L'infini, en fait, ça fait -\frac1{12} Je l'ai lu sur Reddit !

Section 1 L'infini, en fait, ça fait \(-\frac1{12}\text{.}\) Je l'ai lu sur Reddit !

Sous-section 1.1 Une petite question

Question: Que vaut la somme infinie \(1+2+3+4+...\) ?

Réponse immédiate: Ben, l'infini. Plus infini.

Question: Que vaut la somme infinie \(1+2+3+4+...\) ?

Réponse raisonnable¹: L'outil mathématique qui sert à traiter les sommes infinies, c'est ce qu'on appelle les séries.

On a une infinité de réels qu'on veut sommer: si on les numérote², ça nous donne une suite \(u_0,u_1,u_2...\text{,}\) disons \((u_n)_n\) pour faire court. Et, fort intuitivement, pour savoir ce que "vaut" la somme infinie, on s'intéresse aux sommes finies

\begin{align*} S_0\amp=u_0\\ S_1\amp=u_0+u_1\\ S_2\amp=u_0+u_1+u_2\\ \ldots \amp \ldots\\ S_{227}\amp=u_0+u_1+u_2+\ldots+u_{227} \end{align*}

\(\leadsto\) il y en a une infinité, ce qui nous fait une nouvelle suite \((S_n)_n\text{.}\) Pour ne pas les confondre, on appelle la suite \((u_n)_n\) terme général de la série, et la suite \((S_n)_n\) suite des sommes partielles.

Il semble raisonnable de penser que si la somme infinie est égale à quelque chose, la suite \(S_n\) devrait s'en rapprocher quand on prend des \(n\) de plus en plus grands.

Supposons par exemple qu'on ait un kilomètre à parcourir, et qu'on procède en parcourant la moitié du chemin, donc \(\frac12\) km, puis la moitié de ce qui reste, donc \(\frac14\) km, et ainsi de suite. On fait donc \(\frac12+\frac14+...\)

\(\leadsto\) Plus on aura fait d'étapes, et plus on sera proche d'avoir parcouru 1 km.

\(\leadsto\) On appelle ça la limite quand \(n\rightarrow \infty\) de la suite \((S_n)_n\text{.}\) On dit donc traditionnellement que la série de terme général \((u_n)_n\) converge ssi la suite \((S_n)_n\) a une limite \(S\) dans \(\R\), et on note alors

\begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty u_n =S \end{equation*}

Reprenons notre exemple précédent: si on note \(u_n\) le chemin qu'on parcourt à l'étape \(n\text{,}\) on a donc \(u_n=\frac1{2^n}\text{,}\) et \(S_n=\frac12+\frac14+...+\frac1{2^n}\text{.}\) Si on calcule, ça fait \(S_n=1-\frac1{2^{n+1}}\text{,}\) et donc la limite est bien \(1\text{.}\) Au bout d'une infinité d'étapes, on aura parcouru notre kilomètre³.

Et si \((S_n)_n\) ne converge pas, on dit que la série diverge. Et dans ce cas, la somme infinuie \(u_0+u_1+....\) vaut \(+\infty\text{,}\) si \(S_n\rightarrow \infty\text{,}\) ou n'est pas définie du tout.

Par exemple, la somme infinie 1+1+1+.... correspond au terme général \(u_n=1\) et aux sommes partielles \(S_n=\underbrace{1+1+...+1}_{n\ \text{fois}}=n\text{.}\) Comme \(S_n \rightarrow \infty\text{,}\) cette série diverge et sa somme vaut \(\infty\text{.}\)

En revanche, la somme infinie 1-1+1+... correspond au terme général \(u_n=(-1)^n\) et aux sommes partielles

\begin{equation*} S_n=\underbrace{1-1+...+1}_{n\ \text{fois}}=\begin{cases}0\text{ si } n \text{ pair,}\\1\text{ si } n \text{ impair} \end{cases} \end{equation*}

\(S_n\) oscille indéfiniment entre 0 et 1 et ne se rapproche jamais de rien: c'est aussi une série divergente.

Il semble tout aussi intuitif et raisonnable de dire qu'une somme infinie de termes positifs ne saurait converger que si on somme des termes de plus en plus petits.

Et notre outil, les séries, confirme ceci: si la série de terme général \((u_n)_n\) converge, alors \(S_n\rightarrow S\text{,}\) et du coup \(S_{n-1}\rightarrow S\text{,}\) donc

\begin{equation*} u_n=S_n - S_{n-1} \rightarrow S-S =0 \end{equation*}

Donc la question précise ici est: vers quoi converge la série de terme général \((u_n = n )_n\) ?

