Limites de suites et intégrales

Section 1 Limites de suites et intégrales

Subsection 1.1 Convergence simple et uniforme

Définition 1.1.

Soit \((f_n)_n\) une suite de fonctions définies sur un intervalle \(I\subset \mathbb R\text{.}\) On dit que \((f_n)\) converge simplement vers la fonction \(f:I\rightarrow \R\) si, pour tout \(x_0\in I\text{,}\) la suite réelle \((f_n(x_0))_n\) converge vers \(f(x_0)\text{.}\)

En quantificateurs:

\begin{equation*} \boxed{ \forall x_0 \in I, \forall \varepsilon >0, \exists N\in \N, \forall n\geq N, |f_n(x_0)- f(x_0)| \lt \varepsilon. } \end{equation*}

Remarque 1.2.

Pour montrer que \((f_n)_n\) converge simplement vers \(f\) sur \(I\text{,}\) on prend donc un élément quelconque \(x\in I\) et on montre que \(f_n(x)\rightarrow f(x)\text{,}\) tout simplement.

Définition 1.3.

On dit que \((f_n)\) converge uniformément vers la fonction \(f:I\rightarrow \R\) sur I si \(s_n=\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|\rightarrow 0\text{.}\)

Autrement dit, sur \(I\) tout entier, \(f_n\) reste à une distance inférieure à \(s_n\) de \(f\text{,}\) et \(s_n\) devient de plus en plus petit. En quantificateurs:

\begin{equation*} \boxed{\forall \varepsilon >0, \exists N\in \N, \forall n\geq N,\forall x_0 \in I, |f_n(x_0)- f(x_0)| \lt \varepsilon.} \end{equation*}

Remarque 1.4.

Du coup, pour montrer que \((f_n)_n)\) converge uniformément vers \(f\) sur \(I\text{,}\) on peut:

Etudier les variations de la fonction \(f_n-f\) sur \(I\) pour calculer \(\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|\text{.}\)
Majorer \(|f_n(x)-f(x)|\) par une suite \(u_n\) qui ne dépend pas de \(x\), et t.q \(u_n\xrightarrow{n\rightarrow \infty}0\text{.}\)

La convergence uniforme est plus "forte":

\begin{equation*} (f_n)_n \text{ cvu vers } f \text{ sur } I \Rightarrow (f_n)_n \text{ cvs vers } f \text{ sur } I \end{equation*}

Exercice A vous ! Convergence simple, uniforme, les deux ?

1.

Etudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions définies sur \(\R^+\) par

\begin{equation*} f_n:x\in \R^+ \mapsto x^2 \exp(-nx) \end{equation*}

Spoiler.

Convergence simple: Soit \(x\geq 0\text{,}\) on a

\begin{equation*} f_n(x)=x^2 \exp(-nx) \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} 0 \end{equation*}

\(\leadsto\) \((f_n)_n\) converge simplement vers la fonction nulle sur \(\R\text{.}\)
Convergence uniforme: Fixons \(n\in \N\text{.}\) On étudie les variations de \(|f_n-f|=f_n\text{:}\)

On calcule la dérivée de \(f_n\text{:}\)

\begin{equation*} f'_n(x)= 2xe^{-nx}-nx^2e^{-nx} \end{equation*}

D'où le tableau de variations

On en déduit que

\begin{equation*} \sup_{x\in \R^+} |f_n(x)| = f_n(\frac2n) = \frac{4e^{-2}}{n^2} \xrightarrow[n\nrightarrow +\infty]{}0 \end{equation*}

Donc la convergence est uniforme sur \(\R^+\text{.}\)

2.

Etudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions \((f_n)_n\) définie par:

\begin{align*} f_n: \mathbb{R}^+ \amp\rightarrow\mathbb{R}\\ x \amp \mapsto nxe^{-nx} \end{align*}

Indice.

Figure 1.5. Graphe des \(f_n\)

Spoiler.

