, chacune de ceux-là laissant 2 possiblités pour le troisième, et 1 seule possibilité pour le dernier: au total, 4*3*2*1=24 choix possibles.

De là, on peut se convaincre que pour \(n\) éléments, on aura \(n*(n-1)*...*2*1=n!\) choix possibles.

Mais quel sens mathématique donner à la notion "d'ordre" ? Quel genre d'objet mathématique représenterait le mieux cette idée ?

\(\leadsto\) Chaque ordre fait correspondre, à chaque élément \(k\) de l'ensemble \(\{1,2,3,...,n\}\text{,}\) un unique élément \(\alpha_k\) du même ensemble \(\{1,2,3,....,n\}\) de façon à ce que

• Si \(k\neq k'\text{,}\) alors \(\alpha_k\neq \alpha_{k'}\) (on ne reprend pas un élément qu'on a déjà utilisé)

• Pour tout \(\ell \in \{1,2,3,...,n\}\) il existe \(k\in \{1,2,3,...,n\}\) tel que \(\ell=\alpha_k\) (on utilise tous les éléments \(a_1,...a_n\) pour faire notre somme)

\(\leadsto\) On obtient une application \(k\in \{1,2,3,...,n\} \mapsto \alpha_k\) injective et surjective: un ordre, c'est une bijection de \(\{1,2,3,...,n\}\) vers \(\{1,2,3,...,n\}\text{.}\) On appelle ça une permutation de l'ensemble \(\{1,2,3,...,n\}\text{.}\)

On note \(\mathcal{S}_n\) l'ensemble de toutes les permutations de l'ensemble \(\{1,2,...,n\}\text{.}\) On a vu que \(\Card(\mathcal{S}_n)=n!\text{.}\)

Donc, on peut écrire mathématiquement la propriété de commutativité d'une somme de \(n\) termes comme ça: pour tout entier \(n\text{,}\) et pour tout \((a_1,...,a_n)\in\R^n\text{,}\)

On serait maintenant en mesure de le prouver, mais comme on le sait déjà, on va laisser ça de côté. Ce qui va nous intéresser, c'est plutôt:

Question Est-ce que c'est encore vrai pour une somme infinie ?

Sous-section 4.2 La série harmonique alternée

A priori, ça semble tomber sous le sens. Mais l'infini³ et⁴ le bon sens⁵ ne⁶ s'entendent⁷ pas⁸ très⁹ bien¹⁰.

\(\leadsto\) Déjà pour commencer, ça signifie quoi, mathématiquement, de sommer une infinité de réels \(a_1,a_2,a_3...\) ?

Traditionnellement, c'est la notion de série, et plus spécifiquement de série convergente, qui donne le sens mathématique d'une "somme infinie".

Prenons notre infinité d'éléments \(a_1,a_2,a_3...\text{.}\) Ils forment une suite \((a_n)_n\text{,}\) à partir de laquelle on va former une nouvelle suite, la suite des sommes partielles, c'est-à-dire la suite des sommes des \(n\) premiers termes:

\(\leadsto\) Chacun des \(S_n\) est une brave somme finie, donc ça, on sait faire. On ajoute les termes \((a_n)_n\) dans l'ordre "traditionnel" : \(a_1\text{,}\) puis on ajoute \(a_2\text{,}\) puis on ajoute \(a_3\) à cette somme, puis \(a_4\text{,}\) etc.

Si la suite \((S_n)_n\) ainsi formée a une limite \(S\) quand \(n\rightarrow\infty\text{,}\) on dit que la série de terme général \((a_n)_n\) converge. Et on va considérer, ce qui ne semble pas déraisonnable, que la somme de tous les \(a_n\text{,}\) c'est cette limite \(S\text{:}\)

Prenons par exemple la somme de tous les \(\frac{(-1)^{n+1}}{n}\text{,}\) autrement dit la série de terme général \(\left(a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right)_n\).

Cette suite \(S_n\) converge, quoique lentement, vers \(S=\ln(2)\simeq 0.693147\text{.}\)

Exercice 4.1. Convergence de la série de terme général \(\frac{(-1)^{n+1}}{n}\).

(a)

On considère la fonction

\begin{equation*} f:t\in ]-1,1[\mapsto \ln(1+t)\in\R \end{equation*}

Montrer que \(f\) est indéfiniment dérivable en 0 et que, pour tout \(n\in\N^*\text{,}\)

\begin{equation*} f^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}(n-1)! \end{equation*}

Indice.

Récurrence ?

Spoiler.

(b)

En déduire que, pour tout \(n\geq 1\text{,}\)

\begin{equation*} \left|\ln(2) - \sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k-1}}{k}\right|\leq \frac1n \end{equation*}

Indice.

A toutes fins utiles, on rappelle l'inégalité de Taylor-Lagrange¹¹:

Soit \(f:I\rightarrow \R\) une fonction \(n\) fois dérivable en \(a\in I\text{.}\) On suppose qu'il existe \(M>0\) tel que, pour tout \(y\in I\text{,}\) \(|f^{(n)}(y)|\leq M\text{.}\) Alors, pour tout \(x\in I\text{,}\)

\begin{equation*} \left|f(x)-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\right|\leq \frac{M}{n!}|x-a|^n \end{equation*}

Spoiler.

(c)

Conclure sur la convergence de la série de terme général \(\frac{(-1)^{n+1}}{n}\text{.}\)

Spoiler.

Exercice 4.2. Une autre preuve de la même chose, pour être sûrs..

(a)

Montrer que pour tout \(n\geq 1\text{,}\)

\begin{equation*} S_n=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}{k} = \int_0^1 \frac{1-(-t)^n}{1+t} dt \end{equation*}

Indice.

Je pense que vous êtes au courant, mais, pour tout \(k\geq 1\text{,}\)

\begin{equation*} \frac 1{k} = \int_0^1 t^{k-1} dt \end{equation*}

Spoiler.

(b)

Montrer que, pour tout \(n\geq 1\text{,}\)

\begin{equation*} \left|\int_0^1 \frac{(-t)^n}{1+t} dt\right| \leq \frac 1{n+1} \end{equation*}

Spoiler.

(c)

En déduire que

\begin{equation*} |S_n - \ln(2)|\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 0 \end{equation*}

Spoiler.

Maintenant qu'on en est certains, voyons ce qui se passe si on change l'ordre des termes.

Allons-y prudemment. Si on échange les deux premiers termes, il ne se passe rien.

Prouvez-le !

Spoiler.

