Intégrales, limites et intégrales doubles

Fixons \(x \gt 0\text{.}\) La fonction \(t\mapsto f(t,x)\) est continue, donc localement intégrable sur \(]0,+\infty[\text{.}\)

On doit montrer d'une part la convergence de \(I_1=\displaystyle \int_0^1 e^{-t}t^{x-1} dt\text{,}\) et d'autre part celle de \(I_2=\displaystyle\int_1^{+\infty} e^{-t}t^{x-1} dt\text{.}\)

• Pour \(I_1\text{:}\) Remarquons que

  \begin{equation*} 0 \leq e^{-t}t^{x-1}=\dfrac{e^{-t}}{t^{1-x}}\sim_{t\rightarrow 0^+}\dfrac1{t^{1-x}} \end{equation*}

  Donc \(\displaystyle \int_0^1 \frac1{t^{1-x}}dt\) converge ssi \(x \gt 0\) donc \(I_1\) converge bien pour tout \(x \gt 0\text{.}\)

• Pour \(I_2\text{:}\) On a:

  \begin{equation*} t^2 f(t,x) = t^{x+1}e^{-t} \xrightarrow[t\rightarrow \infty]{} 0, \end{equation*}

  donc par le critère en \(t^\alpha\text{,}\) \(\int_1^{+\infty} e^{-t}t^{x-1} dt\) converge pour \(x \gt 0\text{.}\)

\(\leadsto\) La fonction \(\Gamma\) est bien définie sur \(]0,+\infty[\text{.}\)

On va procéder par récurrence.

\(\boxed{n=0}\) On commence donc par calculer \(\Gamma(1)\text{,}\) dans l'espoir que ça fasse \(0!=1\text{.}\) On a

Bien.

\(\boxed{n \leadsto n+1}\) Supposons que \(\Gamma(n+1)= n!\) et montrons que \(\Gamma(n+2)=(n+1)!\text{.}\)

On calcule donc

\(\Gamma\) est donc une fonction qui "généralise" la factorielle pour les entiers.

Soit \(x \neq 0\text{.}\)

donc

On a donc

donc non, \(F\) n'est pas continue en 0.

On fixe \(t\in \R^+\text{.}\)

• Soit \(x_0 \gt 0\text{.}\) Alors au voisinage de \(x_0\text{,}\) \(f(x,t)=x^2e^{-tx}\text{.}\)

  \(\leadsto\) \(f\) admet une dérivée partielle par rapport à \(x\) en \((t,x_0)\) donnée par

  \begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial x}(t,x_0) = 2x_0 e^{-tx_0 }-tx_0 ^2e^{-tx_0 }=x_0 (2-tx_0 )e^{-x_0 t} \end{equation*}

• Soit \(x_0 \lt 0\text{.}\) On obtient de la même façon que \(f\) admet une dérivée par rapport à \(x\) en \((t,x_0)\) donnée par

  \begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial x_0}(t,x_0) = 2x_0e^{tx_0}+tx_0^2e^{tx_0}=x_0(2+tx_0)e^{x_0t} \end{equation*}

• Enfin, en \(x_0=0\text{,}\) on calcule le taux d'accroissement: soit \(h\neq 0\text{:}\)

  \begin{equation*} \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(t,h)-f(t,0)}{h-0} = \lim_{h\rightarrow 0} he^{-t|h|} =0 \end{equation*}

  donc \(f\) admet une dérivée partielle par rapport à \(x\) en \((t,0)\) donnée par

  \begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial x}(t,0)=0 \end{equation*}

En fin de compte, on obtient que \(\frac{\partial f}{\partial x}(t,x)\) existe pour tout \((t,x)\in \R^+ \times \R\text{.}\)

On a calculé

\(\leadsto\) \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(t,x)\) est continue sur \(\R^+ \times \R\text{.}\)

Soit \(x\neq 0\text{,}\) on calcule

et en \(x=0\) on a aussi \(F(0)=0\text{,}\) donc pour tout \(x\text{,}\) \(F(x)=|x|\text{.}\) Une fonction notoirement non dérivable en 0.