Soit \(x\geq 0\text{,}\) alors deux cas se présentent:

Soit \(x=0\text{,}\) alors pour tout \(n\in\N\text{,}\) \(f_n(0)=0\rightarrow 0\text{;}\)
Soit \(x\lt0\text{,}\) alors par croissances comparées, \(f_n(x)=nxe^{-nx}\rightarrow 0\text{.}\)

donc la suite \((f_n)\) converge simplement vers la fonction nulle \(f:x\in\R^+\mapsto 0\text{.}\)

Pour déterminer si la convergence est uniforme, on regarde les variations de \(|f_n-f|=f_n\text{.}\)

On calcule \(f_n'(x)= ne^{-nx} - n^2xe^{-nx}=n(1-nx)e^{nx}\text{.}\)

On en déduit que pour chaque \(n\text{,}\) \(f_n\) est croissante sur \([0,\frac1n]\) et décroissante sur \(\left[\frac1n, +\infty\,\right[\,\) avec \(f(0)=0\) et \(\lim_{x\rightarrow\infty} f(x)=0\text{.}\)

On en déduit que

\begin{equation*} \sup_{x\in\R^+} |f_n(x)-f(x)|=f(\frac1n) = e^{-1} \nrightarrow 0 \end{equation*}

donc la convergence n'est pas uniforme.

3.

On considère la suite de fonctions \((f_n)\) définie, pour \(n\in\N^*\) par:

\begin{equation*} f_n:x\in \R \mapsto \begin{cases}0 \text{ si } x=0\\x^2 \sin\left(\frac{1}{nx} \right) \text{ si } x\neq0\end{cases} \end{equation*}

Montrer que sur \(\R\text{,}\) \((f_n)\) converge simplement, mais pas uniformément, vers une fonction \(f\) à déterminer.

Monter que pour tous \(a\lt b\text{,}\) \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\) sur \([a,b]\text{.}\)

Indice.

Figure 1.6. Graphe des \(f_n\)

Spoiler.

Soit \(x\in\R\text{,}\) alors deux cas se présentent:

Soit \(x=0\text{,}\) alors pour tout \(n\in\N\text{,}\) \(f_n(0)=0\rightarrow 0\text{;}\)
Soit \(x\neq 0\text{,}\) alors

\begin{align*} f_n(x)\amp = x^2 \sin\left(\frac{1}{nx} \right) \\ \amp=x^2\left(\frac{1}{nx}+ \frac{1}{3!n^3x^3}+o(\frac{1}{n^3x^3}) \right)\\ \amp=\frac{x}{n}+ \frac{1}{3!n^3x^2}+o(\frac{1}{n^3x^2}) \\ \amp \rightarrow 0\text{.} \end{align*}

donc la suite \((f_n)\) converge simplement vers la fonction nulle \(f:x\in\R\mapsto 0\text{.}\)

Pour déterminer si la convergence est uniforme, on cherche à majorer \(|f_n-f|=|f_n|\text{.}\)

Mais, pour \(n\) fixé, et \(x\neq 0\) remarquons qu'on a toujours

\begin{equation*} f_n(x)=\frac{x}{n}+ \frac{1}{3!n^3x^2}+o(\frac{1}{n^3x^2}) \end{equation*}

donc

\begin{equation*} \frac{|f_n(x)|}{\frac{|x|}{n}} =\left|1+\frac{1}{3!n^2x}+o(\frac{1}{n^2x}) \right| \xrightarrow[x\rightarrow \pm \infty] 1 \end{equation*}

autrement dit

\begin{equation*} |f_n(x)|\sim_{\pm\infty} \frac{|x|}{n} \end{equation*}

donc \(\lim_{n\rightarrow \infty} |f_n(x)|=+ \infty\text{,}\) donc \(|f_n|\) n'est pas bornée:

\begin{equation*} \sup_{x\in\R^+} |f_n(x)-f(x)|=+\infty \nrightarrow 0 \end{equation*}

Donc la convergence n'est pas uniforme sur \(\R\text{.}\)

Soient maintenant \(a\lt b\) deux réels. Alors, pour \(n\in\N^*\) fixé,¹

\begin{align*} |f_n(x)|\amp = x^2 \left|\sin\left(\frac{1}{nx}\right) \right|\\ \amp\leq x^2 \left|\frac{1}{nx}\right| = \frac{|x|}{n}\\ \amp \rightarrow 0 \end{align*}

donc

\begin{equation*} \sup_{x\in[a,b]} \leq \frac{\max(|a|,|b|)}{n}\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 0 \end{equation*}

donc la convergence de \((f_n)\) vers la fonction nulle est uniforme sur \([a,b]\text{.}\)

4.