De même, en fait, si on permute un nombre fini de termes.

Spoiler.

Essayons donc une autre permutation \(\sigma:\N\rightarrow\N\text{,}\) définie comme suit:

Dans nos sommes partielles \(S_n=\sum_{k=1}^n a_k\text{,}\) on alterne un terme positif et un terme négatif:

On va réordonner les termes pour sommer un terme positif, puis deux négatifs, puis un positif, puis deux négatifs... et ainsi de suite jusqu'à l'infini¹³:

Exercice 4.3. Qu'avons-nous fait ?

(a)

Exprimer la suite \((b_k)_k\) ainsi obtenue en fonction de \(a_k\text{.}\)

Indice.

Spoiler.

(b)

En déduire une application \(\sigma:\N\rightarrow\N\) telle que, pour tout \(k\in\N^*\text{,}\) \(b_k=a_{\sigma(k)}\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Montrer que \(\sigma:\N\rightarrow\N\) est injective.

Indice.

Si on suppose que \(\sigma(k)=\sigma(k')=m\text{,}\) alors on peut séparer les cas selon la parité de \(m\text{,}\) et, dans le cas où \(m\) est pair, distinguer deux sous-cas selon si \(m\) est divisible par 4 ou non.

Spoiler.

(d)

Montrer que \(\sigma:\N\rightarrow\N\) est surjective.

Indice.

Pour un entier \(m\) quelconque, on cherche donc un antécédent \(k\text{.}\) A nouveau, on peut séparer différents cas en utilisant la partition

\begin{equation*} \N=(4\N)\cup (4\N+1)\cup (4\N+2) \cup (4\N+3) \end{equation*}

\(\leadsto\) \(m\) est forcément dans un de ces 4 ensembles !

Spoiler.

Exercice 4.4.

Question: Est-ce que la série de terme général \((a_{\sigma(n)})_n\) converge vers \(\ln(2)\) ? Et pour commencer, est-ce qu'elle converge ?

Spoiler.

Rappelons qu'on note \(S_n=\sum_{k=1}^n a_k\text{,}\) \(\widetilde S_n=\sum_{k=1}^n b_k=\sum_{k=1}^n a_{\sigma(k)}\text{.}\) On sait que la suite \((S_n)_n\) converge vers \(\ln(2)\text{,}\) et ce qu'on veut savoir, c'est si c'est aussi le cas de la suite \((\widetilde S_n)_n\text{.}\)

Admettons pour le moment que \((\widetilde S_n)_n\) converge vers une limite \(\widetilde S \in \R\text{.}\)

Exercice 4.5.

(a)

Montrer que la sous-suite \((S_{2n})_n\) de \((S_n)_n\) est strictement croissante.

Indice.

\begin{equation*} S_{2(n+1)}=S_{2n+2}=\sum_{k=1}^{2n+2}a_k=\left(\sum_{k=1}^{2n}a_k\right) + a_{2n+1}+a_{2n+2} \end{equation*}

Spoiler.

(b)

Montrer que la sous-suite \((\widetilde S_{3n+1})_n\) de \((\widetilde S_n)_n\) est strictement décroissante.

Indice.

\begin{align*} \widetilde S_{3(n+1)+1}\amp=\widetilde S_{3n+4}=\sum_{k=1}^{3n+4} a_{\sigma(k)}\\ \amp=\left(\sum_{k=1}^{3n+1}a_{\sigma(k)}\right) + a_{\sigma(3n+2)}+a_{\sigma(3n+3)}+a_{\sigma(3n+4)} \end{align*}

\(\leadsto\) On sait calculer \(a_{\sigma(3n+2)}\text{,}\) et on remarque que \(3n+3=3(n+1),3n+4=3(n+1)+1\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Trouver des entiers \(m\) et \(\ell\) tels que \(S_{2m}\geq \widetilde S_{3\ell+1}\)

Spoiler.

(d)

En déduire que \(\widetilde S \lt \ln(2)\text{.}\)

Spoiler.

A ce stade, on peut déjà affirmer que, contrairement à ce qui se pase pour les sommes finies, dans le cas des sommes infinies, il est faux en général que

Mais alors, si ce n'est pas vers \(\ln(2)\text{,}\) vers quoi convergerait \((\widetilde S_n)_n\) ? Et d'abord, est-ce qu'elle converge ?

On peut se faire une idée heuristique¹⁴ en regroupant les termes par paquets de 3:

⚠ Ici, on n'a pas changé l'ordre des termes, mais le fait de les regrouper utilise une autre propriété triviale de l'addition: l'associativité \(A+(B+C)=(A+B)+C\text{.}\)

Et on a appris à se méfier des propriétés triviales quand il y a des ... !

Sauf que cette fois, ça marche. Pour le prouver, on va utiliser le bien nommé:

Exercice 4.6.

Démontrons ce résultat:

(a)

Montrer que, pour tout \(n\in\N\text{,}\)

\begin{equation*} \sum_{k=1}^{\phi(n)-1}u_k = \sum_{k=1}^n T_k \end{equation*}

Spoiler.

(b)

En déduire que si la série de terme général \((u_n)_n\) converge, alors la série de terme général \((T_n)_n\) converge, et

\begin{equation*} \sum_{n=1}^\infty u_n = \sum_{n=1}^\infty T_n \end{equation*}

Indice.

A la question précédente, on a montré que la suite des sommes partielles de l'une de ces deux séries est une sous-suite de la suite des sommes partielles de l'autre.

Spoiler.

(c)

On va maintenant montrer la réciproque: c'est à dire que si la série de terme général \((T_n)_n\) converge, alors la série de terme générale \((u_n)_n\) converge aussi et les sommes de ces deux séries sont les mêmes.

On suppose donc que la série \(\sum T_n\) converge. Autrement dit, il existe \(\ell\in\R\) tel que la suite \(\left(\sum_{k=0}^n T_k\right)_n\) converge vers \(\ell\text{.}\) Il s'agit donc de montrer que la suite \(\left(\sum_{k=1}^n u_k\right)_n\) converge également vers \(\ell\)

Ecrire ceci en quantificateurs et en déduire un plan de bataille.

Spoiler.

(d)

Montrer que, pour tout \(n\in\N\text{,}\) il existe \(k_n\in\N\) tel que

\begin{equation*} \phi(k_n)\leq n\leq \phi(k_n+1)-1 \end{equation*}

Indice.