Mais ici, \(u_n=n\) ne tend certainement pas vers 0 ! Donc la série diverge. Grossièrement, même.

Question: Que vaut la somme infinie \(1+2+3+4+...\) ?

Réponse patiente: Ok, calculons la suite \((S_n)_n\) des sommes partielles pour vérifier que ça tend bien vers \(+\infty\text{.}\)

Montrer par récurrence sur \(n\in \N\) que

Spoiler.

La légende raconte que c'est Carl Friedrich Gauss qui a obtenu cette formule, quand il avait 10 ans. Son instituteur, fatigué de le voir terminer les exercices en un temps record et en réclamer d'autres, pensa qu'il pourrait l'occuper un bon moment en lui demandant de calculer la somme des entiers de 1 à 100. Carl Friedrich leva la main 5 minutes plus tard avec la bonne réponse: 5050.

Et il n'a pas trouvé ça par pur calcul mental ! Il a remarqué que la somme qu'on lui demandait pouvait s'écrire "dans les deux sens":

Morale: Carl Friedrich Gauss n'était pas mauvais en mathématiques.

Morale 2: Des fois qu'on ait encore un doute:

\begin{equation*} \sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}2 \end{equation*}

On peut aussi le faire géométriquement, comme présenté ici par mon cobureau des temps jadis, Olivier Pierre:

Quelle que soit la façon dont on s'y prend, on obtient donc

\begin{equation*} S_n=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}2 \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{}+\infty \end{equation*}

Donc la somme de tous entiers donne \(+\infty\text{.}\) Ce qui ne semble pas délirant. Ca fait quand même beaucoup d'entiers.

Question: Que vaut la somme infinie \(1+2+3+4+...\) ?

Réponse de l'internet: \(-\displaystyle\frac{1}{12}\) !

Sous-section 1.2 Si, si, regarde !

La somme \(A\) a un nom: c'est la série de Grandi, nommée d'après Luigi Guido Grandi, un prêtre-mathématicien-philosophe-ingénieur italien du XVème-XVIème siècle.

L'étude de la série qui porte son nom fut l'objet d'un débat enflammé entre les mathématiciens de l'époque, avant que les concepts de somme de Cesaro ⁵ ou de sommation d'Abel ⁶ soient introduits rigoureusement au XIXème siècle.

Grandi avait remarqué que, d'une part,

et d'autre part, que

Des contemporains en déduisirent qu cela montrait que Dieu avait pu créer le monde à partir de rien. Puisque 1=0. Oui. Cette question le lança dans un débat avec le mathématicien Marchetti, qui dura jusqu'à la mort de ce dernier.

Peu satisfait, Grandi reprit la question et en vint à défendre que \(A=\frac12\text{,}\) en se basant sur des arguments géométriques liés à la courbe d'Agnesi ⁹, ou encore sur la formule

appliquée en 1 (ce en quoi il anticipe la méthode de sommation d'Abel). Un autre argument qu'il avançait était la parabole suivante:

Deux frères reçoivent un joyau en héritage, que le testament de leur père leur interdit de vendre. Ils conviennent donc que la gemme résidera un an sur deux chez le premier frère, un an sur deux chez l'autre, et que leur descendants poursuivront ainsi, pour l'éternité. Puisque cela semble juste, c'est donc que chacune des deux familles doit avoir la gemme la moitié du temps. CQFD.

(Leibniz n'était pas du tout convaincu par cet argument.)

La somme \(B\) n'a pas de nom, mais elle fut étudiée avec attention par Euler, en même temps que la somme de Grandi: Euler avait remarqué que les deux étaient des cas particuliers de

(pour \(n=0\) et \(n=1\text{,}\) respectivement)

Il étudiait ces sommes dans la continuité de son travail sur le problème de Bâle (voir par ici ¹⁰), ce qui le mena plus tard l'étude de la fonction zêta de Riemann ¹¹. Que l'on recroisera prochainement !

Exercices Exercices

1.

On considère la somme

\begin{equation*} A=1-1+1-1+...=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \end{equation*}

"Montrer" que \(1-A=A\text{.}\) En déduire que \(A=\frac12\)¹².

Indication.

Spoiler.

2.