On a obtenu:

Donc, pour \(x=0\text{,}\) on a

Pour \(x \gt 0\text{,}\) en faisant une IPP, on trouve

Pour \(x \lt 0\text{,}\) on trouve de la même façon

Fixons \(x_0\in J\text{.}\) Alors \(0\leq |f_(t,x_0)|\leq g(t)\) et, par hypothèse, \(\displaystyle\int_I g(t)dt\) converge.

\(\leadsto\) Par le critère de comparaison, l'intégrale \(\displaystyle\int_I |f(t,x_0)|dt\) converge aussi, autrement dit \(\displaystyle\int_I f(t,x_0)dt\) converge absolument, donc converge.

Ceci étant vrai pour tout \(x_0\in J\text{,}\) on en déduit que la fonction \(F\) est bien définie sur \(J\text{.}\)

Donc, ce qu'on sait, c'est que \(\varphi(x)\xrightarrow[x\rightarrow x_0]{} \ell\text{,}\) autrement dit

et que \(x_n\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{}x_0\text{,}\) autrement dit:

Et ce qu'on veut montrer, c'est que

OK, plus qu'à mettre tout ça ensemble.

Soit donc \(\varepsilon\gt0\text{.}\) On cherche un entier \(n_0\) tel que, à partir de \(n_0\text{,}\) \(|\varphi(x_n)-\ell| \lt \varepsilon\text{.}\)

Puisque \(\varphi(x)\xrightarrow[x\rightarrow x_0]{} \ell\text{,}\) on sait qu'il existe \(\eta \gt 0\) tel que

En particulier, si \(|x_n-x_0|\lt \eta\) alors on a \(|\varphi(x_n)-\ell| \lt \varepsilon\text{.}\)

Mais justement, puisque \(x_n\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{}x_0\text{,}\) on sait aussi qu'il existe \(n_0\in\N\) tel que pour tout \(n\geq n_0\text{,}\)

Donc, en recollant les morceaux:

Autrement dit, \((y_n)_n\) converge vers \(\ell\text{,}\) comme souhaité.

On va montrer la contraposée de cette implication: supposons donc que \(\varphi\) ne tend pas vers \(\ell\) en \(x_0\text{,}\) c'est-à-dire

et ce qu'on veut trouver, c'est une suite de \(J\) qui tend vers \(x_0\) mais dont l'image par \(\varphi\) ne tend pas vers \(\ell.\)

Pour ça, on prend \(n\in\N^*\) et on utilise l'équation (2.1) avec \(\eta = \frac1n\text{:}\) ce que nous dit l'équation, c'est qu'il existe un \(x_n\in J\) tel que

mais

On obtient comme ça une suite \((x_n)_n\) qui vérifie, pour chaque \(n\text{,}\) ces deux inégalités. Or,

• La première inégalité nous dit que \((x_n)_n\) converge vers \(x_0\text{;}\)

• La deuxième nous dit que, par contre, la distance entre \(y_n=\varphi(x_n)\) est minorée par une constante positive \(\varepsilon_0\text{,}\) et donc ne devient pas plus petite quand \(n\) devient grand: autrement dit, \((y_n)_n\) ne tend pas vers \(\ell\text{.}\)

Donc, pour étudier la limite d'une fonction en un point, par exemple pour vérifier qu'elle est continue, on peut se raméner à l'étude de limites de suites: c'est ce qui va nous permettre d'utiliser la convergence dominée.

Soit donc \((x_n)_n\in J^\N\) une suite de \(J\) telle \(x_n\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{}x_0\text{.}\)

Posons, pour tout \(n\in\N\) et pour tout \(t\in I\text{,}\)

\(\leadsto\) C'est une suite de fonctions sur \(I\text{,}\) qui vérifie:

• Par continuité de la fonction à deux variables \(f\text{,}\) on a pour chaque \(t\in I\)

  \begin{equation*} f_n(t)=f(t,x_n) \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} f(t,x_0) \end{equation*}

  donc \((f_n)_n\) converge simplement sur \(I\) vers \(t\in\I \mapsto f(t,x)\text{;}\)

• Par l'hypothèse de domination, pour tout \(n\in \N\) et pour tout \(t\in I\text{,}\)

  \begin{equation*} |f_n(t)|= |f(t,x_n)| \leq g(t) \end{equation*}

  et \(g\) est intégrable sur \(I\text{.}\)

On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée:

Autrement dit, \(F(x_n) \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} F(x_0)\text{.}\)