Pour un \(n\in\N\text{,}\) on peut considérer l'ensemble

\begin{equation*} A_n=\{k\in \N, \phi(k)\leq n\} \end{equation*}

et utiliser le fait que toute partie non vide majorée de \(\N\) admet un maximum¹⁵.

Spoiler.

(e)

Soit \(n\in\N\text{.}\) Montrer que:

\begin{equation*} \left|\sum_{k=1}^n u_k - \ell\right| \leq \left|\sum_{k=1}^{k_n} T_k - \ell\right| + G_{k_n} \end{equation*}

Indice.

Utiliser la définition de \(k_n\) et recycler la question 1

Spoiler.

(f)

Déterminer un entier \(N\in\N\) tel que, si \(n\geq N\text{,}\)

\begin{equation*} \left|\sum_{k=1}^{k_n} T_k - \ell\right| \lt \frac{\varepsilon}2\text{ et } G_{k_n} \lt \frac{\varepsilon}2 \end{equation*}

Conclure que la série de t.g. \((u_n)_n\) converge et que

\begin{equation*} \sum_{n=1}^\infty u_n=\ell \end{equation*}

Spoiler.

Revenons à nos moutons harmoniques alternés. On a vu que, si \(a_n=\frac{(-1)^n}{n}\text{,}\) alors la série de terme général \((a_n)_n\) converge et que sa somme est \(\ln(2)\text{.}\) On a introduit une suite \((b_n=a_{\sigma(n)})_n\) en permutant l'ordre des \((a_n)_n\) et on veut montrer que la série de terme général \((b_n)_n\) converge.

On a eu plus haut une idée prometteuse: regrouper les \(b_k\) par paquets de 3. Peut-on utiliser le théorème de sommation par paquet pour transformer cette idée en preuve ?

Exercice 4.7.

(a)

Trouver une application \(\phi:\N^*\rightarrow \N^*\) strictement croissante, telle que \(\phi(1)=1\) et telle que, avec les notations du théorème de sommation par paquet appliqué à la suite \((b_n)_n\text{,}\) les tranches \(T_n\) soient somme de trois termes consécutifs de la suite \((b_n)_n\text{.}\)

Vérifier que les conditions du théorème de sommation par paquet sont alors remplies.

Spoiler.

(b)

Montrer que la série de terme général \((T_n)_n\) converge.

Indice.

Calculer \(T_n\) et utiliser le principe d'équivalence.

Spoiler.

(c)

Conclure.

Spoiler.

Reste à calculer la limite de \(\widetilde S_n=\sum_{k=1}^n a_{\sigma(k)}\text{.}\)

Exercice 4.8.

Revenons à \(S_n=\sum_{k=1}^n a_k\) et appliquons le théorème de sommation par paquets, cette fois avec des paquets de 2:

(a)

Trouver \(\psi:\N^*\rightarrow \N^*\) strictement croissante, telle que, pour tout \(n\in\N^*\text{,}\)

\begin{equation*} t_n := a_{\psi(n)}+a_{\psi(n)+1}+...+a_{\psi(n+1)-1} \end{equation*}

est la somme de deux termes consécutifs de la suite \((a_n)_n\text{.}\)

Spoiler.

(b)

En déduire la valeur de \(\sum_{n=1}^\infty t_n\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Quelle est la relation entre \(t_n\) et \(T_n\) obtenu à l'exercice précédent ?

En déduire la la valeur de \(\sum_{n=1}^\infty T_n\text{.}\)

Spoiler.

(d)

Que vaut \(\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)}\) ?

Spoiler.

Un autre calcul de la valeur de \(\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)}\text{:}\)

Exercice 4.9.

(a)

Montrer que pour tout \(n\geq 1\text{,}\)

\begin{equation*} \widetilde S_{3n}= S_{2n}+\sum_{k=n+1}^{2n}a_{2k} \end{equation*}

Indice.

Ca ressemble à "récurer"

Spoiler.

(b)

Montrer que, pour tout \(k\in\N^*\text{,}\)

\begin{equation*} a_{2(k+1)}\geq -\int_k^{k+1}\frac1{2x}ds \geq a_{2k} \end{equation*}

Indice.

On pourra chercher l'inspiration dans la preuve du critère de comparaison série-intégrale (ou dans la forêt hein, comme vous préférez)

Spoiler.

(c)

En déduire un encadrement de \(\sum_{k=n+1}^{2n}a_{2k}\text{.}\)

Indice.

La forêt, il faut reconnaître que c'est très inspirant, mais vraiment, s'il pleut, je recommande une petite balade dans la preuve du critère de comparaison série-intégrale.

Spoiler.

(d)

Montrer que \(\widetilde S=S-\frac12\ln(2)\text{.}\)

En déduire \(\widetilde S\text{.}\)

Spoiler.

Sous-section 4.3 Et pourtant, elle converge...

On a donc remarqué que changer l'ordre des termes d'une série peut modifier la valeur de la somme.

Mais on peut aussi réarranger les termes et obtenir une série qui tend vers \(+\infty !\)

Pour faire diverger la série harmonique alternée, l'idée est de prendre les termes de la suite \(a_n=\frac{(-1)^{n+1}}n\) et de les ranger dans deux sacs:

et on va construire une suite \((c_n=a_{\sigma'(n)})_n\) telle que la série \(\sum c_n\) diverge, en piochant successivement dans \(A^+\) et \(A^-\text{.}\)

Exercice 4.10. Construction de \(c_n\text{.}\).

(a)

On commence par le premier terme négatif: \(c_1=a_2=-\frac12\text{.}\)

Puis on ajoute des termes positifs \(c_2=a_1, c_3=a_3,...c_{k_1}=a_{2p_1+1}\text{.}\)

\(\leadsto\) Trouver \(k_1\geq 1\) tel que

\begin{equation*} \sum_{i=1}^{k_1} c_i \geq 1 \end{equation*}

Spoiler.

(b)

On a maintenant les \(k_1\) premiers termes de la suite \((c_n)_n\text{.}\)

A l'étape 2, on commence par prendre le deuxième terme négatif: \(c_{k_1+1}=a_4=-\frac14\text{.}\)

Puis on pioche des termes positifs, à partir de là où on s'ens arrêtés à l'étape 1:

\begin{equation*} c_{k_1+2}=a_{2p_1+3},\ldots,c_{k_2}=a_{2p_2+1} \end{equation*}

\(\leadsto\) Montrer qu'on peut trouver \(k_2\) tel que

\begin{equation*} \sum_{i=k_1+1}^{k_2} c_i \geq 1 \end{equation*}

Bonus: Commencer à méditer sur l'éventuelle divergence de \(\sum c_n\text{:}\)

Spoiler.

