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Section 1 Séries semi-convergentes

Pour étudier une série \(\sum a_n\) dont le terme général n'est pas de signe constant, on a vu qu'on pouvait se ramener à une série à termes positifs en étudiant la série \(\sum |a_n|\text{.}\)

Et ce qu'on a vu, c'est que si on arrive à montrer que \(\sum |a_n|\) est convergente, alors on peut conclure que \(\sum a_n\) est convergente aussi. On dit dans ce cas que \(\sum a_n\) est absolument convergente.

Mais l'implication "absolument convergente \(\Rightarrow\) convergente" n'est pas une équivalence: il existe aussi des séries \(\sum a_n\) qui convergent, tandis que \(\sum |a_n|\) diverge.

Dans l'idée, ce sont des séries dont le terme général tend vers 0, mais pas "assez vite" en ordre de grandeur : du coup, si on essaie de sommer les termes en valeur absolue \(|a_n|\text{,}\) les sommes partielles \(|a_0|+...+|a_n|\) forment une suite croissante, qui croît de moins en moins (car \(|a_n|\to 0\)) mais qui ne ralentit pas assez vite pour éviter de diverger.

Mais, si on enlève les valeurs absolues, la suite \((a_n)_n\) est de signe variable. Et du coup, quand on somme, les termes positifs seront en partie compensés par des termes négatifs, ce qui "ralentit la divergence", au point de permettre à la somme de converger quand même.

Dans ce cas, on dit que la série \(\sum a_n\) est semi-convergente.

Et donc, la question est : comment identifier ces séries semi-convergentes ?

Sous-section 1.1 Critères des séries alternées

Définition 1.1.

  • On dit qu'une suite \(\us\) est alternée si elle est de la forme \(u_n=(-1)^na_{n}\) avec \(\as\) une suite de signe constant.

    \(\leadsto\) Une suite est donc alternée ssi la suite \(((-1)^nu_{n})_n\) est de signe constant.

    \(\leadsto\) Si \(\us\) est alternée, alors pour tout \(n\in\N\text{,}\) \(a_{n} = (-1)^n\vert a_{n}\vert\) ou \((-1)^{n+1}|a_n|(-1)^nu _{n}\text{.}\)

  • On dit qu'une série \(\sum a_n\) est alternée si son terme général \(\as\) est alterné.

Exercice Exemples et contre-exemples

1.

    Parmi les suites ci-dessous, sélectionner celles qui sont alternées.

  • \(a_n=(-1)^n n\)

  • \(b_n= \dfrac{(-1)^n}{(-1)^n + 2n}\)
  • \(c_n= (-1)^n+\dfrac{1}{(-1)^n + 2n}\)
  • \(d_n=\dfrac{\cos(\pi n)}{\sqrt n}\)
  • \(d_n=\dfrac{1}{\sqrt n}\sin\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)\)
  • \(d_n=\dfrac{1}{n^3}\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + n\pi\right)\)

Exercice 1.1. Preuve du critère de Leibniz.

Soit \(\sum a_n\) une série alternée, avec pour tout \(n\in\N\text{,}\) \(a_n=(-1)^n|a_n|\text{.}\)

On note

\begin{align*} T_n \amp:= S_{2n} = \sum_{k=0}^{2n}a_k = a_0 + a_1 +a_2+...+a_{2n-1}+a_{2n},\\ U_n \amp:=S_{2n+1} = \sum_{k=0}^{2n}a_k = a_0 + a_1 +a_2+...+a_{2n-1}+a_{2n} + a_{2n+1} \end{align*}

 1 

(a)

Montrer que \((T_n)_n\) est décroissante.

Spoiler.

On calcule:

\begin{equation*} T_{n+1} - T_n = S_{2n+2} - S_{2n} = a_{2n+2} + a_{2n+1} \end{equation*}

Or, pour tout \(n\in\N\text{,}\) \(a_n=(-1)^n|a_n|\) donc

\begin{equation*} a_{2n+2} + a_{2n+1} = (-1)^{2n+2}|a_{2n+2}| + (-1)^{2n+1}|a_{2n+1}| = |a_{2n+2}|-|a_{2n+1}| \end{equation*}

De plus, comme \((|a_n|)_n\) est décroissante, \(|a_{2n+2}|\leq|a_{2n+1}|\text{,}\) donc

\begin{equation*} T_{n+1} - T_n = |a_{2n+2}|-|a_{2n+1}| \leq 0 \end{equation*}

autrement dit, \((T_n)_n\) est décroissante.

