Compléments sur les suites et séries

Remarquons que, puisque \(a\in H\text{,}\) alors \(a=a_1+2\pi a_2\) pour deux entiers relatifs \(a_1,a_2\text{.}\)

Mais alors, pour tout \(k\in\mathbb Z\text{,}\) \(ak=a_1k+2\pi a_2 k \in H\text{.}\)

Soit \(h\in H\text{.}\) On va chercher \(k\in\mathbb Z\) tel que

autrement dit,

ce qui donne, puisqu'on a supposé \(a\gt 0\text{,}\)

\(\leadsto\) On prend \(k=E\left(\frac h a \right)\in \mathbb Z\) la partie entière² de \(\frac h a\text{.}\) Alors on a bien \(k\in\mathbb{Z}\) et

Or, comme on l'a vu juste au-dessus, \(ka\in H\text{.}\) De plus, \(H\) est stable par soustraction: si \(x,y\in H\) alors \(x-y\in H\text{.}\) Donc \(h-ka\n H\text{.}\)

Mais, puisque \(a=\inf H^+\text{,}\) c'est un minorant de \(H^+\text{:}\) on ne peut donc pas avoir \(h - ka \in H^+= H \cap \R^*_+\text{.}\)

Mais du coup , puisque \(h-ka\in H\text{,}\) on doit avoir \(h-ka \notin \R_+^*\text{.}\) Comme \(ka\leq h\text{,}\) on en déduit que \(h-ka=0\text{,}\) donc \(h=ka\text{.}\)

On a donc montré que pour tout \(h\in H\text{,}\) il existe un entier \(k\in \mathbb Z\) tel que \(h=ka\text{,}\) autrement dit on a montré que \(H \subset a\mathbb Z\text{.}\) Avec la question précédente, on a donc obtenu \(H = a\mathbb Z\text{.}\)

Remarquons que \(1 = 1 + 0\cdot 2\pi \in H\) et que \(2\pi = 0 + 1\cdot 2\pi \in H\text{.}\)

Puisqu'on a obtenu que \(H=\{ak, k\in\mathbb Z\}\text{,}\) il existe donc deux entiers \(n_1,n_2\in \mathbb N^*\) tels que \(1 = an_1\) et \(2\pi = an_2\text{.}\) Mais alors

donc \(2\pi \in \mathbb Q\text{,}\) ce qui est faux. On a donc une contradiction: notre hypothèse, \(a\gt 0\) et \(a \in H \text{,}\) est donc fausse.

On construit par récurrence une suite décroissante \((h_n)_n\) telle que, pour tout \(n\in \mathbb N\text{,}\)

\(\boxed{n=1}\) Puisque \(a= \inf H^+\text{,}\) \(a+1\) n'est pas un minorant de \(H^+\) donc il existe \(h_1\in H^+\) tel que \(a\lt h_1 \leq a+1\)⁴.

\(\boxed{n \leadsto n+1}\) Supposons qu'on a construit les \(n\) premiers termes de la suite: on a donc \(h_1 \geq h_2 \geq ... \geq h_n\) tels que

et construisons le \(n+1\)-ième.

Puisque \(h_n\gt a\) et \(a+\frac1{n+1} \gt a\text{,}\) \(\min\{h_n, a+\frac1{n+1}\}\) n'est pas un minorant de \(H^+\) Par conséquent, il existe \(h_{n+1}\in H^+\) tel que

Alors \(h_{n+1}\lt \min\{h_n, a+\frac1{n+1}\} \leq h_n\) et vérifie

comme souhaité.

On a ainsi construit par récurrence une suite \((h_n)_n\) qui est décroissante, à valeurs dans \(H^+\text{,}\) et qui converge vers \(a\text{.}\)

On a vu que \(H\) est stable par soustraction: si \(x,y\) sont deux éléments de \(H\text{,}\) alors \(x-y\in H\text{.}\)Donc, puisque \((h_n)_n\) est uen suite de points de \(H\text{,}\) pour tout \(n \in \mathbb N^*\text{,}\) on a \(h_n-h_{n+1} \in H\text{.}\)

De plus, \((h_n)_n\) est (strictement) décroissante, donc on a aussi \(h_n-h_{n+1}\gt 0\text{,}\) donc c'est une suite de \(H^+\text{.}\)

Enfin, \((h_n)_n\) est convergente et tend vers \(a\text{,}\) donc \(h_n-h_{n+1} \rightarrow a-a 0\text{.}\)

\(\leadsto\) La suite \(u_n=h_n-h_{n+1}\) est une suite de \(H^+\) qui converge vers 0.

On a obtenu une suite \((u_n)_n\) de \(H^+\text{,}\) donc positive, et qui tend vers \(0\text{.}\)

Mais alors, puisque \(a\gt 0\text{,}\) il existe \(n_0 \in \mathbb N\) tel que, pour tout \(n\geq n_0\text{,}\)

ce qui contredit le fait que \(a\) est un minorant de \(H^+\text{.}\)

\(\leadsto\) L'hypothèse qu'on a faite : "\(a\gt 0\) et \(a \notin H \)", est donc fausse.

On a en fait déjà fait quelque chose de similaire plus haut, quand on a construit la suite \((h_n)_n\text{.}\)

Soit \(\varepsilon \gt 0\text{.}\) Puisque \(\inf H^+ = 0\text{,}\) \(\varepsilon\) n'est pas un minorant de \(H^+\) donc il existe \(x_1 \in H^+\) tel que \(0 \lt x_1 \lt \varepsilon\text{.}\)

Mais alors, puisque \(x_1\in H^+\text{,}\) \(x_1\gt 0\text{,}\) donc \(x_1\) n'est pas un minorant de \(H^+\text{.}\)

Donc il existe \(x_2\in H^+\) tel que \(0\lt x_2 \lt x_1\lt \varepsilon\text{.}\)

Et devinez quoi, du coup, \(x_2\) non plus n'estp as un minorant...

