Moyennes de (moyennes de moyennes de) Cesàro

Section 3 Moyennes de (moyennes de moyennes de) Cesàro

Sous-section 3.1 Sommation d'Ernesto

Pour partir à la pêche aux idées, prenons une série qu'on aimerait faire converger, et voyons ce qui l'en empêche. Par exemple, la série de Grandi

\begin{equation*} A=1-1+1+...=\sum(-1)^n \end{equation*}

\(\leadsto\) Calculons les sommes partielles de la série de terme général \(a_n=(-1)^n\text{.}\)

\begin{align*} A_0\amp=(-1)^0 = 1,\\ A_1\amp=(-1)^0+(-1)^1 = 0\\ A_2\amp=(-1)^0+(-1)^1+(-1)^2=1...\\ A_3\amp=(-1)^0+(-1)^1+(-1)^2+(-1)^3=0... \end{align*}

Et plus généralement, pour tout \(n\in\N\text{,}\)

\begin{equation*} A_n= \begin{cases} 1 \text{ si } n \text { est pair;}\\ 0 \text{ si } n \text { est impair} \end{cases} \end{equation*}

\(\leadsto\) La suite des sommes partielles \((A_n)_n\) ne converge pas parce qu'elle oscille entre deux valeurs.

Mais on a envie de dire que, "en moyenne", ça fait \(\frac 12\text{.}\)

Voilà, c'est ça l'idée. On va regarder, non pas les sommes partielles \((A_n)_n\text{,}\) mais les moyennes des \((A_n)_n\text{.}\) On pose:

\begin{equation*} c_1=A_1,\ \ c_2=\frac{A_1+A_2}2,\ c_3=\frac{A_1+A_2+A_3}3.... \end{equation*}

et de manière générale, pour tout \(n\in \N\)

\begin{equation*} c_n=\frac1{n}(A_1+...+A_n) \end{equation*}

Alors, si on les calcule, on trouve

\begin{align*} c_1\amp=S_1 = 0,\\ c_2\amp=\frac{0+1}2=\frac12\\ c_3\amp=\frac{0+1+0}3=\frac13\\ c_4\amp=\frac{0+1+0+1}4=\frac12\\ c_5\amp=\frac{0+1+0+1+0}5=\frac25 \end{align*}

et plus généralement, pour tout \(n\geq 1\text{,}\)

\begin{equation*} c_n=\frac1n\sum_{k=1}^n S_n = \begin{cases} \frac1n \cdot \frac n2 = \frac12 \amp\text{ si }n \text{ est pair}\\ \frac1n \cdot \frac {n-1}2 = \frac12-\frac1{2n} \amp\text{ si }n \text{ est impair} \end{cases} \end{equation*}

\(\leadsto\) La suite \((c_n)_n\) des moyennes de \(S_n\) converge vers \(\frac 12\text{.}\)

Ca semble prometteur ! Et c'est aussi ce que Ernesto s'est dit.

Le nom de cette méthode de sommation vient d'Ernesto Cesàro ¹, un mathématicien italien du XIX-XXe siècle.

Ernesto s'est intéressé à une variété de sujets, allant de la théorie des nombres à la géométrie non euclidienne, en passant par les séries divergentes. Il fit ses études à Naples, où, à l'époque, les définitions rigoureuses type "Pour tout \(\varepsilon\) il existe un \(\delta\)", que Cauchy était en train d'introduire, n'étaient pas encore connues (ou alors soigneusement ignorées !). Il lit beaucoup Trudi, qui lui, annonce carrément son intention d'utiliser des séries "qu'elles convergent ou non".

Son professeur, Catalan, le met en garde contre les dangers des séries divergentes. Pour lui faire plaisir, Cesàro indique dans ses premiers papiers "La question de la convergence sera étudiée plus tard". Une habitude qu'il perd sous l'influence de ses collègues napolitains quand il se spécialise temporairement dans un domaine maintenant obscur: le calcul ombral ³.