On considère la suite de fonctions \((f_n)\) définie, pour \(n\in\N^*\) par:

\begin{equation*} f_n:x\in \R \mapsto \frac{1}{n^x} \in \mathbb{R} \end{equation*}

Montrer que sur \(\R\text{,}\) \((f_n)\) converge simplement, mais pas uniformément, vers une fonction \(f\) à déterminer.

Monter que pour tout \(a\gt 0\text{,}\) \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\) sur \([a,+\infty[\text{.}\)

Indice.

Figure 1.7. Graphe des \(f_n\)

Spoiler.

Soit \(x\in\R^+\text{,}\) alors deux cas se présentent:

Soit \(x=0\text{,}\) alors pour tout \(n\in\N\text{,}\) \(f_n(0)=1\rightarrow 1\text{;}\)
Soit \(x\lt 0\text{,}\) alors \(f_n(x)= n^{-x}\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 0\)

Donc \((f_n)_n\) converge simplement sur \(\R^+\) vers la fonction \(f:x\in\R^+ \mapsto\begin{cases} 1 \text{ si } x=0\\ 0 \text{ si } x\neq 0\end{cases}\text{.}\)

Pour tout \(n\in\N^*\text{,}\) \(f_n(x)=e^{-x \ln(n)}\) est continue en 0, tandis que \(f\) ne l'est pas: donc la convergence n'est pas uniforme.

Soit \(a \gt 0\text{.}\) Alors les \(f_n\) et \(f\) sont continues sur \([a, +\infty\,[\,\text{,}\) donc l'objection précédente ne s'applique pas.

Etudions donc les variations de \(|f_n - f |\) sur \([a, +\infty\,[\,\text{.}\) Sur cet intervalle, \(|f_n-f|=f_n\) et

\begin{equation*} f_n'(x)=-\ln(n)e^{-x \ln(n)} \leq 0 \end{equation*}

donc \(f_n\) est décroissante et

\begin{equation*} \sup_{x\in[a,+\infty\,[\,} |f_n(x)-f(x)| = f_n(a)= \frac1{n^a}\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 0 \end{equation*}

\(\leadsto\) La convergence de \((f_n)\) vers \(f\) est uniforme sur \([a,+\infty\,[\,\text{.}\)

Exercice Vrai ou Faux ?

1.

Supposons que la suite \((f_n)_n\) converge uniformément vers \(f\) sur un intervalle \(I\text{.}\) Soit \(J \subset I\) .

Alors \((f_n)_n\) converge uniformément vers \(f\) sur \(J\text{.}\)

True.
On remarque que

\begin{equation*} \sup_{x\in J} |f_n(x)-f(x)|\leq \sup_{x\in I} |f_n(x)-f(x)|\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 0 \end{equation*}

donc la convergence de \((f_n)\) vers \(f\) est uniforme sur \(J\text{.}\)
False.
On remarque que

\begin{equation*} \sup_{x\in J} |f_n(x)-f(x)|\leq \sup_{x\in I} |f_n(x)-f(x)|\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 0 \end{equation*}

donc la convergence de \((f_n)\) vers \(f\) est uniforme sur \(J\text{.}\)

Indice.

Comparer \(\sup_{x\in J} |f_n(x)-f(x)|\) et \(\sup_{x\in I} |f_n(x)-f(x)|\text{.}\)

2.