(c)

On suppose qu'on a ainsi fait \(m\) étapes:

On a construit \(k_m\) termes de la suite \((c_n)_n\) tels que, pour \(1\leq l\leq m-1\text{,}\) \(c_{k_l+1}=a_{2(l+1)}\) et

\begin{equation*} \sum_{i=k_l+1}^{k_{l+1}} c_i \geq 1 \end{equation*}

donc ¹⁶

\begin{equation*} \sum_{i=1}^{k_{m}} c_i \geq m \end{equation*}

Pour terminer le raisonnement par récurrence¹⁷, on décrit l'étape \(m+1\text{.}\)

Essayez de faire ça !

Indice.

On commence par choisir \(c_{k_m+1}\text{:}\) on prend un terme négatif.

\(\leadsto\) Lequel ?

Ensuite, on va "compenser" ce terme négatif: on pioche des termes positifs

\begin{equation*} c_{k_m+1}=a_{2p_m+3},c_{k_m+2}=a_{2p_m+5},\ldots, c_{k_{m+1}}=a_{2p_{m+1}+1} \end{equation*}

tels que

\begin{equation*} \sum_{i=k_l+1}^{k_{l+1}} c_i \geq 1 \end{equation*}

\(\leadsto\) Comment peut-on être sûrs qu'il existe un tel \(k_{m+1}\) ?

Spoiler.

(d)

Challenge ! On a obtenu un bijection (ou permutation) \(\sigma'\) de \(\N^*\) telle que

\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty} a_{\sigma'(n)} = +\infty \end{equation*}

\(\leadsto\) Pouvez-vous trouver une bijection \(\sigma'':\N^*\rightarrow \N^*\) telle que:

\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty} a_{\sigma''(n)} = -\infty ? \end{equation*}

Sous-section 4.4 Où Riemann arrive enfin, pour réarranger tout ce bazar.

.

Faisons le point. On a montré que, contre toute attente, la proposition intitive suivante est fausse:

On a même montré que la proposition moins ambitieuse suivante n'est pas vraie non plus:

La situation est donc plus complexe que prévue. Il va donc falloir creuser un peu.

➢ Puisque nos propositions ne marchent pas pour toutes les suites, existe-t-il des suites pour lesquelles ça fonctionne ?

Si ça se trouve, la Proposition 4.9 est vraie pour toute suite qui n'est pas \(\frac{(-1)^n}n\) !

Regardons d'un peu plus près ce qui a rendu la Proposition 4.9 fausse. On a montré que \(a_n=\frac{(-1)^n}n\) est un contre-exemple, en construisant une permutation \(\sigma'\) telle que, bien que \(\sum a_n\) converge, \(\sum a_{\sigma'(n)}\) diverge.

➢ De quoi a-t-on eu besoin ?

On a eu besoin d'un ensemble infini d'indices, en l'occurence \(2\N+1\text{,}\) telle que, si on prend, dans l'ordre, les termes correspondants de la suite, on obtient une série divergente.

Et, pour que \(\sum a_n\) converge quand même, on avait besoin que les termes restants - les termes pairs, donc - "compensent" suffisamment les termes impairs. En particulier, il nous en faut une infinité.

➢ Il nous faut une infinité de termes positifs, et une infinité de termes négatifs, tels que, si on ne prend que les positifs (ou que les négatifs), ça diverge.

Ca ne peut arriver qu'avec des séries qui ne sont pas de signe constant à partir d'un certain rang. On pourrait donc poser une nouvelle conjecture:

Tentative de sauver la Proposition 4.9 Pour toute suite \((a_n)_n\) de réels positifs (ou négatifs)¹⁸, si \(\sum a_n\) converge, alors pour toute permutation \(\sigma\in\mathcal S(\N)\text{,}\) \(\sum a_{\sigma(n)}\) converge.

De plus, même si \((a_n)_n\) n'est pas de signe constant APCR¹⁹, pour trouver la perumtation \(\sigma'\) qui fait tout planter, on a besoin que les termes de même signe forment une série divergente. Du coup, la convergence de la série \(\sum a_n\) était dûe à une compensation par les termes de signe opposé.

En d'autre termes, dans le cas de \(\frac{(-1)^n}{n}\text{,}\) le \((-1)^n\) est indispensable pour que la série converge.

Mais il existe aussi des suites de signe non constant APCR, mais dont les termes positifs ou négatifs ne forment pas des séries divergentes. Par exemple:

Cette suite n'est pas positive ou négative, mais on ne peut pas lui appliquer notre raisonnement. Et en fait, dans ce cas, la série est absolument convergente: on peut donc se ramener à la suite positive \(|u_n|\text{.}\) On peut donc formuler:

Tentative 2 de sauver la Proposition 4.9 Pour toute suite \((a_n)_n\) réelle, si \(\sum |a_n|\) converge, alors pour toute permutation \(\sigma\in\mathcal S(\N)\text{,}\) \(\sum a_{\sigma(n)}\) converge.

⚠ On n'a pas montré que ces conjectures sont vraies ! Et on a déjà été trompés par l'intuition.

La bonne nouvelle c'est que cette fois, Bernhard est d'accord avec nous.

\(\leadsto\) On va même pouvoir sauver la Proposition 4.9 !

Exercice Preuve de la première implication

Supposons que la série de t.g. \((a_n)_n\) est absolument convergente. Soit \(\sigma\in\mathcal S(\N)\text{,}\) on veut montrer que la série de terme général \((a_{\sigma(n)})_n\) est convergente et a la même somme.

Groupe d'exercices.

Commençons par montrer que la série \(\sum a_{\sigma(n)}\) converge.

1.

Montrer que, pour tout \(n\in\N\text{,}\) il existe \(n'\in\N\) tel que:

\begin{equation*} \sum_{k=0}^n |a_{\sigma(k)}| \leq \sum_{k=0}^{n'} |a_k|\text{.} \end{equation*}

Spoiler.

2.

En déduire que la suite \(\left(\sum_{k=0}^n |a_{\sigma(k)}|\right)_n\) est majorée.

Spoiler.

3.

Montrer que la série de terme général \((a_{\sigma(n)})_n\) converge.

Spoiler.

On a montré que, si la série de t.g. \((a_n)_n\) converge absolument alors, pour n'importe quelle permutation \(\sigma:\N\rightarrow \N\text{,}\) la série de terme général \((a_{\sigma(n)})_n\) converge.