(b)

Montrer que \((U_n)_n\) est croissante.

Spoiler.

On calcule:

\begin{equation*} U_{n+1} - U_n = S_{2n+3} - S_{2n+1} = a_{2n+3} + a_{2n+2} \end{equation*}

Or, pour tout \(n\in\N\text{,}\) \(a_n=(-1)^n|a_n|\) donc

\begin{equation*} a_{2n+3} + a_{2n+2} = (-1)^{2n+3}|a_{2n+3}| + (-1)^{2n+2}|a_{2n+2}| = |a_{2n+2}|-|a_{2n+3}| \end{equation*}

De plus, comme \((|a_n|)_n\) est décroissante, \(|a_{2n+3}|\leq|a_{2n+2}|\text{,}\) donc

\begin{equation*} U_{n+1} - U_n = |a_{2n+2}|-|a_{2n+3}| \geq 0 \end{equation*}

autrement dit, \((U_n)_n\) est croissante.

(c)

Montrer que pour tout \(n\in \N\text{,}\) \(T_n \geq U_n \) et \(T_n - U_n \xrightarrow[n\to +\infty]{}0\text{.}\)

Spoiler.

On trouve

\begin{equation*} U_n - T_n =S_{2n+1}-S_{2n}= a_{2n+1} = (-1)^{2n+1}|a_{2n+1}| = -|a_{2n+1}| \leq 0 \end{equation*}

donc \(U_n \leq T_n\text{,}\) et puisque \((|a_n|)_n\) tend vers 0,

\begin{equation*} T_n - U_n = |a_{2n+1}|\xrightarrow[n\to +\infty]{}0 \end{equation*}
(d)

Conclure: quelle est la nature de la série \(\sum a_n\) ?

Spoiler.

En fin de compte, ce qu'on a montré, c'est que les suites \((U_n)_n\) et \((T_n)_n\) sont adjacentes: elles convergent donc vers une limite commune, qu'on note \(S\text{:}\)

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty}T_n = \lim_{n\to\infty}U_n=S \end{equation*}

Mais d'un autre côté, \((T_n = S_{2n})_n\) et \((U_n = S_{2n+1})_n\) sont des sous-suites de \((S_n)_n\text{,}\) donc \(S\) est une valeur d'adhérence de \((S_n)_n\text{.}\)

Et c'est la seule, car \(2\N,2\N+1\) forment une partition de \(\N\text{:}\)

\begin{equation*} \text{Adh}_{\Rb}(S_n) = \{S\} \end{equation*}

\(\leadsto\) La suite \((S_n)_n\) a une seule valeur d'adhérence dans \(\Rb\text{,}\) donc elle converge vers cette valeur d'adhérence: \(S_n \xrightarrow[n\to +\infty]{}S\text{.}\)

Et donc, la série \(\sum a_n\) converge.

(e)

Bonus: Majoration du reste. On note, pour chaque \(n\in\N\text{,}\) \(R_n\) le reste de la série:

\begin{equation*} R_n =S-S_n = \sum_{k=n}^{+\infty}a_k \end{equation*}

Montrer que \(|R_n|\leq |a_{n+1}|\text{.}\)

Spoiler.

Puisque \((U_n)_n\) et \((T_n)_n\) sont adjacentes de limite \(S\text{,}\) on a, pour tout \(p\in\N\text{,}\)

\begin{equation*} U_p=S_{2p+1}\leq S \leq T_p=S_{2p} \end{equation*}

donc \(S-S_{2p}\leq 0, S - S_{2p+1}\geq 0\text{,}\) et

\begin{align*} |S-S_{2p}| \amp = S_{2p}-S \leq S_{2p}-S_{2p+1} = -a_{2p+1} = |a_{2p+1}|,\\ |S-S_{2p+1}| \amp = S-S_{2p+1} \leq S_{2p+2}-S_{2p+1} = a_{2p+2} = |a_{2p+2}| \end{align*}

Donc, pour tout \(n\in\N\text{,}\) pair ou impair, on a

\begin{equation*} |S-S_{n}| \leq |a_{n+1}| \end{equation*}

Exercice 1.2. Exemples.