Supposons que la suite \((f_n)_n\) converge simplement vers \(f\) sur un intervalle \(I\text{.}\)

On suppose que, pour chaque \(n\in \mathbb N\text{,}\) \(f_n\) est bornée sur \(I\) par \(56\pi^2\text{.}\) Alors \(f\) est bornée sur \(I\text{.}\)

True.
Soit \(x \in I\text{.}\) On a donc, pour tout \(n\in\N\text{,}\)

\begin{equation*} |f_n(x)| \leq 56\pi^2 \end{equation*}

En passant à la limite quand \(n\rightarrow \infty\text{,}\) on trouve donc

\begin{equation*} |f(x)|\leq 56\pi^2 \end{equation*}

Comme c'est vrai pour tout \(x\in I\text{,}\) on en déduit que \(f\) est bornée sur \(I\text{.}\)
False.
Soit \(x \in I\text{.}\) On a donc, pour tout \(n\in\N\text{,}\)

\begin{equation*} |f_n(x)| \leq 56\pi^2 \end{equation*}

En passant à la limite quand \(n\rightarrow \infty\text{,}\) on trouve donc

\begin{equation*} |f(x)|\leq 56\pi^2 \end{equation*}

Comme c'est vrai pour tout \(x\in I\text{,}\) on en déduit que \(f\) est bornée sur \(I\text{.}\)

Indice.

Tous en choeur: passage à la limite dans les inégalités larges !

3.

Supposons que la suite \((f_n)_n\) converge simplement vers \(f\) sur un intervalle \(I\text{.}\)

On suppose que, pour chaque \(n\in \mathbb N\text{,}\) \(f_n\) est bornée sur \(I\text{.}\) Alors \(f\) est bornée sur \(I\text{.}\)

True.
Tout ce qu'on sait, c'est que, pour chaque \(n\in\N\text{,}\) il existe une constante \(M_n\) telle que:

\begin{equation*} \forall x\in I,\ |f_n(x)\leq M_n \end{equation*}

mais on ne peut pas passer à la limite dans cette inégalité, car \(M_n\) dépend, a priori, de \(n\) et on ne sait pas vers quoi tend \(M_n\text{,}\) ni même si la limite existe.

Par exemple, si \(f_n\) est définie sur \([0,1]\) par

\begin{equation*} f_n(x)=\begin{cases} 0 \text{ si } x\lt \frac1n\\ \frac1x \text{ si } \frac1n \leq x \leq 1\end{cases} \end{equation*}

Alors, pour \(x\in ]0,1]\) fixé, il existe \(n_0\) tel que \(x \gt \frac{1}{n_0}\) donc, pour tout \(n\geq n_0\text{,}\) \(f_n(x)=\frac1x \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} \frac1x\text{.}\)

Autrement dit, la suite de fonctions \((f_n)\) converge simplement vers \(f(x)=\frac1x\) sur \(]0,1]\text{.}\)

Et pourtant, pour tout \(x\in ]0,1]\text{,}\) \(f_n(x)\leq f_n(\frac1n)=n\) donc \(f_n\) est bornée sur \(]0,1]\text{,}\) mais \(f(x)=\frac1x\) n'est pas bornée sur \(]0,1]\text{.}\)
False.
Tout ce qu'on sait, c'est que, pour chaque \(n\in\N\text{,}\) il existe une constante \(M_n\) telle que:

\begin{equation*} \forall x\in I,\ |f_n(x)\leq M_n \end{equation*}

mais on ne peut pas passer à la limite dans cette inégalité, car \(M_n\) dépend, a priori, de \(n\) et on ne sait pas vers quoi tend \(M_n\text{,}\) ni même si la limite existe.

Par exemple, si \(f_n\) est définie sur \([0,1]\) par

\begin{equation*} f_n(x)=\begin{cases} 0 \text{ si } x\lt \frac1n\\ \frac1x \text{ si } \frac1n \leq x \leq 1\end{cases} \end{equation*}

Alors, pour \(x\in ]0,1]\) fixé, il existe \(n_0\) tel que \(x \gt \frac{1}{n_0}\) donc, pour tout \(n\geq n_0\text{,}\) \(f_n(x)=\frac1x \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} \frac1x\text{.}\)

Autrement dit, la suite de fonctions \((f_n)\) converge simplement vers \(f(x)=\frac1x\) sur \(]0,1]\text{.}\)

Et pourtant, pour tout \(x\in ]0,1]\text{,}\) \(f_n(x)\leq f_n(\frac1n)=n\) donc \(f_n\) est bornée sur \(]0,1]\text{,}\) mais \(f(x)=\frac1x\) n'est pas bornée sur \(]0,1]\text{.}\)

Indice.