On a donc montré que pour n'importe quelle suite \((x_n)_n\) de \(J\) qui tend vers \(x\text{,}\) \(F(x_n)\rightarrow F(x_0)\text{.}\)

D'après la caractérisation séquentielle de la limite, on en déduit que

ce qui est la définition de la contiuité de \(F\) en \(x_0\text{.}\)

Et il n'a rien de spécial, ce \(x_0\text{:}\) on peut faire ça avec n'importe quel élément de \(J\text{,}\) donc \(F\) est continue sur \(J\text{.}\)

Soit \(x_0\in J\text{.}\) Montrons que \(F\) est continue en \(x_0\text{.}\)

Par hypothèse, il existe \(V\subset J\) un voisinage de \(x_0\) et \(g_V\) définie et intégrable sur \(I\) tels que, pour tout \((t,x)\in I\times V,\ |f(t,x)|\leq g_V(t)\text{.}\)

Puisque \(V\) est un voisinage de \(x_0\text{,}\) il existe \(r\gt0\) tel que \(\,]\,x_0-r,x_0+r\,[\,\subset V\text{,}\) et on a donc, pour tout \((t,x)\in I \times \,]\,x_0-r,x_0+r\,[\,\text{,}\) \(|f(t,x)|\leq g_V(t)\text{.}\)

D'après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, on en déduit que

est continue; en particulier, elle est continue en \(x_0\text{.}\)

Donc \(F\) est continue en \(x_0\text{.}\)

On pose comme précédemment \(f(t,x)= t^{x-1}e^{-t}\text{,}\) définie pour \(x \gt0, t\gt 0\text{.}\)

\(\leadsto\) La fonction à deux variables \(f\) est continue sur \(\,]\,0,+\infty\,[\,\times \,]\,0,+\infty\,[\,\text{.}\)

Soit \(x_0 \gt0\text{.}\) Montrons que \(\Gamma\) est continue en \(x_0\text{.}\)

Soient \(a \lt b\) deux réels strictement positifs tels que \(x_0\in[a,b]\text{.}\) On va chercher \(g_{a,b}: \,]\,0,+\infty\,[\, \rightarrow \R^+\text{,}\) intégrable sur \(\,]\,0,+\infty\,[\,\) et telle que, pour tout \((t,x)\in \,]\,0,+\infty\,[\,\times[a,b]\text{,}\) \(|f(t,x)|\leq g_{a,b}(t).\)

Remarquons que

• Si \(0\lt t \leq 1\text{,}\) alors \(x\mapsto t^{x-1}=e^{(x-1)\ln(t)}\) est décroissante, donc pour tout \(x\in[a,b], t\in \,]\,0,1]\text{,}\)

  \begin{equation*} 0\lt t^{x-1} \leq t^{a-1} \end{equation*}

• D'un autre côté si \(t \gt 1\) alors \(x\mapsto t^{x-1}=e^{(x-1)\ln(t)}\) est croissante, donc pour tout \(x\in[a,b], t\in \,]\,1,+\infty\,[\,\text{,}\)

  \begin{equation*} 0\lt t^{x-1} \leq t^{b-1} \end{equation*}

Posons donc

Alors \(g_{a,b}\) est continue par morceaux, et, par les mêmes arguments qu'à l'Exercice 2.1, l'intégrale généralisée \(\displaystyle\int_0^{+\infty} g_{a,b}(t)dt\) converge.

\(\leadsto\) On en déduit que \(\Gamma\) est continue sur \([a,b]\) : en particulier, elle est continue en \(x_0\text{.}\)

Ceci étant vrai pour n'importe quel \(x_0 \gt 0\text{,}\) \(\Gamma\) est continue sur \(\,]\,0,+\infty\,[\,\text{.}\)

Exactement comme pour le Théorème 2.10, on fixe un \(x_0\in J\text{.}\) Alors notr hypothèse donne, pour tout \(t\in I\text{,}\)

et, toujours par hypothèse, l'intégrale généralisée

converge. Donc, par le critère de comparaison, l'intégrale généralisée

converge aussi, autrement dit \(\displaystyle\int_I \frac{\partial f}{\partial x}(t,x_0)dt\) converge absolument, donc converge.