(a)

Considérons la série \(\sum a_n\) de terme général \(a_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}\text{.}\)

Montrer qu'elle est convergente.

Spoiler.

  • \(a_n = (-1)^n\cdot\left( \dfrac{1}{\sqrt n }\right) =(-1)^n|a_n|\) donc la série \(\sum a_n\) est alternée;

  • \(|a_n| = \dfrac{1}{\sqrt n}\) est décroissante;

  • \(\displaystyle |a_n|\xrightarrow[n\to \infty]{} 0.\)

Donc, par le critère des séries alternées, la série de terme général \(\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}\) est convergente.

(b)

Est-elle absolument convergente ?

Spoiler.

La série \(\sum |a_n|\text{,}\) de terme général \(|a_n|=\dfrac{1}{\sqrt n }\) est une série de Riemann \(\dfrac1{n^\alpha}\) avec \(\alpha = \frac12 \leq 1\text{,}\) donc elle est divergente.

Et donc la série \(\sum a_n\) n'est pas absolument convergente.

(c)

Est-elle semi-convergente ?

Spoiler.

Si on récapitule, la série \(\sum\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}\) est convergente, mais pas absolument convergente, donc elle est semi-convergente.

(d)

Parmi les suites de l'Exercice 1.1, lesquelles sont le terme général d'une série convergente d'après le critère des séries alternées ?

⚠ Pour appliquer le critère de Leibniz, il est indispensable que \((|a_n|)_n\) soit une suite décroissante. Et ce n'est pas automatique:

Exercice 1.3. Une série alternée à laquelle le critère des séries alternées ne s'applique pas.

On note, pour tout \(n\geq 2\text{,}\) \(b_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}\text{.}\)

(a)

Montrer que la suite \((b_n)_n\) est alternée ,et que \(|b_n|\xrightarrow{x\to\infty}0\text{.}\)

Spoiler.

Pour tout entier \(n\geq 2\text{,}\) on a

\begin{equation*} b_n = (-1)^n \cdot \dfrac{1}{\sqrt{n}+(-1)^n} \end{equation*}

et, pour tout \(n\geq 2\text{,}\) \(\sqrt{n}\gt 1 \) donc

\begin{equation*} \sqrt{n}+(-1)^n \geq \sqrt{n} -1 \gt 0 \end{equation*}

Donc

\begin{equation*} b_n=(-1)^n \underbrace{\dfrac{1}{\sqrt{n}+(-1)^n}}_{\geq 0} \end{equation*}

\(\leadsto\) la suite \((b_n)_n\) est alternée.

(b)

La suite \(|b_n|\) est-elle décroissante ?

Spoiler.

D'après le calcul fait à la question précédente, on a, pour tout \(n \geq 2\text{,}\)

\begin{equation*} |b_n| = \dfrac{1}{\sqrt{n}+(-1)^n} \end{equation*}

donc

\begin{equation*} |b_{2n-1}| = \dfrac{1}{\sqrt{2n-1}-1},\ |b_{2n}| = \dfrac{1}{\sqrt{2n}+1},\ |b_{2n+1}| = \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}-1} \end{equation*}

Or,

\begin{gather*} (\sqrt{2n} + 1)-(\sqrt{2n+1}-1) = 2 - (\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n}) = 2 - \frac{1}{\sqrt{2n+1} + \sqrt{2n}} \geq 0\\ (\sqrt{2n} + 1)-(\sqrt{2n-1}-1) = 2 + (\sqrt{2n} - \sqrt{2n-1}) = 2 + \frac{1}{\sqrt{2n} + \sqrt{2n-1}} \geq 0 \end{gather*}

donc

\begin{equation*} |b_{2n}|\leq |b_{2n+1}| \text{ et } |b_{2n}|\leq |b_{2n-1}| \end{equation*}

donc \((|b_n|)_n\) n'est pas décroissante.

Figure 1.3. Graphe de \(|b_n|\)
(c)

On va montrer que la série \(\sum b_n\) est divergente.

