Section 2 Preuve du théorème d'inversion locale - Régularité de \(f^{-1}\)
On est venus montrer le théorème d'inversion locale:
Théorème 2.1.
TIL
Soit \(f:U\subset E \rightarrow F\) une application \(\C^1\) sur l'ouvert \(U\text{,}\) et soit \(x_0\in U\text{.}\)
On suppose que \(Df(x_0)\in\L(E,F)\) est un isomorphisme linéaire 1 .
Alors il existe un voisinage \(V\subset U\) de \(x_0\) dans \(E\) et un voisinage \(W\) de \(y_0=f(x_0)\) dans \(F\) tels que \(f_{|V}:V\rightarrow W\) est un \(\C^1\)-difféomorphisme.
Le plan de bataille suit 3 étapes:
-
Etape 1: On se ramène à une question de point fixe, via la fonction
\begin{equation*} \varphi_y:x\in U\mapsto x-Df(x_0)^{-1}(f(x)-y) \end{equation*}qui vérifie \(f(x) = y \iff \varphi_y(x)=(x)\text{.}\)
On remarque de plus que \(\varphi_y\) est \(\C^1\) sur \(U\text{,}\) de différentielle
\begin{equation*} D\varphi_y(x)= Id_E - Df(x_0)^{-1}\circ Df(x) \end{equation*} -
Etape 2: On montre qu'on peut appliquer le théorème du point fixe de Picard-Banach à \(\varphi_y\) lorsque \(x\) est proche de \(x_0\) et \(y\) proche de \(y_0\text{.}\) Pour cela, on montre plus précisément qu'il existe \(r\gt0\) tel que, pour tout \(x\in \overline{B}(x_0,r)\text{,}\)
\begin{equation*} \|D\varphi_y(x)\|_{\L(E)} \leq \frac12 \end{equation*}d'où on déduit que \(\varphi_y\) est contractante sur \(\overline{B}(x_0,r)\text{;}\)
et d'autre part on montre qu'il existe \(\delta \gt 0\) tel que, si \(y\in \overline{B(y_0,\delta)}\text{,}\) alors
\begin{equation*} \varphi_y(\overline{B}(x_0,r))\subset \overline{B}(x_0,r). \end{equation*}Le théorème du point fixe nous permet de conclure que, pour chaque \(y\in \overline{B(y_0,\delta)}\text{,}\) \(\varphi_y\) a un unique point fixe dans \(\overline{B}(x_0,r)\text{,}\) autrement dit que
\begin{equation*} f:f^{-1}(B(y_0,\delta)) \rightarrow B(y_0,\delta) \end{equation*}est bijective 2
-
Etape 3: Reste à montrer que la réciproque \(f^{-1}\) est de \(\C^1\) sur \(W=B(y_0,r)\)
Continuité de \(f^{-1}\text{;}\)
Différentiabilité de \(f^{-1}\text{;}\)
Continuité de \(y\mapsto Df^{-1}(y)\text{.}\)
C'est ce deuxième point qu'on va traiter ici.
Previously:
Episode 1: Etapes 1 et 2
Episode 2: Etapes 3(a) et 3(c)
Exercice Différentiabilité de \(f^{-1}\)
On va montrer, plus précisément, que, quel que soit \(y\in B(y_0,\delta)\text{,}\) \(f^{-1}(y)\) est différentiable en \(y\text{,}\) et que sa différentielle est \(Df(f^{-1}(y))^{-1}\text{,}\) autrement dit l'inverse de l'application linéaire \(Df(x)\text{,}\) où \(x=f^{-1}(y)\in V.\)
Il faut donc montrer:
Premièrement, que \(Df(x)\) est bien inversible, quel que soit \(x\in B(x_0,r)\text{;}\)
-
Deuxièmement, que si \(k\in F\) est un vecteur tel que \(y+k\in B(y_0,\delta)\text{,}\) alors
\begin{equation*} f^{-1}(y+k) = f^{-1}(y)+Df(x)^{-1}(k)+\|k\|_F R(k) \end{equation*}avec \(R(k)\xrightarrow[k\rightarrow 0_F]{} 0_E\text{.}\)
Donc, il s'agit de montrer que
\begin{equation*} \|R(k)\|_E =\frac1{\|k\|_F}\left\|f^{-1}(y+k) - f^{-1}(y)-Df(x)^{-1}(k)\right\|_E \xrightarrow[k\rightarrow 0_F]{} 0 \end{equation*}
1.
Soit \(x\in B(x_0,r)\text{.}\) Montrer que
et en déduire que \(Df(x)\) est bel et bien inversible.
Rappelons à tout hasard que, si une application linéaire \(L\) vérifie \(\|L\|_{\L(E)} \lt 1\text{,}\) alors
est un isomorphisme linéaire
(Si besoin, voir http://carolinevernier.website/complement-appli-lin/appli-lin-inverse.html#inv_cont)
2.
OK, c'est maintenant que les choses sérieuses commencent.
Il s'agit maintenant de montrer que
et on ne connaît pas \(f\text{.}\) Ni \(Df(x)\text{.}\) Ni \(x=f^{-1}(y)\text{,}\) ni \(y\text{,}\) d'ailleurs. Bon.
Par contre, on sait que \(f\) est différentiable.
Trouver \(h\in E\) tel que \(x+h=f^{-1}(y+k)\) et s'assurer que \(x+h\in B(x_0,r)\text{.}\)
3.
Montrer qu'alors on a aussi
où \(\varepsilon(u)\xrightarrow[u\rightarrow 0_E]{}0_F\text{.}\)
4.
Justifier que
et en déduire qu'il existe \(\eta\gt 0\) tel que
5.
En déduire que
6.
De là, majorer:
et conclure triomphalement.