Considérer la suite de fonctions suivante:

Figure 1.8. Graphe de \(f_n\)

4.

Supposons que la suite \((f_n)_n\) converge uniformément vers \(f\) sur un intervalle \(I\text{.}\) On suppose que \(f\) est bornée sur \(I\text{.}\) Alors il existe \(n_1\in \mathbb \N\) tel que, pour tout \(n\geq n_1\text{,}\) la fonction \(f_n\) est bornée sur \(I\text{.}\)

True.
Puisque \((f_n)_n\) converge uniformément vers \(f\text{,}\) on a

\begin{equation*} \sup_{x\in I} |f_n(x)-f(x)| \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 0 \end{equation*}

donc, pour tout \(\varepsilon \gt 0\text{,}\) il existe un rang \(n_\varepsilon \in \N\) tel que, pour tout \(n\geq n_\varepsilon\text{,}\)

\begin{equation*} \sup_{x\in I} |f_n(x)-f(x)| \leq \varepsilon \end{equation*}

En particulier, pour \(\varepsilon =1 \text{,}\) on trouve qu'il existe \(n_1\) tel que pour tout \(n\geq n_1\text{,}\)

\begin{equation*} \sup_{x\in I} |f_n(x)-f(x)| \leq 1 \end{equation*}

Mais du coup, pour \(n\geq n_1\) et pour tout \(x \in I\text{,}\)

\begin{equation*} f(x)-1 \leq f_n(x) \leq 1+f(x) \end{equation*}

Or, \(f\) est bornée: il existe \(M\gt 0\) tel que pour tout \(x\in I\text{,}\) \(-M\leq f(x)\leq M\text{,}\) donc, pour tout \(x\in I\text{,}\)

\begin{equation*} -(M+1) \leq f_n(x) \leq M+1 \end{equation*}

Donc, pour tout \(n\geq n_1,\text{,}\) \(f_n\) est bien bornée sur \(I\text{.}\)
False.
Puisque \((f_n)_n\) converge uniformément vers \(f\text{,}\) on a

\begin{equation*} \sup_{x\in I} |f_n(x)-f(x)| \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 0 \end{equation*}

donc, pour tout \(\varepsilon \gt 0\text{,}\) il existe un rang \(n_\varepsilon \in \N\) tel que, pour tout \(n\geq n_\varepsilon\text{,}\)

\begin{equation*} \sup_{x\in I} |f_n(x)-f(x)| \leq \varepsilon \end{equation*}

En particulier, pour \(\varepsilon =1 \text{,}\) on trouve qu'il existe \(n_1\) tel que pour tout \(n\geq n_1\text{,}\)

\begin{equation*} \sup_{x\in I} |f_n(x)-f(x)| \leq 1 \end{equation*}

Mais du coup, pour \(n\geq n_1\) et pour tout \(x \in I\text{,}\)

\begin{equation*} f(x)-1 \leq f_n(x) \leq 1+f(x) \end{equation*}

Or, \(f\) est bornée: il existe \(M\gt 0\) tel que pour tout \(x\in I\text{,}\) \(-M\leq f(x)\leq M\text{,}\) donc, pour tout \(x\in I\text{,}\)

\begin{equation*} -(M+1) \leq f_n(x) \leq M+1 \end{equation*}

Donc, pour tout \(n\geq n_1,\text{,}\) \(f_n\) est bien bornée sur \(I\text{.}\)

Indice.

A partir d'un certain rang, pour tout \(x\in I\text{,}\) \(|f_n(x)-f(x)|\leq 1\text{.}\) Peut on-en déduire une majoration de \(|f_n(x)|\) ?

Subsection 1.2 Permutation limite/intégrale sur un segment

Théorème 1.9.

Soit \((f_n)_n\) une suite de fonctions intégrables sur \([a,b]\) (fermé borné).