Pour cela, reprenons la suite \(\as\) donnée par: \(a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\) pour tout \(n\geq 1\text{.}\)

Montrer que \(a_n \geq b_n\) et trouver un équivalent de \(a_n-b_n \sim \dfrac1n\text{.}\)

Spoiler.

On calcule:

\begin{equation*} a_n - b_n = (-1)^n \frac{ (-1)^n }{\sqrt{n}(\sqrt{n}+(-1)^n)} = \frac{1}{n + (-1)^n\sqrt{n}} \geq 0 \end{equation*}

et on en déduit

\begin{equation*} \frac{a_n-b_n}{\frac1n} = n(a_n-b_n) = \frac{n}{n + (-1)^n\sqrt{n}} = \frac{1}{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}} \xrightarrow[n\to\infty]{}1 \end{equation*}

donc \(a_n-b_n\sim \dfrac 1n\text{.}\)

(d)

En déduire la nature de la série \(\sum(a_n -b_n)\text{,}\) puis la nature de la série \(\sum b_n\text{.}\)

Spoiler.

La série \(\sum(a_n-b_n)\) est une STP et \(a_n - b_n \sim \dfrac1n\text{.}\) Par le critère d'équivalence, puisque \(\sum \dfrac1n\) diverge, \(\sum (a_n - b_n)\) diverge aussi.

Mais on sait déjà que \(\sum a_n\) converge; et donc, si \(\sum b_n\) convergeait, on obtiendrait que \(\sum (a_n-b_n)\) converge, et ce n'est pas le cas.

Donc, \(\sum b_n\) diverge.

(e)

Est-ce que ça contredit le théorème des séries alternées ?

Sous-section 1.2 Le critère d'Abel-Dirichlet

Il existe des séries dont le terme général a un signe variable, mais qui le sont pas alternées: par exemple, la série de terme général

\begin{equation*} \displaystyle\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) \end{equation*}

ou

\begin{equation*} \displaystyle\frac1{\sqrt[3]{n}}\cos\left(\frac{2n\pi}{6}\right) \end{equation*}

\(\leadsto\) On dispose pour ce genre de cas d'un critère un peu plus général que celui de Leibniz: le critère d'Abel. Il repose sur la formule suivante:

Exercice 1.4. Preuve de la transformation d'Abel.

(a)

Soit \(n\in \N\text{.}\) Calculer

\begin{equation*} \sum_{k=0}^n (u_{k+1}v_{k+1} - u_kv_k) \end{equation*}

en remarquant qu'il s'agit d'une somme télescopique.

(b)

Re-calculer \(\sum_{k=0}^n (u_{k+1}v_{k+1} - u_kv_k)\text{,}\) cette fois en remarquant que

\begin{equation*} u_{k+1}v_{k+1} - u_kv_k=u_{k+1}v_{k+1} - u_{k+1}v_k + u_{k+1}v_k - u_kv_k \end{equation*}
Spoiler.

On trouve cette fois

\begin{equation*} \sum_{k=0}^n (u_{k+1}v_{k+1} - u_kv_k) = \sum_{k=0}^n (u_{k+1}v_{k+1} - u_{k+1}v_k + u_{k+1}v_k - u_kv_k) = \sum{k=0}^n u_{k+1}(v_{k+1} - v_k )+ \sum_{k=0}^n v_k(u_{k+1} - u_k) \end{equation*}
(c)

En déduire la formule d'Abel.

Spoiler.

On obtient donc

\begin{equation*} \sum{k=0}^n u_{k+1}(v_{k+1} - v_k )+ \sum_{k=0}^n v_k(u_{k+1} - u_k) = u_{n+1}v_{n+1} - u_0v_0 \end{equation*}

Ce qui donne, en réarrangeant,

\begin{equation*} \sum_{k=1}^n u_{k+1}(v_{k+1}-v_{k}) = (u_{n+1}v_{n+1} - u_0v_0) - \sum_{k=0}^n (u_{k+1} - u_k) v_k \end{equation*}

comme annoncé.

Remarque 1.5.

Cette transformation est une sorte d'intégration par parties pour les suites, si on considère que la suite \((u_{n+1} - u_n)_n\) est la dérivée de la suite \(\us\text{,}\) et que \(\sum_{k=0}^n u_k\) est sa primitive.