Groupe d'exercices.

Il nous reste maintenant à montrer que \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\text{.}\)

On note \(S=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\text{.}\)

Soit \(\varepsilon \gt 0\text{,}\) on cherche donc \(M_\varepsilon\in \N\) tel que, pour tout \(N\geq M_\varepsilon\text{,}\)

\begin{equation*} \left|\sum_{k=0}^N a_{\sigma(k)} - S\right| \lt \varepsilon. \end{equation*}

4.

Montrer qu'il existe \(N_1\in\N\) tel que, pour tout \(n\geq N_1\text{,}\)

\begin{equation*} \sum_{k=n}^{+\infty} | a_k| \lt \frac{\varepsilon}2 \end{equation*}

Spoiler.

5.

On pose \(N_2\) tel que, pour tout \(n\geq N_2\text{,}\)

\begin{equation*} \left|\sum_{k=0}^n a_k - S\right| \lt \frac{\varepsilon}2 \end{equation*}

et \(N_0=\max(N_1+1,N_2)\text{.}\)

Justifier que l'ensemble \(\{k\in\N,\sigma(k)\leq N_0\}\) est fini. On note \(M=\max\{k\in\N,\sigma(k)\leq N_0\}\text{.}\)

Spoiler.

6.

On va montrer que \(M\) est le \(M_\varepsilon\) qu'il nous faut. Soit donc \(N\geq M\text{.}\)

Montrer que

\begin{equation*} \sigma^{-1}(\{0,\ldots, N_0\})\subset \{0\ldots, N\}. \end{equation*}

Spoiler.

7.

On introduit quelques notations supplémentaires:

\begin{gather*} I_N:=\{k\in\N, 0\leq k \leq N, \sigma(k)\gt N_0\},\\ b=\min\{\sigma(k),k\in I_N\}, B=\max\{\sigma(k),k\in I_N\} \end{gather*}

Montrer que \(b\gt N_0\text{.}\)

Spoiler.

8.

Rentrons dans le vif du sujet: on veut obtenir

\begin{equation*} \left|\sum_{k=0}^N a_{\sigma(k)} - S\right| \lt \varepsilon. \end{equation*}

Montrer que

\begin{equation*} \sum_{k=0}^N a_{\sigma(k)}=\sum_{k\in I_n}a_{\sigma(k)} + \sum_{k\in \sigma^{-1}(\{0,\ldots, N_0\})}a_{\sigma(k)}=\sum_{k\in I_n}a_{\sigma(k)} + \sum_{j=0}^{N_0}a_{j} \end{equation*}

Spoiler.

9.

En déduire que

\begin{equation*} \left|\sum_{k=0}^N a_{\sigma(k)} - S\right| \leq \left|\sum_{j=0}^{N_0} a_{j} - S\right| + \sum_{k\in I_n}|a_{\sigma(k)}| \end{equation*}

Spoiler.

10.

Justifier que

\begin{equation*} \sum_{k\in I_n}|a_{\sigma(k)}|\leq \sum_{j=b}^B |a_j| \end{equation*}

Spoiler.

11.

Montrer que

\begin{equation*} \left|\sum_{k=0}^N a_{\sigma(k)} - S\right| \lt \varepsilon \end{equation*}

Spoiler.

Donc, non seulement \(\sum a_{\sigma(n)}\) converge, mais en plus la somme est égale à \(\sum_{n=0}^\infty a_n\text{.}\)

Exercice Preuve de la seconde implication

On va procéder par contraposée: on suppose que la série \(\sum |a_n|\) diverge, et on va montrer qu'il existe une permutation \(\sigma:\N\rightarrow\N\) telle que la série \(\sum a_{\sigma(n)}\) diverge.

\(\leadsto\) C'est exactement ce qu'on a fait pour la série harmonique alternée: on va donc pouvoir recycler les idées qu'on a utilisées plus haut.

1. Question préliminaire.

Montrer que dans ce cas, \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|=+\infty\text{.}\)

Indice.

Remarque: Ce n'est pas la seule façon de diverger ! Par exemple, pour \((u_n=(-1)^n)_n\text{,}\) la suite des sommes partielles est:

\begin{equation*} S_n=\sum_{k=0}^n u_k = \begin{cases}1 \amp\text{ si } n \text{ pair}\\0 \amp\text{ si } n \text{ impair}\end{cases} \end{equation*}

\((S_n)_n\) ne converge pas, donc la série \(\sum(-1)^n\) diverge, mais \(S_n\nrightarrow +\infty\text{.}\)

\(\leadsto\) Comment peut-on être sûrs que ce n'est pas ça le problème avec \(\sum |a_n| ?\)

Spoiler.

Groupe d'exercices.

Premier cas: Si est \((a_n)_n\) est de signe constant à partir d'un certain rang.

2.

Supposons d'abord que \((a_n)_n\) est une suite positive: pour tout \(n\in\N\text{,}\) \(a_n\geq 0\text{.}\)

Trouver une permutation \(\sigma\in\mathcal S(\N)\) telle que \(\sum a_{\sigma(n)}\) diverge.

Indice.

Est-ce qu'on a vraiment besoin de permuter quoi que ce soit pour que \(\sum a_n\) diverge ?

Spoiler.

3.

Supposons maintenant que \((a_n)_n\) est une suite positive à partir d'un certain rang: il existe donc \(n_0\in \N\) tel que pour tout \(n\geq n_0\text{,}\) \(a_n\geq 0\text{.}\)

Trouver une permutation \(\sigma\in\mathcal S(\N)\) telle que \(\sum a_{\sigma(n)}\) diverge.

Indice.

A nouveau, est-ce qu'on a vraiment besoin de permuter quoi que ce soit ?

Spoiler.

4.

Montrer que si \((a_n)_n\) est négative à partir d'un certain rang, il existe une permutation \(\sigma\) telle que \(\sum a_{\sigma(n)}\) diverge.

Indice.

Peut-on se ramener au cas précédent pour ne pas trop avoir de travail ?

Spoiler.

On a donc montré que, si la suite \((a_n)_n\) est de signe constant à partir d'un certain rang, on a la conclusion qu'on voulait.

Le cas qui reste est celui où le signe de \((a_n)_n\) ne se fixe jamais.

\(\leadsto\) C'est dans ce cas que les idées qu'on a eues pour la série harmonique alternée vont nous servir.

Groupe d'exercices.