Dans ce cadre, il redémontre une formule initialement découverte par Euler sur les sommes du type

au sujet de laquelle il écrit

Ces formules, dis-je, quoique fausses, peuvent servir de base à une théorie, qui ne serait pas plus absurde que la théorie des Imaginaires

Mais ce que je me propose surtout de faire, c'est réunir, en un corps de théorie, les conditions moyennant lesquelles on peut se servir, en toute rigueur, des égalités "conventionnelles" comme celles-ci
―E. Cesaro (1883)

Une voie sur laquelle on va le suivre !

Définition 3.2.

Soit \((S_n)_n\in\R^\N\) une suite de réels⁴. La suite des moyennes de Cesàro de \((S_n)_n\) est la suite \((c_n)_n\) définie par

\begin{equation*} c_n = \frac{S_1+...+S_n}n=\frac1n \sum_{k=1}^n S_k \end{equation*}

On va noter \((\mathcal C, 1)\) la méthode de sommation associée:

Si \(S_n=\sum_{k=0}^na_k\) est la suite des sommes partielles d'une série, et si la suite des moyennes de Cesàro de \((S_n)_n\) converge vers un \(S\in\R\text{,}\) on dira que la série de terme général \((a_n)_n\) Cesàro-converge, ou \((\mathcal C,1)\)-converge pour aller plus vite.

Pour résumer:

\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty a_k = S \quad [\mathcal C,1] \iff \frac{S_1+...+S_n}n \rightarrow S \end{equation*}

Vérifions que cette méthode de sommation a les propriétés qu'on souhaite.

Projet 3.1. \((\mathcal C,1)\) respecte la DDS.

(a)

Montrer que \((\mathcal C,1)\) vérifie les deux propriétés de linéarité:

Si \(\sum_{n=0}^\infty a_n =S\ [\mathcal C,1]\text{,}\) alors pour tout \(\lambda\in\R\text{,}\) \(\sum_{n=0}^\infty \lambda a_n = \lambda S\ [\mathcal C,1]\)
Si

\begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty a_n =S\ [\mathcal C,1] \text{ et } \sum_{n=0}^\infty b_n =T\ [\mathcal C,1]\text{,} \end{equation*}

alors

\begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n) =S+T\ [\mathcal C,1]\text{.} \end{equation*}

Spoiler.

(b)

Montrer que \((\mathcal C,1)\) est stable: autrement dit que

si \(\sum_{n=0}^\infty a_n =S\ [\mathcal C,1]\) alors \(\sum_{n=1}^\infty a_n =S-a_0\ [\mathcal C,1]\)

Indication.

Poser, pour tout \(n\in\N\text{,}\) \(b_n=a_{n+1}\text{.}\) Ca nous fait une suite \((b_0,b_1,b_2,....)=(a_1,a_2,a_3,....)\)

\(\leadsto\) Il s'agit donc de montrer que, si la série de t.g. \((a_n)_n\) \((\mathcal C,1)\)-converge et a pour \((\mathcal C,1)\)-somme \(S\text{,}\) alors la série de t.g. \((b_n)_n\) \((\mathcal C,1)\)-converge et a pour \((\mathcal C,1)\)-somme \(S-a_0\text{.}\)

On va appeler \(\widetilde S_n=b_0+...+b_n\) les sommes partielles associées à \((b_n)_n\text{.}\) On pourrait exprimer les \(\widetilde S_n\) en fonction des \(S_n\text{,}\) et de là, exprimer \(\frac{\widetilde S_1+...+\widetilde S_n}n\) en fonction de \(\frac{S_1+...+S_n}n\) et \(a_0\text{,}\) et vérifier que ça tend bien vers \(S-a_0\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Il nous reste à montrer que \((\mathcal C,1)\) est régulière: autrement dit, que si la série de terme général \((a_n)_n\) tradi-converge:

\begin{equation*} S_n=\sum_{k=0}^n \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} S \end{equation*}

alors elle Cesàro-converge vers le même \(S\text{:}\)

\begin{equation*} c_n=\frac{S_1+...+S_n}n \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} S \end{equation*}

On va commencer par le vérifier avec une série convergente qu'on connaît déjà: \(\sum \frac1{2^n}\text{.}\)

Calculer, pour tout \(n\in \N\text{,}\) \(S_n= \sum_{k=0}^n \frac 1 {2^k}\text{.}\)

\(\leadsto\) Et donc, quelle est la tradi-somme de la série de terme général \(\left(\frac1{2^n}\right)_n\) ?

