Analyse S5 - Quelques compléments

Quelques références:

• Complément de cours: Liret, Martinais, Analyse L2, chapitres 5 et 6 (pour les espaces vectoriels normés. Pour le calcul différentiel, voir >F. Rouvière, Petit guide de calcul différentiel.
• Fiches-méthodes: Merlin, MethodiX Analyse, chapitre 3 et 16. Voir aussi A.El Kaabouchi, D. Essayed, Mathématiques L2, chapitres 10 et 11.

Première partie: Topologie dans les espaces vectoriels normés

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La topologie est l'étude d'espaces géométriques, à déformations continues près. C'est un domaine étrange, où les tasses peuvent devenir des doughnuts et ou beaucoup de choses sont, en fait, sphériques.

Afin de garder un tant soit peu les pieds sur terre, on s'intéresse surtout dans ce module à des espaces topologiques respectables: les espaces vectoriels normés. Comme vous l'avez certainement constaté, même avec ces précautions, les boules ne sont pas forcément celles que l'on croit. Quelques visualisations (interactives, si les dieux de l'informatique sont de votre côté) sont disponibles ici. Pour les utiliser, allez dans le menu "Cell" et cliquez sur "Run All". Puis remontez en haut de la page.
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Vous trouverez ci-dessous quelques aides-mémoires dûs à l'excellent Jean-Marc Patin:

• Topologie des réels
• Espaces vectoriels normés: 1, 2

Et ici, un résumé des méthodes abordées en TD: Fiche méthode sur la topologie et Fiche méthode sur la continuité

Lorsqu'on étudie les propriétés topologiques des espaces vectoriels normés, les choses sont particulièrement intéressantes en dimension infinie, où l'on s'intéresse, par exemple, à des espaces de fonctions (comme par exemple l'espace des fonction continues). Ce que vous savez des suites de fonctions s'avère utile pour étudier ces propriétés topologiques, notamment l'équivalence de normes, ou la complétude d'espaces de fonctions. Vous trouverez ici quelques visualisations des suites de fonctions vues en TD. Pour les utiliser, comme pour le précédent, allez dans le menu "Cell" et sélectionnez "Run All", puis remontez en haut de la page.

Enfin, une visualisation de la norme d'opérateur $\|T\| = \sup_{|x|=1}|T(x)|$ d'une application linéaire $T:X\rightarrow Y$ entre deux espaces vectoriels normés: (Source: Math3ma):

Deuxième partie: Différentiabilité dans les espaces vectoriels normés

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Vous l'aurez peut-être noté, pour étudier des fonctions $\mathbb R \rightarrow \mathbb R$, la dérivée est un outil puissant, surtout quand il s'agit de problèmes de maximisation/minimisation. Il semble donc naturel de vouloir étendre cet outil aux fonctions dépendant de plusieurs variables (c'est-à-dire, définies sur $\mathbb R^n$) ou même aux fonctions définies sur un espace vectoriel normé quelconque.

On souhaiterait donc généraliser la "limite du taux d'accroissement" $\frac1h (f(a+h)-f(a))$ à une application $f: E \rightarrow F$ entre deux espaces vectoriels normés quelconques. Problème: si $E$ n'est pas $\mathbb R$, $a$ et $h$ sont des vecteurs, et il est hors de question de diviser par $h$ ! Il faut donc se débarasser de cet encombrant dénominateur.

Une solution consiste à choisir un point $a$ de $E$, une "direction", c'est-à-dire un vecteur $v$ de $E$, et ne regarder que la façon dont $f$ varie dans cette direction. On se ramène alors, en quelque sorte, à une fonction d'une seule variable, $f(a+tv)$ pour $t$ réel, et on peut étudier $$ \lim_{t\rightarrow 0} \frac1t(f(a+tv)-f(a)) $$ SI cette limite existe, on dira que c'est la dérivée directionnelle de $f$ dans la direction de $v$. En particulier, si $E = \mathbb R^n$, on a des directions "privilégiées", données par les vecteurs de la base canonique: on retrouve alors les dérivées partielles.

Toutefois, et c'est justement la difficulté du calcul différentiel dans $E$ par rapport à $\mathbb R^n$, des directions.... il y en a un paquet. On voudrait donc trouver un "véritable" analogue de la dérivée, qui résume toutes les informations sur les variations de $f$ en un seul "objet". La question est, quel est cet objet ?
Revenons aux fonctions réelles d'une seule variable. Le nombre dérivé $f'(a)$ a une interprétation géométrique: c'est la pente de la tangente à la courbe de $f$ en $a$. Autrement dit, la droite $y=f(a) + f'(a)(x-a)$ est la droite qui approxime le mieux $f$ quand $x$ est proche de $a$, c'est à dire quand $x-a$ est petit. Et c'est là la Grande Idée du Calcul Différentiel: ce qu'on veut, c'est approcher $f$ par une application linéaire, plus simple.

Pour cela, on cherche donc une application linéaire $L: E \rightarrow F$ telle que $f(a) + L(x-a)$ approxime bien $f$ quand $x$ est proche de $a$. Autrement dit, en notant $h=x-a$ le (petit) accroissement considéré, on cherche $L$ telle que, pour tout $h\in E$ assez petit, $$ f(a+h)=f(a)+ L(h)+R(h) $$ où le reste $R(h)$ est un $o(\|h\|)$, c'est à dire tend vers 0 plus vite que $h$. Si on peut faire ça, on dit que $f$ est différentiable, et $L$ est sa différentielle en $a$.

Une fiche résumant plus rigoureusement ces notions: ici, et une fiche expliquant quand et comment on peut le faire: ici.