On suppose donc, maintenant, que \((a_n)_n\) n'est pas de signe constant à partir d'un certain rang:

Spoiler.

\begin{gather*} non(\exists n_0 \in\N,\forall p\geq n_0, a_p\geq 0 \text { ou }\exists n_0 \in\N,\forall p\geq n_0, a_n\leq 0)\\ non(\exists n_0 \in\N,\forall p\geq n_0, a_p\geq 0) \text { et }non(\exists n_0 \in\N,\forall p\geq n_0, a_p\leq 0)\\ (\forall n \in\N,\exists p_1\geq n, a_{p_1}\lt 0) \text { et }(\forall n \in\N,\exists p_2\geq n, a_{p_2}\gt 0)\\ \forall n \in\N,\exists p_1,p_2\geq n_0, a_{p_1}\lt 0 \text { et } a_{p_2}\gt 0 \end{gather*}

\begin{equation*} \forall n \in\N,\exists p_1,p_2\geq n, a_{p_1}\lt 0 \text { et } a_{p_2}\gt 0 \end{equation*}

Dans un premier temps, on va montrer que dans ce cas, \((a_n)_n\) vérifie les points qui semblent nécessaire au fonctionnement de la construction qu'on a faite pour \(\frac{(-1)^n}{n}\text{.}\)

5.

Justifier que les deux ensembles suivants sont infinis:

\begin{equation*} K^+=\{k\in\N,a_k\geq 0\},K^-=\{k\in\N,a_k\lt 0\} \end{equation*}

Spoiler.

6.

Construire deux fonctions strictement croissantes \(\phi,\psi:\N\rightarrow\N\) telles que \(\phi(\N),\psi(\N)\) est une partition de \(\N\) et

\begin{equation*} \forall n\in\N, a_{\phi(n)}\geq 0, a_{\psi(n)}\lt0 \end{equation*}

Bonus: Quelles sont les applications \(\phi\) et \(\psi\) pour \(a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n}\) ?

Indice.

On peut construire \(\phi\) en prenant les éléments de \(K^+\) dans l'ordre, et \(\psi\) en uilisant \(K^-\text{.}\)

Spoiler.

7.

Montrer que

\begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\phi(n)}= +\infty \text{ ou } \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\psi(n)}= -\infty \end{equation*}

Indice.

On peut procéder par l'absurde: si ce n'est pas le cas, alors les séries \(\sum a_{\phi(n)}\) et \(\sum a_{\psi(n)}\) convergent²⁵.

\(\leadsto\) En déduire que dans ce cas \(\sum|a_n|\) convergerait aussi.

Spoiler.

On est bien dans les mêmes conditions que pour la série harmonique alternée !

Premier cas.

On suppose que \(\sum_{n=0}^{+\infty} a_{\phi(n)}= +\infty\text{.}\)

Attaquons-nous à la construction d'une permutation \(\sigma\) telle que \(\sum a_{\sigma(n)}\) diverge.

8. Etape 1.

Justifier que l'ensemble suivant n'est pas vide :

\begin{equation*} N_1=\{n\in \N,a_{\psi(0)}+\sum_{j=0}^n a_{\phi(j)} \gt1\} \end{equation*}

\(\leadsto\) On peut donc poser \(n_1=\min N_1\text{.}\) En s'inspirant de ce qu'on a fait pour la série harmonique alternée, construire \(\sigma(0),....,\sigma(n_1+1)\) tels que

\begin{equation*} \sum_{j=0}^{n_1+1} a_{\sigma(j)} \gt 1 \end{equation*}

Bonus: Qui sont \(n_1,\sigma(0),....,\sigma(n_1+1)\) pour \(a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n}\) ?

Indice.

On peut commencer par le terme négatif \(\sigma(0)=\psi(0)\text{,}\) puis prendre les termes positifs \(a_{\phi(0)},...,a_{\phi(n_1)}\) dans l'ordre.

Spoiler.

9. Etape 2.

On pose

\begin{equation*} n_2=\min\{n\in \N,a_{\psi(1)}+\sum_{j=n_1+1}^{n} a_{\phi(j)} \gt1\} \end{equation*}

²⁶ Justifer que \(n_2\gt n_1\) puis construire \(\sigma(n_1+2),....,\sigma(n_2+2)\) tels que

\begin{equation*} \sum_{j=n_1+2}^{n_2+2} a_{\sigma(j)} \gt 1 \end{equation*}

\(\leadsto\) Combien de \(\sigma(j)\) a-t-on construit à cet étape ? Combien en tout ?

Indice.

On peut commencer par le terme négatif: \(\sigma(n_1+2)=\psi(1)\text{,}\) puis prendre les termes positifs \(a_{\phi(n_1+1)},...,a_{\phi(n_2)}\) dans l'ordre.

Spoiler.

10. Etape 3.

On pose, devinez quoi,

\begin{equation*} n_3=\min\{n\in \N,a_{\psi(2)}+\sum_{j=n_2+1}^{n} a_{\phi(j)} \gt1\} \end{equation*}

Construire \(\sigma(n_2+3),....,\sigma(n_3+3)\) tels que

\begin{equation*} \sum_{j=n_2+3}^{n_3+3} a_{\sigma(j)} \gt 1 \end{equation*}

Bonus: Combien de \(\sigma(j)\) a-t-on construit à cet étape ? Combien en tout maintenant ?

Spoiler.

11. Etape \(m+1\).

On suppose qu'on a fait \(m\) étapes, qui nous ont donné:

• \(n_1\lt....\lt n_m\) tels que, pour tout \(1\leq k\leq m\text{,}\) \(a_{\psi(k-1)}+\sum_{j=n_{k-1}+1}^{n_k} a_{\phi(j)}\gt1\)²⁷

• Pour chaque \(k\in\{1... m\}\text{,}\) on a construit \((n_k-n_{k-1})+1\) \(\sigma(j)\text{,}\) \(\sigma(n_{k-1}+k),\ldots,\sigma(n_{k}+k)\text{,}\) tels que

  \begin{equation*} \sum_{j=n_{k-1}+k}^{n_{k}+k}\sigma(j) \gt 1 \end{equation*}

• \(\leadsto\) Au total, on a construit \(\sigma(j)\) pour \(j\) allant de 0 à \(n_m+m+1\)²⁸

Bonus: Vérifiez que ça marche bien pour \(k=1,k=2\text{!}\)

On pose, tous en choeur,

\begin{equation*} n_{m+1}=\min\{n\in \N,a_{\psi(m)}+\sum_{j=n_m+1}^{n_{m+1}} a_{\phi(j)} \gt1\} \end{equation*}

²⁹ Construire \(\sigma(n_{m}+m+1),....,\sigma(n_{m+1}+m+1)\) tels que

\begin{equation*} \sum_{j=n_{m}+m+1}^{n_{m+1}+m+1} a_{\sigma(j)} \gt 1 \end{equation*}

Spoiler.