Spoiler.

(d)

Toujours pour la série de terme général \(\left(\frac1{2^n}\right)_n\text{,}\) calculer les moyennes de Cesàro

\begin{equation*} c_n= \frac1n (S_1+...+S_n) \end{equation*}

En déduire que cette série Cesàro-converge vers sa tradi-somme.

Spoiler.

(e)

Maintenant qu'on s'est échauffés, passons au cas général. Soit \((a_n)_n\) une suite telle que \(\sum a_n\) tradi-converge:

\begin{equation*} S_n=\sum_{k=0}^n \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} S \end{equation*}

Il s'agit de montrer que:

\begin{equation*} c_n=\frac{S_1+...+S_n}n \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} S \end{equation*}

Soit \(\varepsilon \gt 0\text{,}\) montrer que, dans ce cas, qu'il existe un entier \(n_0\in\N\) et une constante \(C\) (indépendante de \(n\)) tels que, si \(n\geq n_0\)

\begin{equation*} |S_1+...+S_n-nS| \lt C+\frac{n}2\varepsilon \end{equation*}

Indication.

Puisqu'on a supposé que \(S_n\rightarrow S\text{,}\) il existe un rang \(n_0\) tel que, si \(n\geq n_0\text{,}\) pour tout \(k=n_0,...,n\text{,}\) \(|S_k-S|\lt \frac{\varepsilon}2\)

Du coup, si \(n\geq n_0\text{,}\) par quoi peut-on majorer

\begin{equation*} |S_1+...+S_{n_0-1}+S_{n_0}...+S_n -nS| ? \end{equation*}

Spoiler.

(f)

En déduire qu'il existe \(N\in \N\) tel que, pour tout \(n\geq N\text{,}\)

\begin{equation*} |c_n-S| \lt \varepsilon \end{equation*}

et conclure.

Indication.

Quand \(C\) ne dépend pas de \(n\text{,}\) au bout d'un moment, \(\frac Cn\text{,}\) c'est petit. Très petit. Aussi petit qu'on veut.

Spoiler.

(g)

On a vu que les moyennes de Cesàro permettaient de se débarasser des oscillations de la série de Grandi, ce qui la fait \((\mathcal C,1)\)-converger.

En fait, c'est vrai en général:

Supposons que \((u_n)_n\) est une suite réelle telle que

\begin{equation*} \begin{cases} u_{2n}\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} \ell_0\\ u_{2n+1}\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} \ell_1 \end{cases},\quad \ell_0\neq \ell_1 \end{equation*}

Montrer que dans ce cas, \((u_n)_n\) ne converge pas.

Bonus: Et si \(\ell_0=\ell_1\text{.}\)

Spoiler.

(h)

Montrer que par contre

\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac1n\sum_{k=1}^n u_k = \frac{\ell_0+\ell_1}2 \end{equation*}

Bonus: Et si \((u_n)_n\) a trois valeurs d'adhérence associées aux suites \((u_{3n})_n, (u_{3n+1})_n,(u_{3n+2})_n\) ?

Bonus 2: Et si \((u_{4n})_n\) converge vers \(\ell_0\text{,}\) tandis que les termes d'indices non divisibles par 4 tendent vers \(\ell_1\) ?

Spoiler.

La méthode de sommation alla Cesàro remplit les termes du contrat !

Et on a déjà vu qu'elle permettait d'obtenir la première étape de notre calcul bancal de 1+2+3+...:

\begin{equation*} 1-1+1-1+...=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n = \frac12 \quad [\mathcal C, 1] \end{equation*}

\(\leadsto\) Passons donc à la deuxième étape !