Si \((f_n)_n\) converge uniformément vers \(f\) que \([a,b]\text{,}\) alors \(f\) est intégrable et

\begin{equation*} \boxed{ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^bf_n(t)dt = \int_a^bf(t)dt } \end{equation*}

Remarque 1.10.

⚠ La convergence simple ne suffit pas:

Contre-exemple: Posons \(f_n=nxe^{-n\frac{x^2}2}\text{.}\) Calculer

\begin{equation*} \int_0^1 (\lim_{n\rightarrow \infty} f_n(t))\,dt \text{ et } \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(t)dt \end{equation*}

Spoiler.

D'une part,

\begin{align*} \int_0^1 f_n(t)dt\amp= \int_0^1 nte^{-n\frac{t^2}2}dt\\ \amp = [e^{-n\frac{t^2}2}]_0^1= 1-e^{-\frac{n}2}\\ \amp \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{}1 \end{align*}

Donc

\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(t)dt =1 \end{equation*}

D'un autre côté, pour tout \(x\in [0,1]\text{,}\) \(f_n=nxe^{-n\frac{x^2}2} \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 0\text{,}\) donc \((f_n)_n\) converge simplement vers la fonction nulle sur \([0,1]\text{.}\) Donc

\begin{equation*} \int_0^1 (\lim_{n\rightarrow \infty} f_n(t))\,dt =0 \end{equation*}

⚠ Ce n'est vrai que sur un intervalle borné:

Contre-exemple: Posons \(f_n = \frac 1n 1_{[0,n]}\text{.}\) Montrer que \((f_n)_n\) converge uniformément sur \(\R^+\text{,}\) puis calculer

\begin{equation*} \int_0^{+\infty} (\lim_{n\rightarrow \infty} f_n(t))\,dt \text{ et } \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^{+\infty} f_n(t)dt \end{equation*}

Spoiler.

Pour tout \(x\in\R^+\text{,}\) il existe \(n_0\) tel que \(x\leq n_0\text{.}\) Mais alors pour tout \(n\geq n_0\text{,}\)\(x\in[0,n]\) donc \(f_n(x)=\frac1n \xrightarrow[n\rightarrow \infty] 0\text{.}\)

\(\leadsto\) \((f_n)_n\) converge simplement vers la fonction nulle. On a donc

\begin{equation*} \int_0^{+\infty} (\lim_{n\rightarrow \infty} f_n(t))\,dt = \int_0^{+\infty}0 dt = 0 \end{equation*}

De plus,

\begin{equation*} \sup_{x\in\R^+}|f_n(x)-f(x)| = \sup_{x\in \R^+}f_n(x)=\frac1n \xrightarrow[n\rightarrow \infty] 0 \end{equation*}

donc la convergence est uniforme.

Mais d'un autre côté, pour chaque \(n\in \N\text{,}\)

\begin{equation*} \int_0^{+\infty} f_n(t)dt = \int_0^n \frac1n dt = \frac1n \cdot(n-0) = 1 \end{equation*}

donc

\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^{+\infty} f_n(t)dt=1 \end{equation*}

Exercice 1.1.

On s'intéresse à la suite de fonctions \((f_n)_n\) définie par

\begin{equation*} f_n(x):x\in \R \mapsto \frac{x^2}{1+nx^2} \end{equation*}

Figure 1.11. Graphe de \(f_n\)

(a)

Etudier la convergence simple et uniforme de \((f_n)_n\) sur \(\R\text{.}\)

Spoiler.

(b)

En déduire

\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(t)dt \end{equation*}

Spoiler.

(c)

Calculer \(\int_0^1 f_n(t)dt\) et retrouver ce résultat.

Spoiler.

(d)

L'intégrale \(\int_0^{\infty} f_n(t)dt\) est-elle convergente ?

Spoiler.

Subsection 1.3 Permutation limite/intégrale pour les intégrales généralisées

Théorème 1.12. Petit théorème de convergence dominée.

Soit \((f_n)_n\) une suite de fonctions localement intégrables sur un intervalle \(I\) ².