Ceci étant vrai pour tout \(x_0\in J\text{,}\) on en déduit que la fonction \(F\) est bien définie sur \(J\text{.}\)

En reprenant la bonne vieille définition de la dérivabilité des fonctions réelles, on retrouve qu'une fonction \(F:J\rightarrow \R\) est dérivable en un point \(x_0\) ssi le taux d'accroissement en ce point, défini par:

a une limite quand \(x\rightarrow x_0\text{.}\)

Ce qui nous donne l'idée d'introduire une fonction taux d'accroissement

On va donc s'intéresser, pour \(x\neq x_0\) à

Mais comme on a vu dans la preuve du théorème de continuité, avec la caractérisation séquentielle de la limite:

ce qui nous amène à regarder, pour une suite \((x_n)_n\in(J\setminus\{x_0\})^\N\) qui converge vers \(x_0\text{,}\) la suite

ce qu'on va faire dans la question suivante.

Pour un \(t\in I\) donné, on sait que

Mais, d'après la caractérisation séquentielle de la limite, on peut en déduire que, pour notre suite \((x_n)_n\text{,}\)

autrement dit, pour chaque \(t\in I\text{,}\)

\(\leadsto\) La suite de fonctions \((h_n)_n\) converge simplement vers la fonction \(t\mapsto \dfrac{\partial f}{\partial x}(t,x_0)\text{.}\)

Par ailleurs, d'après le théorème des accroissements finis, si on fixe un \(t\in I\) et un \(n\in\N\text{,}\) on obtient qu'il existe \(y_n\in J\) tel que

donc

De là, notre hypothèse de domination nous donne, pour tout \(n\in\N\) et pour tout \(t\in I\text{,}\)

On peut donc utiliser le théorème de convergence dominée:

On a d'une part

et d'autre part

Et ces deux quantités sont égales, quelle que soit la suite \((x_n)_n\) (du moment qu'elle tend vers \(x_0\)). Donc au final, par la caractérisation séquentielle de la limite

ce qui revient à dire que \(F\) est dérivable en \(x_0\) et

Soit \(x_0\in J\text{,}\) alors (3') nous donne un voisinage \(V\) de \(x_0\) et une fonction \(g_V\)intégrable sur \(I\) tels que, pour tout \((t,x) \in I\times V\text{,}\)

Alors, d'après le théorème qu'on vient de démontrer, la fonction \(F_{|V}\) est dérivable en \(x_0\text{.}\) Mais du coup, la fonction \(F\) elle-même est dérivable en \(x_0\text{.}\)

Et comme on peut faire ça pour chaque \(x_0\in J\text{,}\) on en déduit que \(F\) est dérivable sur \(J\) tout entier, et sa dérivée est bien

Notons \(f:(t,x)\in \R_+^* \times \R_+^* \mapsto t^{x-1}e^{-t}= e^{(x-1)\ln(t)-t}\text{.}\) Alors, pour tout \(t\gt0\text{,}\) pour tout \(x\gt 0\text{,}\) la fonction \(x\mapsto f(t,x)\) est dérivable et on a

\(\leadsto\) C'est cette fonction qu'il s'agit de majorer indépendamment de \(x\text{.}\)

On va faire ça localement: soient \(a,b\in \R^*_+\) tels que \(a \lt x\lt b\text{.}\) Exactement comme à l'Exercice 2.7, on a

• Si \(0\lt t \leq 1\text{,}\) alors \(x\mapsto t^{x-1}=e^{(x-1)\ln(t)}\) est décroissante, donc pour tout \(x\in[a,b], t\in \,]\,0,1]\text{,}\)

  \begin{equation*} 0\lt t^{x-1} \leq t^{a-1} \end{equation*}

• D'un autre côté si \(t \gt 1\) alors \(x\mapsto t^{x-1}=e^{(x-1)\ln(t)}\) est croissante, donc pour tout \(x\in[a,b], t\in \,]\,1,+\infty\,[\,\text{,}\)

  \begin{equation*} 0\lt t^{x-1} \leq t^{b-1} \end{equation*}

Du coup, si on pose,

alors on a, pour tout \((t,x)\in\R_+^* \times [a,b]\text{,}\)

Pour vérifier l'hypothèse de domination locale (3'), il reste donc à vérifier que \(g_{a,b}\) est intégrable sur \(\lbb 0, +\infty \rbb\text{.}\) Pour ça, on doit montrer que les deux intégrales généralisées

sont convergentes. Or:

• \(\boxed{I_1}\) On a pris \(a\gt 0\text{,}\) donc \(1-a \lt 1\text{.}\) On peut donc prendre un \(c\) tel que \(1-a \lt c \lt 1\) et on a alors

  \begin{equation*} t^cg(t) = t^{a+c-1}|\ln(t)|e^{-t} \xrightarrow[t\rightarrow 0]{}0 \end{equation*}

  par croissances comparées. On en déduit, par la règle en \(t^\alpha\text{,}\) que \(I_1\) converge.

• \(\boxed{I_2}\) Pour tout \(t\geq 1\text{,}\) on a, par l'écrasant pouvoir de l'exponentielle⁵,

  \begin{equation*} t^2g(t)=t^{1+b}|ln(t)|e^{-t} \leq t^{2+b}e^{-t} \xrightarrow[t\rightarrow +\infty]{}0 \end{equation*}

  Donc, toujours par la règle en \(t^\alpha\text{,}\) \(I_2\) converge.

Donc \(g_{a,b}\) est intégrable sur \(\lbb 0,+\infty \rbb\text{,}\) et on peut appliquer notre théorème de dérivation.

On a donc obtenu que \(\Gamma\) est dérivable sur \(\R^*_+\) et

Remarque: On montre de la même façon que \(\Gamma\) est en fait \(\mathcal C^\infty\) sur \(\R_+^*\) et, pour tout \(k\in\N\text{,}\)

Ca tombe bien, on a un théorème pour ça !

On introduit la fonction

\(\leadsto\) C'est une fonction à deux variables continue sur \(\R_+\times \R\) et on a la majoration

pour tout \((t,x)\in\R_+ \times \R\text{.}\) Or, \(g:t\in\R^+ \mapsto e^{-t^2}\) est intégrable sur \(\R^+\)⁶.

D'après le théorème de continuité des intégrales généralisées, on en déduit que

est définie et continue sur \(\R\text{.}\)

A nouveau, on a un théorème pour ça, utilisons-le allègrement.

Pour tout \(t\geq 0\text{,}\) la fonction \(x\mapsto f(t,x)=\cos(2xt)e^{-t^2}\) est dérivable sur \(\R\text{,}\) et on a, pour tout \(x\in\R\text{,}\)

\(\leadsto\) La fonction \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) est continue sur \(\R_+\times \R\text{,}\) et vérifie la majoration

Or la fonction \(h:t\in \R_+\mapsto 2te^{-t^2}\) est intégrable sur \(\R^+\)⁷.

Donc, d'après le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètres, \(F\) est dérivable sur \(\R\) et

En appliquant la technique ancestrale de l'IPP, on calcule

ce qui est tout à fait satisfaisant.

Soit \(x\in\R\) tel que \(F(x)\neq 0\text{.}\) Puisque \(F\) est continue, il y alors un voisinage de \(x\) où \(F\) ne s'annule pas, et sur ce voisinage, on a

Or, d'après l'Exercice 2.3,

Donc pour tout \(x\) tel que \(F(x)\neq 0\text{,}\) \(F(x)=\dfrac{\sqrt \pi}2e^{-x^2}.\)

D'un autre côté, notons \(Z^-=\{x\lt 0, F(x)= 0\}\) et supposons que \(Z^-\neq \emptyset\text{.}\) On note alors \(\alpha = \sup Z^- \leq 0.\text{.}\) Prenons une suite \((z_n)_n\) de \(Z^-\) qui tend vers \(\alpha\text{.}\)

D'un autre côté, puisque \(F(0)\neq 0\text{,}\) l'ensemble \(\{x\in\ R, F(x)\neq 0\}\) n'est pas vide. Donc on doit pouvoir trouver une suite \((u_n)_n\) de réels tels que \(F(u_n)\neq 0\) et \(u_n \rightarrow \alpha\text{.}\) Mais du coup, vu que \(F\) est continue,

...ce qui est un problème. On en déduit que \(Z^-=\emptyset\) et on montre de la même façon que \(F\) ne s'annule pas sur \(\R^+\text{.}\)

Du coup, pour tout \(x\in\R\text{,}\)