Il s'agit maintenant de rendre rigoureuse l'affirmation

\begin{equation*} 1-2+3-4+...=\sum_{k=1}^\infty (-1)^k k = \frac 14 \end{equation*}

Aurait-on, par chance,

\begin{equation*} 1-2+3-4+...=\sum_{k=1}^\infty (-1)^k k = \frac 14 \quad [(\mathcal C,1)] ? \end{equation*}

\(\leadsto\) Y a-t-il moyen de passer de la \((\mathcal C,1)\)- convergence de \(\sum(-1)^n\) à celle de \(\sum (-1)^n n \) ?

Sous-section 3.2 Le produit d'Augustin

On va voir qu'il y a un lien entre la série de Grandi et la somme alternée des entiers, via le produit de Cauchy.

Le produit de Cauchy, c'est ce qui permet de multiplier deux sommes/séries entre elles. Le produit de deux sommes, reconnaissons-le, c'est un peu lourd:

\begin{align*} \boxed{n=m=1}\quad \amp (a_0+a_1)(b_0+b_1)=a_0b_0+a_0b_1+a_1b_0+a_1b_1\\ \boxed{n=1,m=2}\quad \amp (a_0+a_1)(b_0+b_1+b_2)=a_0b_0+a_0b_1+a_0b_2+a_1b_0+a_1b_1+a_1b_2\\ \boxed{n=m=2}\quad \amp (a_0+a_1+a_2)(b_0+b_1+b_2)=a_0b_0+a_0b_1+a_0b_2+a_1b_0+a_1b_1+a_1b_2+a_2b_0+a_2b_1+a_2b_2\\ \boxed{n=2,m=3}\quad \amp (a_0+a_1+a_2)(b_0+b_1+b_2+b_3)=a_0b_0+a_0b_1+a_0b_2+a_0b_3+a_1b_0+a_1b_1+a_1b_2+a_1b_3\\ \amp+ a_2b_0+a_2b_1+a_2b_2+a_2b_3\\ \boxed{n=3}\quad \amp (a_0+a_1+a_2+a_3)(b_0+b_1+b_2+b_3)=a_0b_0+a_0b_1+a_0b_2+a_0b_3+a_1b_0+a_1b_1+a_1b_2+a_1b_3\\ \amp+a_2b_0+a_2b_1+a_2b_2+a_3b_3+a_3b_0+a_3b_1+a_3b_2+a_3b_3\\ \vdots\\ \boxed{n=14,m=28}...\amp\text{ non, sûrement pas, non.} \end{align*}

Ce qu'on observe en fait, c'est que dans le produit de deux sommes \(\sum_{i=0}^m a_i\) et \(\sum_{j=0}^n b_j\text{,}\) tous les termes \(a_ib_j\) pour \(i=0...m,j=0,...,n\) apparaissent: tous les \(a_0b_{truc}\text{,}\) puis tous les \(a_1 b_{machin}\text{,....}\)

\begin{equation*} (\sum_{i=0}^m a_i)(\sum_{j=0}^n b_j)=\sum_{i=0}^m\sum_{j=0}^n a_ib_j =\sum_{\substack{0\leq i\leq m\\0\leq j\leq n}}a_i b_j \end{equation*}

ce qu'on peut aussi écrire

\begin{equation*} \sum_{i=0}^m p_i,\text{ avec } p_i=\left(\sum_{j=0}^m b_j\right)a_i \end{equation*}

Mais dans certains cas ⁵, cette approche,qui laise les \(a_i\) et les \(b_j\) séparés, n'est pas très satisfaisante.