Ce qui peut avoir l'air de sortir de nulle part, mais du coup, si on "dérive" la "primitive"

\begin{equation*} U_n=\sum_{k=0}^n u_k \end{equation*}

on trouve

\begin{equation*} U_{n+1} - U_n = \sum_{k=0}^{n+1} u_k - \sum_{k=0}^n u_k = u_{n+1} \end{equation*}

et donc on retrouve (presque) la suite \(us\text{.}\)

Il y aurait beaucoup plus à dire sur cette version discrète de l'analyse, mais c'est une autre histoire, qui sera racontée une autre fois.

Exercice 1.5. Vers le critère d'Abel-Dirichlet.

Considérons une série \(\sum u_n\) à t.g. de signe variable, dont le terme général \(\us\) s'écrit \(u_n = a_n b_n\text{.}\) On note

\begin{equation*} A_n=\sum_{k=0}^n a_k,\quad B_n=\sum_{k=0}^n u_k \end{equation*}
(a)

Montrer qu'on peut réécrire les sommes partielles

\begin{equation*} S_n= a_0b_0 + \sum_{l=0}^{n-1} a_{l+1}(B_{l+1}-B_{l}) \end{equation*}
Indice.

Noter que, pour tout \(k\geq 1\text{,}\)

\begin{equation*} A_{k} - A_{k-1} = a_{k},\ B_{k} - B_{k-1} = b_{k} \end{equation*}
Spoiler.

Calculons

\begin{align*} S_n \amp = \sum_{k=0}^{n} u_k \\ = \sum_{k=0}^{n} a_k b_k \\ \amp=a_0b_0 + \sum_{k=1}^n a_k(B_{k}-B_{k-1})\\ \amp = a_0b_0 + \sum_{l=0}^{n-1} a_{l+1}(B_{l+1}-B_{l}) \end{align*}
(b)

En déduire que

\begin{equation*} S_n=a_nB_n + \sum_{l=0}^{n-1} (a_l-a_{l+1}) B_l \end{equation*}
Indice.

C'est là qu'Abel nous aide !

Spoiler.

En appliquant la transformation d'Abel à la somme obtenu ci-dessus, on trouve

\begin{align*} S_n \amp = a_0b_0 + \sum_{l=0}^{n-1} a_{l+1}(B_{l+1}-B_{l})\\ \amp=a_0b_0 + (a_nB_n - a_0B_0 - \sum_{l=0}^{n-1} (a_{l+1}-a_l) B_l)\\ \amp=a_nB_n - \sum_{l=0}^{n-1} (a_{l+1}-a_l) B_l \\ \amp= a_nB_n + \sum_{l=0}^{n-1} (a_l-a_{l+1}) B_l \end{align*}
(c)

Supposons que

  1. la suite \(\as\) tend vers 0

  2. la suite \((B_n)_n\) est bornée

En déduire que les séries \(\sum u_n\) et \(\sum (a_{n}-a_{n+1}) B_n \) sont de même nature.

Spoiler.

Avec ces deux hypothèses, on obtient qu'il existe un \(M\gt 0\) tel que \(|B_n|\leq M\) pour tout \(n\n\N\text{,}\) et donc

\begin{equation*} \forall n\in\N\, |a_nB_n|\leq M|a_n| \end{equation*}

donc, comme \(\as\) tend vers 0,

\begin{equation*} a_nB_n \xrightarrow[n\to\infty]{}0 \end{equation*}

et donc la limite des sommes partielles, si elle existe, est égale à celle de

\begin{equation*} \sum_{l=0}^{n-1} (a_l-a_{l+1}) B_l \end{equation*}

autrement dit,

\begin{equation*} \sum u_n \text{ converge } \iff \sum (a_{n}-a_{n+1}) B_n \text{ converge} \end{equation*}
(d)

Toujours avec les mêmes hypothèses \((1)\) et \((2)\text{,}\) on suppose en plus

\begin{equation*} (3) \text{ la suite } \as \text{ est décroissante} \end{equation*}

Montrer qu'alors,

\begin{equation*} \sum_{l=0}^{n-1} |(a_l-a_{l+1}) B_l| \leq M(a_0-a_n) \end{equation*}
Spoiler.