On suppose que

\((f_n)_n\) cv simplement vers \(f\) sur \(I\text{;}\)
Il existe une fonction positive \(g:I\rightarrow\R^+\) telle que \(|f_n(t)|\leq g(t)\) pour tout \(n\) et pour tout \(t\text{;}\)
L'intégrale généralisée \(\int_I g(t)dt\) converge.

Alors les fonctions \(f_n\) et \(f\) sont aussi intégrables sur \(I\) et on a

\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty}\int_I f_n(t)dt = \int_I f(t)dt \end{equation*}

Exercice 1.2. Petite preuve du petit théorème de convergence dominée.

Bien que "petit", ce théorème n'est pas facile à montrer et la preuve complète nous montrera la voie vers la théorie de la mesure.

On va donc commencer par un cas plus simple, en ajoutant une hypothèse.

Supposons donc

\((f_n)_n\) cv simplement vers \(f\) sur \(I\text{,}\) et de plus, que la convergence est uniforme sur tout segment \([a,b]\subset I\text{.}\)
Il existe une fonction positive \(g:I\rightarrow\R^+\) telle que \(|f_n(t)|\leq g(t)\) pour tout \(n\) et pour tout \(t\text{;}\)
L'intégrale généralisée \(\int_I g(t)dt\) converge;

et montrons que, dans ce cas un peu décevant, on obtient que les fonctions \(f_n\) et \(f\) sont aussi intégrables sur \(I\) et on a

\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty}\int_I f_n(t)dt = \int_I f(t)dt \end{equation*}

(a)

On suppose que \(I\) est de la forme \(I=[a,p[\text{,}\) où \(p\in \R\cup \{+\infty\}\text{.}\)

Justifier que les intégrales généralisées \(\int_a^p f_n(t)dt\) et \(\int_a^p f(t)dt\) convergent.

Spoiler.

(b)

Soit \(\varepsilon \gt 0\text{.}\) Montrer qu'il existe \(b\in ]a,p[\) tel que

\begin{equation*} \int_b^p g(t) dt \lt \frac{\varepsilon}{3} \end{equation*}

Indice.

Qu'est-ce que ça signifie, déjà, "l'intégrale généralisée de \(g\) sur \([a,p[\) converge" ?

Je crois qu'il y a une histoire de limite là-dedans...

Spoiler.

(c)

En déduire que, pour tout \(n\in\N\text{,}\)

\begin{equation*} \left|\int_a^p f_n(t) dt - \int_a^p f(t) dt\right| \lt \int_a^b |f_n(t)-f(t)|dt +\frac{2\varepsilon}3 \end{equation*}

Indice.

Utilisez les sortilèges "Chasles Relatio" et "Croissantia Integralia", dans cet ordre.

Spoiler.

(d)

Montrer qu'il existe \(n_0\in\N\) tel que, pour tout \(n\geq n_0\text{,}\)

\begin{equation*} \int_a^b |f_n(t)-f(t)|dt \lt \frac{\varepsilon}3 \end{equation*}

Bonus: Prendre une minute pour en remarquer avec satisfaction qu'on a, au passage, démontré le Théorème 1.9 de permutation limite/intégrale sur un segment.

Indice.

C'est un bon moment pour se souvenir de notre hypothèse supplémentaire.

Spoiler.

(e)

Conclure triomphalement.

Bonus: Se rendre à l'annexe Annexe A pour la preuve complète.

Spoiler.

Voyons maintenant quelques exemples d'applications:

Exercice Applications du Théorème de Convergence Dominée

1.

Calculer

\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^{+\infty} \frac1{(1+t^2)^n} dt \end{equation*}

Indice.

Figure 1.13. Graphe de \(f_n\)

Spoiler.

2.

Calculer

\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^{\frac{\pi}2} \sin(t)^n dt \end{equation*}

Indice.

Figure 1.14. Graphe de \(f_n\)

Spoiler.

3.

Soit \(f:[0,1]\rightarrow \R\) une fonction continue. Calculer

\begin{equation*} \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^1 f(t^n) dt \end{equation*}

Spoiler.

4.