On a ainsi obtenu une application \(\sigma\text{,}\) définie sur un ensemble d'entiers, à valeurs dans les entiers.

\(\boxed{\sigma\in\mathcal S(\N)}\).

Il nous faut maintenant montrer que \(\sigma\) est définie sur \(\N\) entier³⁰ et est une permutation de \(\N\text{,}\) c'est-à-dire une bijection \(\N\rightarrow\N\text{.}\)

12.

Montrer que les ensembles \(\{n_k+1,\ldots n_{k+1}\}\) pour \(k\in\N\) forment une partition de \(\N\text{.}\)

Spoiler.

13.

Montrer que, pour tout \(k\in\N\text{,}\) \(\sigma:\{n_k+k+2,n_k+k+3,...n_{k+1}+k+1\}\rightarrow\phi(\{n_k+1,\ldots n_{k+1}\})\) est bijective.

En déduire que \(\sigma\) réalise une bijection entre les ensembles \(\N\setminus\{n_k+k+1,k\in\N\}\) et \(\phi(\N)\text{.}\)

Spoiler.

14.

Montrer que, d'un autre côté, \(\sigma\) réalise une bijection entre les ensembles \(\{n_k+k+1,k\in\N\}\) et \(\psi(\N)\text{.}\)

Spoiler.

15.

En déduire que \(\sigma\) est bien définie sur \(\N\) et que \(\sigma:\N\rightarrow\N\) est bijective.

Spoiler.

16. Où est-ce qu'on allait déjà ?

Montrer que la série de terme général \((a_{\sigma(n)})_n\) diverge.

Bonus: Montrer,plus précisément que \(\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)}=+\infty\text{.}\)

Spoiler.

Ah oui, voilà. OK.

17. Deuxième cas.

En faisant les ajustements nécessaires au raisonnement du premier cas, construire une permutation \(\sigma':\N\rightarrow\N\) telle que

\begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty a_{\sigma'(n)}=-\infty \end{equation*}

Sous-section 4.5 Vous n'aimez pas la divergence ? On peut toujours se réarranger...

En fait, Riemann a montré un truc beaucoup plus drôle: si on part d'une série semi-convergente, alors on peut, en permutant les termes, la faire converger vers mon réel préféré.

Ou vers le vôtre. Ou vers \(\frac{5\sqrt{\pi}}{3e}\text{,}\) parce que pourquoi pas.

L'idée ressemble un peu à ce qu'on a déjà fait: on va mettre d'un côté les \(a_n\) positifs, de l'autre les \(a_n\) négatifs, et piocher alternativement dans les deux paquets.

Prenons par exemple \(a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n}\text{,}\) essayons de faire converger \(\sum a_{\sigma(n)}\) vers \(\alpha=\frac{5\sqrt{\pi}}{3e}\simeq 1.0867...\text{.}\)

On a d'un côté les termes impairs \(\{a_{n}, n \in 2\N+1\}\text{,}\) qui sont positifs, et d'un autre côté les termes pairs \(\{a_{n}, n \in 2\N+2\}\) qui sont négatifs.

Puisque \(\frac{3\sqrt{\pi}}{e}\gt 0\text{,}\) on commence par piocher des termes positifs, jusqu'à ce que ça dépasse:

\(\leadsto\) Ca dépasse ! On compense en ajoutant des termes négatifs:

\(\leadsto\) On est repassés en dessous: on reprend des termes positifs

\(\leadsto\) On est repassés au dessus: on repasse à des termes négatifs:

\(\leadsto\) On repasse aux termes positifs, et ainsi de suite.

Comme il y a une infinité de termes positifs et négatifs, on est sûrs de pouvoir etainsidesuiter, et comme \(\frac{(-1)^n}{n}\rightarrow 0\text{,}\) nos oscillations autour de \(\alpha\) sont de plus en plus faible, donc on devrait se rapprocher.

Et ces deux points sont vérifiés pour toute série semi-convergente !

Exercice Preuve du théorème de réarrangement à volonté

Soit \(\sum a_n\) une série semi-convergente: \(\sum a_n\) converge, mais \(\sum |a_n|\) diverge.

On rappelle qu'à la question prélininaire de la preuve de la seconde implication du Théorème 4.12, on a vu que ceci implique que \((a_n)_n\) n'est pas de signe constant APCR.

On réutilise les notations utilisées dans les points 5,6,7 de la preuve de la seconde implication du Théorème 4.12:

\begin{gather*} K^+=\{k\in\N,a_k\geq 0\},K^-=\{k\in\N,a_k\lt 0\} \\ \phi,\psi:\N\rightarrow\N\text{ str. croissantes t.q. } \forall n,a_{\phi(n)}\geq0 \forall n,a_{\psi(n)}\lt 0 \end{gather*}

Rappelons qu'on a montré que

\begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\phi(n)}= +\infty \text{ ou } \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\psi(n)}= -\infty \end{equation*}

1.

Montrer qu'en fait, les deux divergent nécessairement:

\begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\phi(n)}= +\infty \text{ et } \sum_{n=0}^{+\infty} a_{\psi(n)}= -\infty \end{equation*}

Indice.

Supposons par exemple que \(\sum_{n=0}^{+\infty} a_{\phi(n)}= +\infty\text{.}\) Remarquer que, si \(\sum_{n=0}^{+\infty} a_{\psi(n)}\neq -\infty\text{,}\) alors la série \(\sum a_{\psi(n)}\) converge ³¹.

Pourquoi est-ce que ça contredit le fait que \(\sum |a_n|\) diverge ?

Spoiler.

2.

On va construire la permutation \(\sigma\) par récurrence, comme suit.