Supposons par exemple que \(a_i=b_i=\alpha^i\text{.}\) Alors, si on fait comme ça,

\begin{align*} \left(\sum_{i=0}^2 a_i\right)\left(\sum_{j=0}^3 b_j\right) \amp= (\alpha^0 + \alpha^1 + \alpha ^2)(\alpha^0+ \alpha^1 + \alpha ^2+\alpha^3)\\ \amp=\alpha^0\alpha^0+\alpha^0\alpha^1+\alpha^0\alpha^2+\alpha^0\alpha^3+\alpha^1\alpha^0+\alpha^1\alpha^1+\alpha^1\alpha^2+\alpha^1\alpha^3\\ \amp+ \alpha^2\alpha^0+\alpha^2\alpha^1+\alpha^2\alpha^2+\alpha^2\alpha^3 \end{align*}

\(\leadsto\)Dans ce cas, il y a clairement une étape naturelle ensuite: utiliser \(\alpha^i\alpha^j = \alpha^{i+j}\text{.}\)

\begin{align*} \amp= \alpha^0 +\alpha^1 + \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^1 + \alpha^2 + \alpha^3+\alpha^4+\alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4+\alpha^5\\ \amp= \alpha^0 +2\alpha^1 + 3\alpha^2 + 3\alpha^3 + 2\alpha^4+\alpha^5 \end{align*}

Dans le cas de suites géométriques ⁶, on a donc plutôt envie de regrouper les termes \(a_ib_j\) selon la valeur de \(i+j\text{.}\) Et en fait, cette approche est plus naturelle dans tous les cas du type \(a_i= u_i \alpha^i,b_j=v_j\alpha^j\text{.}\)

Pour des sommes finies, tout ceci n'est pas follement intéressant. Après tout, on peut réunir les termes comme on le souhaite, donc on peut voir au cas par cas ce qui est le plus naturel. Mais pour des sommes infinies, où se posent des questions de convergence, et où réunir les termes dans un ordre plutôt qu'un autre peut tout changer ⁷, il est important de faire un choix.

Augustin Louis, comme beaucoup d'autres, s'intéressait beaucoup aux cas particuliers du type \(a_i= u_i \alpha^i,b_j=v_j\alpha^j\) (on en reparlera !) et c'est son produit qu'on utilise maintenant le plus souvent:

Augustin-Louis Cauchy n'était pas n'importe quel mathématicien du XVIIIème siècle.

En plus de ses 800 articles de recherche dans des domaines variés, on lui doit sept manuels de cours qui ont grandement contribué à donner des définitions et des énoncés précis aux mathématiques plus...heu...heuristiques, qui étaient jusqu'alors la norme, et il a en cela considérablement infléchi le cours des mathématiques.

A chaque fois que vous écrivez "pour tout \(\varepsilon \gt 0\text{,}\) il existe un \(\delta \gt 0\text{,}\) vous pouvez donc le remercier ! Ou cracher sur son portrait, fourni ci-dessus.

C'est aussi pour cela que, même s'il n'en est pas l'inventeur, un nombre invraisemblable de théorèmes et de concepts portent son nom (ainsi qu'un glacier dans les Kerguelen, une rue dans le 15ème, et un cratère sur la Lune).

Pour le sujet qui nous intéresse, c'est lui qui, le premier, définit dans son Cours d'Analyse la définition de série convergente telle qu'on l'utilise encore maintenant, et a exclus des mathématiques respectables toutes les fantaisies du style \(1-1+1-1....=\frac12\) ou \(1+2+3+4+...=-\frac1{12}\text{.}\) Avec regret, cela dit:

Je me suis vu forcé d'admettre plusieurs propositions qui paraîtront peut-être un peu dures, par exemple qu'une série divergente n'a pas de somme.
―Augustin-Louis, un peu déçu, dans la préface de son Analyse Algébrique.

Définition 3.4.

Soient \(\sum a_n\text{,}\) \(\sum b_n\) deux séries de terme général respectifs \((a_n)_n\) et \((b_n)_n\text{.}\) Leur produit de Cauchy est la série de terme général \(p_n\text{,}\) avec

\begin{equation*} p_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+...+a_{n-1}b_1+a_nb_0=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}=\sum_{k=0}^n a_{n-k}b_k \end{equation*}

(Pour chaque \(n\text{,}\) \(p_n\) est la somme de tous les termes \(a_ib_j\) tels que \(i+j=n\)).

