Compléments des compléments de Calcul Différentiel

(a)

\(\boxed{\Rightarrow}\) Supposons que \(f\) est \(\mathcal C^1\) sur \(U\text{.}\)

Soit \(i\in\{1,...n\}\text{,}\) justifier que la \(i\)-ième dérivée partielle

est définie sur \(U\text{,}\) puis qu'elle est continue.

Indice 1.

On a donc supposé que

\begin{equation*} Df: a \in U \mapsto Df(a)\in \mathcal L(\R^n,F) \end{equation*}

\(\leadsto\) Comment passer de \(Df(a)\) à la dérivée partielle \(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)\) ?

Indice 2.

En remarquant que, si on note \(\mathcal B_0=\{e_1,...,e_n\}\) la base canonique de \(\R^n\text{,}\) on a, pour chaque \(a\in U\text{,}\)

\begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a) = Df(a)(e_i) \end{equation*}

De là, écrire la fonction \(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\) comme une composée de \(Df\) avec une application linéaire continue.

Spoiler.

(b)

\(\boxed{\Leftarrow}\) Supposons, réciproquement, que \(f\) admet des dérivées partielles continues sur \(U\text{:}\)

On doit en déduire que \(f\) est \(\mathcal C^1\) sur \(U.\)

Commençons par montrer que \(f\) est différentiable sur \(U\text{.}\)

Dans un premier temps, on se contente du cas particulier \(\boxed{n=2}\text{:}\) on a donc \(f:U\subset \R^2 \rightarrow \R\) telle que

Si \(f\) est différentiable en \(a\text{,}\) quelle serait l'expression de \(Df(a)\) ?

Spoiler.

(c)

Montrer que, si \(a=(a_1,a_2)\in U\text{,}\) \(h=(h_1,h_2)\in\R^2\text{,}\)

tend vers 0 quand \(h\rightarrow (0,0)\text{.}\)

En déduire que \(f\) est différentiable en \(a\text{.}\)

Indice.

Noter que, par définition de la dérivée partielle \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\text{,}\)

\begin{equation*} f(a_1+h_1,a_2) = f(a_1,a_2) + \dfrac{\partial f}{\partial x}(a_1,a_2)h_1 + o(h_1) \end{equation*}

et par définition de \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\)

\begin{equation*} f(a_1+h_1,a_2+h_2) = f(a_1+h_1,a_2) + \dfrac{\partial f}{\partial y}(a_1+h_1,a_2)h_2 + o(h_2) \end{equation*}

Spoiler.

(d)

Se convaincre avec un brouillon que ça marche aussi dans le cas général (\(n\in \N^*\) quelconque).

(e)

Plus qu'à montrer que

est continue sur \(U\text{.}\) Pour cela, prendre \(a_0\in U\) et montrer que, pour \(a\in U\text{,}\)

Indice.

Rappelons à tout hasard que, pour majorer la norme \(\|L\|_{\mathcal L(E,F)}\) d'une application linéaire \(L\text{,}\) on peut chercher une constante \(c \gt 0\) telle que

\begin{equation*} \text{Pour tout } x\in E,\ \|L(x)\|_F\leq c\|x\|_E \end{equation*}

²

Spoiler.

(f)

En conclure que \(Df\) est bien continue de \(U\) dans \(\mathcal L(\R^n,F)\text{.}\)

Indice.

Revenir à la définition de la continuité: pour tout \(\varepsilon \gt 0\text{,}\) etc... et utiliser la continuité de \(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\) pour majorer

\begin{equation*} \left\| \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a) - \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a_0)\right\|_F \end{equation*}

Spoiler.

(a)

Justifier que \(f\) est \(\mathcal C^1\) sur \(\R^2\setminus \{(0,0)\}\text{.}\)

Calculer les dérivées partielles de \(f\) en un point \((x,y)\neq(0,0)\text{.}\)

(b)

Montrer que \(f\) admet des dérivées partielles en \((0,0)\) et les calculer.

(c)

Montrer que \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) ne sont pas continues en \((0,0)\text{.}\)

(d)

Montrer que \(f\) est différentiable en \((0,0)\text{.}\)