Comme \((B_n)_n\) est bornée, il existe \(M\gt 0\) tel que, pour tout \(n\in\N\text{,}\) \(|B_n|\leq M\text{,}\) donc

\begin{equation*} |(a_{n}-a_{n+1}) B_n| \leq M|a_{n}-a_{n+1}| \end{equation*}

Maintenant, puisque \(\as\) est décroissante, on a \(a_n- a_{n+1} \geq 0\text{,}\) donc

\begin{equation*} |a_{n}-a_{n+1}|=a_n-a_{n+1} \end{equation*}

Mais alors, pour tout \(n\in\N\text{,}\)

\begin{equation*} \sum_{l=0}^{n-1} |(a_l-a_{l+1}) B_l| \leq M \sum_{l=0}^{n-1} (a_l-a_{l+1}) = M(a_0-a_n) \end{equation*}

(en remarquant une somme télescopique)

(e)

En déduire la nature de la série \(\sum u_n\text{.}\)

Spoiler.

On a obtenu que

\begin{equation*} \sum_{l=0}^{n-1} |(a_l-a_{l+1}) B_l| = M(a_0-a_n) \xrightarrow[n\to \infty]{}Ma_0 \end{equation*}

Donc la suite \((\sum_{l=0}^{n-1} |(a_l-a_{l+1}) B_l|)_n\) converge.

Autrement dit, la série \(\sum |(a_n-a_{n+1}) B_n|\) est convergente, donc la série \(\sum (a_{n}-a_{n+1}) B_n \) absolument convergente, et donc convergente.

Et comme on a vu plus haut, ceci implique que \(\sum u_n\) est aussi convergente.

Si on récapitule, on a donc obtenu:

Exercice 1.6.

Considérons la série \(\sum_{n\geq 1} u_n\) de terme général

\begin{equation*} u_n = \frac1{\sqrt{n}}\cos\left(\frac{2n\pi}{6}\right) \end{equation*}
(a)

On note , pour tout entier \(n\text{,}\) \(b_n=\cos\left(\frac{2n\pi}{6}\right)\text{.}\)

Calculer la suite des sommes partielles associées à la suite \((b_n)_n\text{.}\)

Spoiler.

Pour tout \(k\in\N\text{,}\) on a

\begin{equation*} b_k=\begin{cases} 1 \text{ si } k=6p \\ 0.5 \text{ si } k=6p+1 \text{ ou } k=6p+ 5 \\ -0.5 \text{ si } k=6p+2 \text{ ou } k=6p+4 \\ -1 \text{ si } k=6p+3 \end{cases} \end{equation*}

donc, si on note \(B_n=\sum_{k=1}^nb_k\text{,}\) on trouve

\begin{gather*} B_1= b_1= \frac12,\ B_2= b_1+b_2 = \frac12 - \frac12 = 0,\ B_3=B_2+b_3= -1\\ B_4= B_3+b_4 = -1-\frac12 = -\frac32,\ B_5=B_4+b_5 = -\frac32 +\frac12=-1,\ B_6= B_5+b_6 = -1 + 1 =0 \\ B_7= B_6+b_7 = 0+\frac12 = \frac12,\ B_8=B_7+b_8 = \frac12 - \frac12 =0,\ B_9= B_8+b_9 =0 -1= - 1 \end{gather*}

et ainsi de suite:

\begin{equation*} B_n = \sum_{k=1}^n b_k = \begin{cases} 0.5 \text{ si } n=6p+1\\ 0 \text{ si } n = 6p+2 \text{ ou } 6p \\ -1 \text{ si } n = 6p+3 \text{ ou } 6p+5 \\ -1.5 \text{ si } n = 6p+4 \end{cases} \end{equation*}
(b)

Montrer que la série \(\sum u_n\) satisfait les conditions du critère d'Abel-Dirichlet.

Spoiler.