On construit ainsi pas à pas une suite strictement décroissante \((x_n)_n\) d'éléments de \(H^+\text{.}\)

Puisque ce sont des éléments de \(H^+\text{,}\) ils sont de la forme

et, pour tout \(n\in\N\text{,}\)\(x_n\in \,]\,0,\varepsilon\,[\,\text{.}\) La suite \((x_n)_n\) est strictement décroissante, donc tous les \((x_n)_n\) sont différents.

Il y a donc bien une infinité de couples \(\{(p_n,m_n),n\in \mathbb N\}\) tels que

On considère l'ensemble

\(\leadsto\) On sait maintenant que c'est un ensemble infini.

S'il contient un élément tel que \(p\geq 0\text{,}\) on a gagné.

Supposons par l'absurde qu'ils vérifient tous \(p \lt 0\text{,}\) et... construisons-en un qui vérifie \(p\geq 0\) quand même. Soit \(x= p+2\pi m\) tel que \(0\lt x\lt \varepsilon\) et \(p \lt 0\text{.}\) Alors l'ensemble \(\{y=r+2\pi s\in H, 0\lt y \lt x\}\) est infini, et tous les éléments \(y=r+2\pi s\) vérifient \(r \lt 0\text{.}\)

Un point important: il y a un nombre infini de couples \((r,s)\) tels que \(0\lt y=r+2\pi s \lt x\text{,}\) ce qui implique qu'il y a un nombre infini d'entiers \(r \in \mathbb Z\) tels que \(0\lt y=r+2\pi s \lt x\text{,}\) puisque, pour un entier \(r\) donné, il n'y a qu'un nombre fini de \(s\in \mathbb Z\) possibles pour que \(0\lt y=r+2\pi s \lt x\)⁵.

Parmi l'infinité de tels \(r\text{,}\) que l'on a supposés tous négatifs, il y en a donc forcément un tel que \(r \lt p\text{.}\) Soit \(y=r+2\pi s \in H \cap ]0,x[\text{,}\) alors \(x-y = (p-r)+2\pi(s-m) \in G\) et \(0\lt x-y\lt x \lt \varepsilon,\text{,}\) donc on a bien

Soit \(\tilde g \in G \cap \,]\,0, \varepsilon\,[\,\text{.}\) Remarquons que, pour tout \(n\in \mathbb N\text{,}\) \(n\tilde g \in G\text{.}\) Posons \(N=E\left(\frac x{\tilde g}\right)+1\text{.}\) Alors

donc on a bien \(g=N\tilde g \in G\cap \,]x-\varepsilon, x+\varepsilon[\,\text{.}\)

On a obtenu à l'exercice précédent qu'il existe \(g_0\in G\cap \,]\,\theta-\varepsilon, \theta+\varepsilon\,[\,\text{.}\) Mais alors, il existe aussi

et ainsi de suite.

On construit ainsi par récurrence une suite \((g_k)_k\) d'éléments de \(G\text{,}\) deux à deux différents, et qui sont tous dans \(\,]\,\theta-\varepsilon, \theta+\varepsilon\,[\,\text{.}\)

On a obtenu à la question précédente une suite d'éléments \((g_k=n_k+2\pi m_k)_{k\in\mathbb N}\) de \(G\cap \,]\,\theta-\varepsilon, \theta+\varepsilon\,[\,\text{,}\) avec \(n_k\in\mathbb N, m_k\in \mathbb Z\text{.}\)

Remarquons maintenant que l'ensemble

est infini, car pour chaque \(n_k\in E\text{,}\) il y a un nombre fini d'entiers relatifs \(m_k\) tels que \(g_k=n_k+2\pi m_k\in \,]\,\theta-\varepsilon, \theta+\varepsilon\,[\,\text{.}\)

Or, les termes correspondants de la suite \((\sin(n))_n\) vérifient alors:

donc, par le théorème des accroissements finis,

Donc, l'intervalle \(\,]\,y-\varepsilon, y+\varepsilon\,[\,\) contient une infinité de termes de la suite: les \(\sin(n_k)\) pour \(k\in\mathbb N\text{,}\) c'est à dire les \(\sin(n)\) pour \(n\in E\text{.}\)

On construit, par récurrence sur \(n\text{,}\) une sous-suite \((\sin(\varphi(n))_n\) qui vérifie, pour tout \(n\in \mathbb N^*\text{,}\)

\(\boxed{n=1}\) En appliquant le résultat de la question précédente avec \(\varepsilon=1\text{,}\) on obtient que l'ensemble

est infini, en particulier il est non vide. Il admet donc un minimum⁷. Prenons \(\varphi(1)=\min E_1\text{,}\) alors \(\sin(\varphi(1)\) vérifie bien (2.2).

\(\boxed{n\leadsto n+1}\) Supposons les \(n\) premiers termes de la suite construits, et construisons le \(n+1\)-ième. On applique le résultat de la question précédente avec \(\varepsilon = \frac 1{n+1}\text{,}\) et on obtient que l'ensemble

est infini. Donc l'ensemble \(\{k\in E_{n+1}, k\gt \varphi(n)\}\) est non vide. Posons

alors \(\sin(\varphi(n+1)\) vérifie bien (2.2).

On a ainsi construit une application \(\varphi: \mathbb N \rightarrow \mathbb N\) strictement croissante, telle que, pour tout \(n\in \mathbb N^*\text{,}\)

On a donc bien \(\sin(\varphi(n))\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{}y\text{:}\) c'est une sous-suite de \((\sin(n))_n\) qui tend vers \(y\text{.}\)