Maintenant, notons \(B\) la somme

\begin{equation*} B=1-2+3-4+...=\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}k \end{equation*}

"Montrer" que \(2B=A\text{.}\) En déduire que \(B=\frac14\text{.}\)

Indication.

Spoiler.

3.

Enfin, on note \(S\) la somme qui nous intéresse:

\begin{equation*} S=1+2+3+4+... = \sum_{k=1}^{\infty} k \end{equation*}

"Montrer que" \(S-B=4S\text{.}\)

Indication.

Spoiler.

4.

En déduire que \(S=-\frac1{12}\text{.}\)

Spoiler.

Sous-section 1.3 Ok, mais dans ce cas...

...pourquoi forcément faire comme ça ?

Exercices Exercices

1.

En groupant les termes par 3, "montrer" que

\begin{equation*} S-1=9S \end{equation*}

En déduire que \(S=-\displaystyle\frac{1}8\)¹³.

Indication.

Spoiler.

Exercice.

2.

Plus on est de fous plus on rit, donc introduisons une somme de plus:

\begin{equation*} Q=1+3+5+7+9+...=\sum_{k=0}^{+\infty}(2k+1) \end{equation*}

"Montrer" que

\begin{equation} 2Q=1+4S\tag{1.1} \end{equation}

Indication.

Spoiler.

3.

En mettant les pairs d'un côté et les impairs de l'autre, "montrer", d'un autre côté, que

\begin{equation} S=2S+Q\tag{1.2} \end{equation}

Indication.

Spoiler.

4.

En déduire que \(S=-\displaystyle\frac16\)¹⁴.

Spoiler.

Exercice.

5.

En séparant les termes de type \(3p,3p+1,3p+2\text{,}\) montrer que

\begin{equation} S=3S+3Q\tag{1.3} \end{equation}

Indication.

Spoiler.

6.

En déduire que \(S=-\displaystyle\frac3{16}\)¹⁵.

Spoiler.

Exercice.

7.

En séparant les termes de type \(4p,4p+1,4p+2,4p+3\text{,}\) montrer que

\begin{equation} S=4S+6Q\tag{1.4} \end{equation}

Indication.

Spoiler.

8.

En déduire que \(S=-\displaystyle\frac15\)¹⁶.

Spoiler.

Exercice.

9.

N'ayons pas peur de la généralité. Soit \(n\in\N^*\text{.}\)

En séparant les termes de type \(np,np+1,np+2,...,np+n-1\text{,}\) montrer que

\begin{equation} S=nS+\frac{n(n-1)}{2}Q\tag{1.5} \end{equation}

Spoiler.

10.

En déduire que \(S=-\displaystyle\frac{n}{4(n+1)}\text{.}\) Quel que soit \(n\geq1\text{.}\)

Spoiler.

Exercice.

11.

Mais ce n'est pas tout ! Après tout, on peut aussi jouer avec (1.1).

En groupant les termes 2 par 2, montrer que

\begin{equation*} Q=1+8S \end{equation*}

Indication.

Spoiler.

12.

En déduire que \(S=-\displaystyle\frac{1}{9}\text{.}\)

Spoiler.

OK, OK, stop !

Jusqu'ici, on a trouvé que

\begin{equation*} -\displaystyle\frac{1}{12}=-\displaystyle\frac{1}{8}=-\displaystyle\frac{1}{6}=-\displaystyle\frac{3}{16}=-\displaystyle\frac{1}{5}=-\displaystyle\frac{1}{9} \end{equation*}

Ce qui, vous en conviendrez, est un problème.

Les séries divergentes sont en général quelque chose de bien fatal, et c'est une honte qu'on ose y fonder aucune démonstration.
―Niels Abel (1826)

Question: Que vaut la somme infinie \(1+2+3+4+...\) ?

Réponse de Ramanujan: \(-\displaystyle\frac{1}{12}\text{.}\)

Figure 1.2. Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920)¹⁷, Public domain, via Wikimedia Commons

Srinivasa Ramanujan Aiyangar ¹⁸ est ce que les mathématiques ont de plus proche d'une rock star.

