Somme des entiers - oui, tous

Section 2 Comment raisonnablement sommer les sommes déraisonnables ?

Ce qu'il nous faut, c'est une nouvelle façon de calculer les sommes infinies: autrement dit, un procédé \(\mathcal S\) à qui on puisse donner une suite \((a_n)_n\) et qui nous rend un réel \(S\) tel qu'il ne soit pas totalement délirant d'écrire

¹

\(\leadsto\) A part calculer les sommes \(S_n=a_0+a_1+...a_n\text{,}\) en ajoutant de plus en plus de termes, et regarder si ça se rapproche de \(S\text{,}\) qu'est-ce qui pourrait nous donner de bonnes raisons de penser que \(S\) est la somme de tous les \(a_n\) ?

Il n'y a pas si longtemps (Sous-section 1.2), on a eu l'impression qu'on avait de bonnes raisons de penser que

et que

Pour la première somme, il nous a semblé qu'on devrait pouvoir faire

• On devrait pouvoir isoler le premier terme de la somme des autres termes

• On devrait pouvoir factoriser une somme infinie par \(-1\) (ou, soyons fous, par n'importe quelle constante)

Et pour la deuxième:

• A nouveau, on a isolé le premier terme de la somme, et on a factorisé par -1

• On devrait pouvoir aussi additionner deux sommes infinies en additionnant leurs termes respectifs 1 à 1.

\(\leadsto\) Ces exigences semblent raisonnables, et on va donc les exiger.

On cherchera des méthodes de sommations \(\mathcal S\) qui vérifient les propriétés fondamentales suivantes:

1. Linéarité 1: Si

   \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty a_n =S\ [\mathcal S]\text{,} \end{equation*}

   alors pour tout \(\lambda\in\R\text{,}\)

   \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty \lambda a_n = \lambda S\ [\mathcal S] \end{equation*}

2. Linéarité 2: Si

   \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty a_n =S\ [\mathcal S] \text{ et } \sum_{n=0}^\infty b_n =T\ [\mathcal S]\text{,} \end{equation*}

   alors

   \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n) =S+T\ [\mathcal S]\text{.} \end{equation*}

3. Stabilité: ² Si \(\sum_{n=0}^\infty a_n =S\ [\mathcal S]\) alors \(\sum_{n=1}^\infty a_n =S-a_0\ [\mathcal S]\text{.}\)

4. Régularité:³ Si

   \begin{equation*} S_n=\sum_{k=0}^n a_k \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} S \in \R\text{,} \end{equation*}

   alors

   \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty a_n =S\ [\mathcal S]\text{.} \end{equation*}

Ce sont ces propriétés raisonnables qu'on a utilisées pour calculer les sommes "intermédiaires" \(A\) et \(B\) dans le Sous-section 1.2 (notre premier calcul de la somme des entiers).

En revanche, pour faire marcher les calculs de la Sous-section 1.3, on a utilisé en plus des regroupement de termes par paquets et des réorganisations.

Or, comme on peut le voir par ici⁴, ces opérations, même si elles ont l'air intuitives, ont tendance à prendre l'eau quand on les applique à des sommes infinies. D'où l'intérêt d'être prudent !

Maintenant, voyons quelles méthodes de sommation on va pouvoir inventer avec cette liste de desiderata.