⁹

Et c'est là qu'on retrouve notre série de Grandi.

Petit Exercice 3.5. Carré du produit de Grandi.

Posons \(a_n = (-1)^n\text{.}\) Quel est le terme général du produit de Cauchy de la série \(\sum a_n\) avec elle-même ?

De là, on a

Proposition 3.6.

Si les séries \(\sum a_n\) et \(\sum b_n\) sont absolument convergentes, alors leur produit de Cauchy l'est aussi, et on a

\begin{equation*} \sum_{n\geq 0} p_n = \left(\sum_{n\geq 0}a_n\right)\left(\sum_{n\geq 0}b_n\right) \end{equation*}

(Comme on espérait !)

Et même un peu mieux, grâce à Franciszek Mertens (disons Franz, pour les intimes: ce fut le prof d'Analyse et d'Algèbre d'un nommé Erwin Schrödinger):

Proposition 3.7.

Si la série \(\sum a_n\) converge absolument si et \(\sum b_n\) converge, alors leur produit de Cauchy converge, et on a

\begin{equation*} \sum_{n\geq 0} p_n = \left(\sum_{n\geq 0}a_n\right)\left(\sum_{n\geq 0} b_n\right) \end{equation*}

C'est encourageant, car on a trouvé que

\begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n = \frac12 \quad [\mathcal C, 1] \end{equation*}

et que la série \(\sum (-1)^{n+1}n\) était le "carré de Cauchy" de \(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\text{,}\) et ce qu'on aimerait conclure, c'est justement que

\begin{equation*} \sum (-1)^{n+1}n = \left(\sum_{n\geq 0} (-1)^n\right)^2 =\frac14 \end{equation*}

Malheureusement, les théorèmes qu'on a ne nous permettent pas de conclure: la série de Grandi ne converge pas absolument, ni au sens traditionnel, ni même au sens de Cesàro:

\begin{align*} Ab_n\amp=\sum_{k=0}^n |(-1)^k|=n+1 \rightarrow \infty\\ \frac{Ab_1+Ab_2+...+Ab_n}n \amp= \frac{2+3+...+(n+1)}n\\ \amp= \frac1n\left(\frac{(n+1)(n+2)}2-1\right)=n+3n\rightarrow \infty \end{align*}

Et le produit de Cauchy ne tolère pas bien la convergence pas absolue:

Projet 3.2. Un édifiant contre-exemple.

(a)

On considère la série de terme général

\begin{equation*} u_n= \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} \end{equation*}

Montrer que la série de terme général \((u_n)_n\) converge.

Spoiler.

(b)

Calculer le produit de Cauchy \((p_n)_n\) de la série de terme général \((u_n)_n\) avec elle même.

Spoiler.

(c)

Montrer que, pour tout \(n\geq 1\text{,}\)

\begin{equation*} |p_n|\geq1 \end{equation*}

La série \(\sum p_n\) est-elle convergente ?

Indication.

Pour \(k=0,...,n\text{,}\) par quoi peut on majorer

\begin{equation*} \sqrt{k+1} \text{ et } \sqrt{n-k+1} ? \end{equation*}

Et de là, par quoi peut-on minorer \(p_n\) ?

Spoiler.

¹⁰

Sous-section 3.3 Ernesto peut-il sommer \(1-2+3-...\) ?

Peut-on sauver directement la somme alternée des entiers à coups de moyennes Cesàro ?

Exercices Cesàro-somme alternée des entiers

Calculons les sommes partielles de la suite \(b_n=(-1)^{n+1}n\text{:}\)

\begin{align*} B_1\amp=b_0+b_1=1\\ B_2\amp=b_0+b_1+b_2=0+1-2=-1\\ B_3\amp=0+1-2+3=2\\ B_4\amp=0+1-2+3-4=-2\\ B_5\amp=0+1-2+3-4+5=3 \end{align*}

1.