Né dans une famille modeste de la région de Madras, Ramanujan développa très tôt son don des mathématiques. À 15 ans, l'équivalent du bac en poche, Ramanujan emprunte à la bibliothèque du Government College le Synopsis of Pure Mathematics, un pavé contenant plusieurs milliers de résultats d'analyse et de géométrie, quasiment sans preuve. Son futur impresario mathématique, Hardy, attribue à ce livre le style, disons, plus rapide que rigoureux de Ramanujan. Il apprend les maths en tête à tête avec ce livre: trop pauvre pour acheter les kilos de papiers nécessaires aux mathématiciens du commun, il travaille de tête ou sur une ardoise et ne note que ses conclusions dans ses carnets, dans un système de notations qu'il a inventé.

C'est une habitude qu'il a gardé toute sa vie. A sa mort, à 32 ans, il laisse en tout et pour tout 3 cahiers (plus un tas de feuilles redécouvert en 1976, appelé le cahier perdu de Ramanujan), pour un total de 700 pages contenant plusieurs milliers de résultats, dont l'analyse complète a pris tout le XXème siècle. Ils sont désormais tous démontrés, quasiment tous se sont avérés vrais et les deux tiers sont originaux.

En 1912, il envoie son premier article à un éminent mathématicien anglais, Hardy, qui, soufflé, commente à propos de ces innombrables formules "Elles devaient être vraies car si elles ne l'étaient pas, personne au monde n'aurait eu assez d'imagination pour les inventer." C'est le début d'une fructueuse collaboration, et de la renommée mathématique de Ramanujan, qui sera interrompue par sa mort en 1920.

Et je ne résiste pas à vous raconter le coup du taxi.

Je me souviens que j'allais le voir une fois, alors qu'il était malade, à Putney. J'avais pris un taxi portant le numéro 1729 et je remarquai que ce nombre me semblait peu intéressant, ajoutant que j'espérais que ce ne fût pas mauvais signe.

- Non, me répondit-il, c'est un nombre très intéressant : c'est le plus petit nombre décomposable en somme de deux cubes de deux manières différentes.

Il donnait l'impression que chaque entier naturel était un de ses amis personnels.
―G. H. Hardy

En fait, la question n'est plus tellement "Pourquoi \(-\frac1{12}\text{?}\)", mais "Pourquoi \(-\frac1{12}\) plutôt que n'importe quoi d'autre?"

Si Ramanujan pense que \(-\displaystyle\frac1{12}\text{,}\) et pas \(-\displaystyle\frac{3}{16}\text{,}\) c'est une bonne raison de penser que \(-\displaystyle\frac1{12}\) est, en un certain sens, une "meilleure" réponse que \(-\displaystyle\frac{3}{16}\text{.}\) Mais en quel sens ?

Clairement, la théorie habituelle et planplan des séries ne répond pas à la question, mais la méthode qui consiste à traiter allègrement les sommes infinies comme si elles étiaent finies non plus (malgré sa popularité sur YouTube ²³, où on trouve aussi des choses plus propres ²⁴).

Une façon de répondre vient, étonnamment, de la physique. Moi, je ne suis pas qualifiée, mais l'excellent M. Louapre explique ça très bien:

Une autre façon de répondre consiste à élargir notre théorie des sommes infinies au-delà de la simple limite des sommes partielles, mais sans faire complètement n'importe quoi.

A lire avec un ton docte, et si possible, des lunettes tout au bout du nez

Oui, du coup, une infinité dénombrable. Gros malin.

Ca perturbait beaucoup Zénon ⁴, cette histoire.

fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxes_de_Z%C3%A9non#Paradoxe_de_la_dichotomie

fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Grandi#Par_la_sommation_de_Ces%C3%A0ro

fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Grandi#Par_la_sommation_d'Abel

biblio.adm.unipi.it:8081/archiviofoto/entity.jsp?entity=Grandi%20Guido

commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3665985

fr.wikipedia.org/wiki/Sorci%C3%A8re_d%27Agnesi

carolinevernier.website/pretext_analyse_l2/basel_pb.html

fr.wikipedia.org/wiki/Histoire_de_la_fonction_z%C3%AAta_de_Riemann#Leonhard_Euler

Oui, je sais, on a vu qu'elle diverge, mais ne soyons pas désagréable, voyons où ça va.

Euh, mais, ...

Voilà autre chose...

C'est de pire en pire.

Il est pas mal celui là, remarquez...

commons.wikimedia.org/wiki/File:Ramanujan_Notebook_1_Chapter_8_on_1234_series.jpg

opc.mfo.de/detail?photoID=2328

commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=111802441

en.wikipedia.org/wiki/Srinavasa_Ramanujan

commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=67637326

www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww

youtu.be/YuIIjLr6vUA