En gardant la notation \(b_n=\cos\left(\frac{2n\pi}{6}\right)\text{,}\) on a, pour tout \(n\in\N^*\text{,}\) \(u_n=a_nb_n\) avec

  • \(a_n= \dfrac1{\sqrt{n}}\) : c'est une suite positive, décroissante et, qui tend vers 0;

  • \(b_n= \displaystyle\cos\left(\frac{2n\pi}{6}\right)\text{,}\) dont les sommes partielles, calculées ci-dessus, vérifient

    \begin{equation*} \forall n \geq 1,\ |B_n| \leq \frac32 \end{equation*}

    donc la suite \((B_n)_n\) est bornée.

\(\leadsto\) Les conditions du critère d'Abel sont vérifiées.

(c)

Conclure: quelle est la nature de la série \(\sum u_n\) ?

Spoiler.

On a fait tout le travail nécessaire pour appliquer le critère d'Abel : on peut en conclure que la série de terme général \(\frac1{\sqrt{n}}\cos\left(\frac{2n\pi}{6}\right)\) converge.

(d)

Est-ce que la série \(\sum u_n\) est absolument convergente ?

Spoiler.

On veut donc maintenant étudier la nature de la série de terme général

\begin{equation*} |u_n| = \frac1{\sqrt{n}}\left|\cos\left(\frac{2n\pi}{6}\right)\right| \end{equation*}

Or, on a

\begin{equation*} \left|\cos\left(\frac{2n\pi}{6}\right)\right| =\begin{cases} 1 \text{ si } n=6p \text{ ou } n=6p+3 \\ 0.5 \text{ si } n=6p+1,6p+2,6p+4 \text{ ou } n=6p+ 5 \end{cases} \end{equation*}

Donc, si on définit une suite \((c_n)_n\) par

\begin{equation*} c_n=\begin{cases} 1\text{ si } n=3p\\ 0 \text{ sinon}\end{cases} \end{equation*}

alors on a, pour tout \(n\in\N^*\)

\begin{equation*} \left|\cos\left(\frac{2n\pi}{6}\right)\right| \geq c_n \end{equation*}

et donc

\begin{equation*} |u_n| \geq \frac1{\sqrt{n}} c_n = \begin{cases} \frac1{\sqrt{n}}\text{ si } n=3p\\ 0 \text{ sinon}\end{cases} \end{equation*}

Or, la série de terme général \(\dfrac{c_n}{\sqrt{n}}\) diverge: ses sommes partielles donnent

\begin{align*} \sum_{k=1}^{3n} \dfrac{c_k}{\sqrt{k}}\amp = 0 + 0 +\dfrac1{\sqrt{3}}+ 0+0+\dfrac1{\sqrt{6}}+ 0+0+...+\frac1{\sqrt{3n}}\\ \amp = \dfrac1{\sqrt3} \left(1 + \frac{1}{\sqrt 2}+\frac1{\sqrt 3}+...+\frac1{\sqrt n}\right) \end{align*}

et \(\sum_{k=1}^{3n+1} \dfrac{c_k}{\sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{3n+2} \dfrac{c_k}{\sqrt{k}}=\sum_{k=1}^{3n} \dfrac{c_k}{\sqrt{k}}\) (puisque \(c_{3n+1}=c_{3n+2}=0\)) Donc, en fin de compte,

\begin{equation*} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{c_k}{\sqrt{k}}=\sum_{k=0}^{E(\frac{n}{3})} \frac{1}{\sqrt{3k}}\xrightarrow[n\to \infty]{} +\infty \end{equation*}

La série de t.g. \(\frac1{\sqrt{n}} c_n\) diverge, et donc par le critère de comparaison, la série de terme général \(|u_n|\) diverge aussi.

\(\leadsto\) La série \(\sum u_n\) est convergente, mais pas absolument convergente: elle est semi-convergente.

Attention, \(S_{2n}\) n'est pas la somme des termes pairs de la suite \(\as\text{,}\) et \(S_{2n+1}\) n'est pas la somme des termes impairs:

\begin{equation*} S_{2n} \neq a_0+a_2+...+a_{2n},\quad S_{2n+1} \neq a_1+a_3+...+a_{2n+1} \end{equation*}

Pour obtenir \(S_{2n}\text{,}\) on somme tous les termes successifs de la suite jusqu'au \(2n\)-ième, et pour obtenir \(S_{2n+1}\) on somme tous les termes successifs de la suite jusqu'au \((2n+1)\)-ième