On pose \(\sigma(0)=0\) et, pour tout \(n\geq 1\text{,}\) on sépare deux cas

• Premier cas: Si \(\sum_{k=0}^{n-1}a_{\sigma(k)} \leq \alpha\) on pose:

  \begin{equation*} \sigma(n)=\min (K^+\setminus \sigma(\{0,\ldots,n-1\}) \end{equation*}

• Deuxième cas: Si \(\sum_{k=0}^{n-1}a_{\sigma(k)} \gt \alpha\) on pose:

  \begin{equation*} \sigma(n)=\min (K^-\setminus \sigma(\{0,\ldots,n-1\}) \end{equation*}

Montrer que cette construction fonctionne: c'est-à-dire que, pour tout \(n\in\N\text{,}\) les ensembles

\begin{equation*} K^+\setminus \sigma(\{0,\ldots,n-1\}\text{ et }K^-\setminus \sigma(\{0,\ldots,n-1\} \end{equation*}

ne sont pas vides.

Indice.

Si l'un des deux est vide, montrer que cela implique que \(K^+\) ou \(K^-\) est fini.

Spoiler.

3.

Montrer que l'application \(\sigma:\N\rightarrow\N\) ainsi définie est injective.

Spoiler.

Groupe d'exercices.

On va montrer que \(\sigma\) est surjective. On procède par l'absurde: supposons qu'il existe \(N\in \N\) tel que \(N\notin \sigma(\N)\text{.}\)

Alors \(N\in K^+\) ou \(N\in K^-\text{.}\) Supposons par exemple que \(N\in K^+\text{.}\)

4.

On va montrer que \(\sigma\) est surjective. On procède par l'absurde: supposons qu'il existe \(N\in \N\) tel que \(n\notin \sigma(\N)\text{.}\)

Alors \(N\in K^+\) ou \(N\in K^-\text{.}\) Supposons par exemple que \(N\in K^+\text{.}\)

Montrer qu'alors \(K^+\cap\sigma(\N)\) est un ensemble fini.

Indice.

Si \(K^+\cap\sigma(\N)\) est infini, alors il n'est pas borné, donc il existe \(N_1\gt N\) tel que \(N_1\in K^+\cap\sigma(\N).\)

Mais alors, \(N\lt N_1=\sigma(p)=\min(K^+\setminus \sigma(\{0,...p-1\}))\) donc \(N\notin K^+ \setminus \sigma(\{0,...p-1\}).\text{.}\)

Pourquoi est-ce contradictoire ?

Spoiler.

5.

\(K^+\cap\sigma(\N)\) est fini, donc borné: en déduire qu'il existe \(n_0\) tel que, pour tout \(n\geq n_0\text{,}\) \(\sigma(n)\in K^-\text{.}\)

Spoiler.

6.

Montrer que, du coup, la suite \(\left(\widetilde S_n=\sum_{k=0}^n a_{\sigma(n)}\right)_{n\geq n_0}\) est décroissante minorée. En déduire que la série \(\sum a_{\sigma(n)}\) est convergente.

Spoiler.

7.

Montrer que, d'un autre côté, la série \(\sum a_{\sigma(n)}\) est de même nature que la série \(\sum a_{\psi(n)}\text{.}\)

Indice.

On a \(\sigma(n_0)\in K^-\text{,}\) donc il existe \(m_0\) tel que \(\sigma(n_0)=\psi(m_0)\text{.}\) Et puisque, pour tout \(n\geq n_0,\sigma(n)\in K^-\text{,}\) à partir de \(n_0\) on construit les \(\sigma(n)\) en prenant les éléments de \(K^-\) dans l'ordre à partir de \(\sigma(n_0)\text{.}\)

Et d'un autre côté, les \(\psi(n),n\geq m_0\) s'obtiennent en prenant dans l'ordre les éléments de \(K^-\) à partir de \(\psi(m_0)\text{.}\)

Spoiler.

8.

En déduire que \(\sigma\) est surjective, et est donc une permutation de \(\N\text{.}\)

Spoiler.

Groupe d'exercices.

On veut maintenant montrer que \(\sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)}=\alpha\text{.}\) Soit \(\varepsilon\gt0\text{,}\) on cherche \(N\in\N\) tel que \(\forall n\geq N\text{,}\)

\begin{equation*} \left|\sum_{k=0}^n a_{\sigma(k)}-\alpha\right| \lt\varepsilon. \end{equation*}

9.

Justifier qu'il existe :

1. \(n_0\in\N\) tel que, pour tout \(n\geq n_0\text{,}\) \(|a_n|\lt \varepsilon\text{.}\)

2. \(n_1\in\N\) tel que, pour tout \(n\geq n_1\text{,}\) \(\sigma(n)\gt n_0\text{.}\)

3. \(n_2\geq n_1\) tel que \(\sigma(n_2)\in K^+, \sigma(n_2+1)\in K^-\text{.}\)

Indice.

1. Pourquoi peut-on dire que \(a_n\rightarrow 0\) ?

2. Pourquoi peut-on dire que l'ensemble \(\{n\in\N,\sigma(n)\leq n_0\}\) est fini ?

3. On peut remarquer qu'il existe \(m_2\geq m_1\geq n_1\) tels que \(\sigma(m_1)\in K^+,\sigma(m_2)\in K^-\)³². De là, on peut montrer que \(n_2=\max\{n\in\N, m_1\leq n \leq m_2,\sigma(n)\in K^+\}\) marche.

Spoiler.

10.

On va montrer que \(n_2\) est l'entier qu'on recherche.

Montrer dans un premier temps que

\begin{equation*} \widetilde S_{n_2-1}\leq \alpha, \widetilde S_{n_2} \gt \alpha \text{ et } |\widetilde S_{n_2}-\widetilde S_{n_2-1}|\lt \varepsilon \end{equation*}

Spoiler.

11.

Soit \(n\geq n_2\text{.}\) Montrer que si \(\widetilde S_n \gt \alpha+\varepsilon\) alors \(\widetilde S_{n-1}\gt \alpha+\varepsilon\text{.}\)

En déduire que \(\widetilde S_n -\alpha \leq \varepsilon\)

Indice.

Montrer d'abord que dans ce cas, \(|\widetilde S_n-\widetilde S_{n-1}|\lt \varepsilon\text{.}\) En déduire que \(\widetilde S_{n-1}\gt \alpha\text{,}\) et de là, que \(\widetilde S_{n-1}\leq \widetilde S_n\) (quel est le signe du terme qu'on a ajouté pour passer de \(\widetilde S_{n-1}\) à \(\widetilde S_n\) ?)

Spoiler.

12.

Montrer de la même façon que \(\widetilde S_n -\alpha \geq -\varepsilon\text{.}\)

Spoiler.

13.

En déduire que, pour tout \(n\geq n_2\text{,}\) \(|\widetilde S_n - \alpha|\lt \varepsilon\text{.}\)

Conclure et fêter ça.

Spoiler.