Calculer, d'abord pour \(n=2p\) un entier pair, la somme partielle

\begin{equation*} B_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k k \end{equation*}

Puis calculer \(B_n\) quand \(n=2p+1\) est impair.

Indication.

Séparer \(B_n\) en entiers pairs d'un côté et impairs de l'autre. Puisque c'est une somme finie, cette opération est garantie sans risque.

Spoiler.

Maintenant, regardons ses moyennes de Cesàro:

\begin{align*} c_1\amp=B_1=1\\ c_2\amp=\frac{B_1+B_2}2=0\\ c_3\amp=\frac{B_1+B_2+B_3}3=\frac23\\ c_4\amp=\frac{B_1+B_2+B_3+B_4}4=0\\ c_5\amp=\frac{B_1+B_2+B_3+B_4+B_5}5=\frac35 \end{align*}

2.

Calculer, pour tout \(n\in\N\text{,}\) les moyennes de Cesàro

\begin{equation*} c_n=\frac1n (B_1+...+B_n). \end{equation*}

Indication.

A nouveau, on peut séparer les cas \(n=2p\) et \(n=2p+1\text{.}\)

Spoiler.

3.

Qu'en déduit-on sur la Cesàro-convergence de la somme \(1-2+3-4+...\) ?

Indication.

Spoiler.

Bon, qu'est-ce qui l'empêche de converger, encore ?

\(\leadsto\)Les sommes partielles présentent des oscillations d'amplitudes croissantes: \(B_{2n}\rightarrow-\infty\) tandis que \(B_{2n+1}\rightarrow\infty\text{.}\) Ce qu'on a observé sur les moyennes de Cesàro nous laisse donc supposer qu'elles essaient de converger vers \(\frac12(\infty - \infty)\text{,}\) ce qui est notoirement une mauvaise idée.

Et de fait, les moyennes de Cesàro continuent d'osciller: les moyennes d'indices pairs sont nulles, les moyennes d'indice impair convergent vers \(\frac12\text{.}\)

Mais du coup, si c'est un problème d'oscillations:

...On peut peut-être remoyenner ?

Puisqu'on a

\begin{equation*} \begin{cases} c_{2n}\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 0\\ c_{2n+1}\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} \frac12 \end{cases} \end{equation*}

D'après le résultat obtenu à la question 3.1.g,

\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac1n\sum_{k=1}^n c_k = \frac{0+\frac12}2=\frac14 \end{equation*}

Ce qui, d'ailleurs, est le résultat qu'on espérait !

mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cesaro/

commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=7921531

Dans les cas qui vont nous intéresser, \((S_n)_n\) sera typiquement la suite de sommes partielles d'une série

et on verra un peu plus bas que ce sont précisément les cas qui ont le plus d'applications fructueuses

comme, par exemple, au hasard, \((-1)^n\)

carolinevernier.website/conv_commutative/conv_commutative.html

commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=7059486

Ce n'est pas la seule façon de faire ! Il y a aussi un produit qui réunit les termes selon la valeur de \(ij\) plutôt que \(i+j\text{:}\)

\begin{equation*} p_n=\sum_{ij = n} a_ib_j = \sum_{d|n}a_d b_{\frac nd} \end{equation*}

Cette façon de faire est, elle, plus pratique pour les séries du genre

\begin{equation*} a_n=\frac{ u_n}{n^\alpha},\ b_n=\frac{ v_n}{n^\beta} \end{equation*}

dont on sera aussi amenés à reparler !

Ce mauvais comportement des séries semi-convergentes ne surprendront peut-être pas ceux qui ont entendu parler théorème de réarrangement des séries ¹¹: le produit de Cauchy consiste à choisir un ordre particulier dans lequel sommer les termes \(a_ib_j\) du produit des sommes partielles. Et ça, ça a tendance à marcher pour les séries absolument convergente, mais à être moins innocent qu'il n'y paraît pour les séries semi-convergentes !

carolinevernier.website/pretext_analyse_l2/conv_commutative.html