On reconsidère la suite \(f_n=\frac1n 1_{[0,n]}\) sur \(\R^+\text{.}\)

Montrer qu'il n'existe pas de fonction \(g\) positive, intégrable sur \(\R^+\text{,}\) telle que, pour tout \(n\in\N\) et pour tout \(x\in\R^+\text{,}\) \(|f_n(x)|\leq g(x)\text{.}\)

Spoiler.

Subsection 1.4 Intégration d'une série de fonctions sur \([a,b]\)

Séries de fonctions

Soit \((f_n)_n\) une suite de fonctions sur \(I=[a,b]\text{.}\) On définit une nouvelle suite de fonctions \((S_n)_n\) par

\begin{equation*} S_n(x)=\sum_{k=0}^n f_n(x) \end{equation*}

\(\leadsto\) \((S_n)_n\) est la série de terme général \(f_n\text{.}\)

Théorème 1.15.

Supposons que

Pour tout \(n\text{,}\) \(f_n\) est intégrable sur \([a,b]\text{;}\)
\((S_n)_n\) converge uniformément vers \(S=\sum_{n\in \N} f_n\text{.}\)

Alors la série \(\displaystyle \sum_n \left(\int_a^b f_n(t)dt\right)\)³ converge et on a:

\begin{equation*} \sum_n \int_a^b f_n(t)dt = \int_a^b S(t)dt = \int_a^b \left(\sum_n f_n(t) \right)dt \end{equation*}

Exercice 1.3.

Posons, pour tout \(n\in \N\text{,}\) et pour \(t\in \left[0, \frac12 \right]\text{,}\) \(f_n(t)=t^n\text{.}\) On s'intéresse à la série de t.g. \((f_n)_n\text{:}\)

\begin{equation*} S_n(t)=\sum_{k=0}^n f_k(t) \end{equation*}

(a)

Pour \(n\in\N\text{,}\) calculer \(S_n(t)\) et en déduire que la suite \((S_n(t))_n\) converge simplement sur \(\left[0, \frac12 \right]\) vers une fonction \(S\) à déterminer.

Spoiler.

On a pour tout \(n\in\N\) et pour tout \(t\in \left[0, \frac12 \right]\text{,}\)

\begin{equation*} S_n(t) = \sum_{k=0}^n t^k = \frac{1-t^{n+1}}{1-t} \end{equation*}

donc

\begin{equation*} S_n(t)\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} \frac1{1-t} := S(t) \end{equation*}

(b)

Montrer que pour tout \(n\in\N\) et pour tout \(t\in \left[0, \frac12 \right]\text{,}\)

\begin{equation*} |S_n(t)-S(t)|\leq \frac1{2^n} \end{equation*}

Spoiler.

On a, pour tout \(t\in \left[0, \frac12 \right]\text{,}\)

\begin{equation*} |S_n(t)-S(t)|= \left|\frac{t^{n+1}}{1-t}\right|\leq \frac{1/2^{n+1}}{1/2}=\frac1{2^n} \end{equation*}

(c)

En déduire que \((S_n)\) converge uniformément vers \(S\) sur \(\left[0, \frac12 \right]\text{.}\)

Spoiler.

On a donc

\begin{equation*} \sup_{t\in [0,\frac12]}|S_n(t)-S(t)|\leq \frac1{2^n}\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} 0 \end{equation*}

donc la convergence est uniforme.

(d)

En déduire que pour tout \(x\in [0,1/2]\text{,}\)

\begin{equation*} \ln(1-x) = -\sum_{n\in \N} \frac{x^{n+1}}{n+1} \end{equation*}

Spoiler.

En appliquant le théorème de permutation somme/intégrale sur \([0,x]\text{,}\) on trouve

\begin{equation*} \int_0^x S(t)dt = \sum_{n\in\N}\int_0^x f_n(t)dt, \end{equation*}

ce qui donne

\begin{align*} \amp\int_0^x\frac1{1-t}dt = \sum_{n\in \N}\int_0^x t^ndt\\ \Leftrightarrow \amp -\ln(1-x) = \sum_{n\in \N} \frac{x^{n+1}}{n+1} \end{align*}

Ce théorème s'applique en particulier si \((S_n)_n\) converge normalement:

Définition 1.16.

On dit que la série \((S_n)_n\) de terme général \(f_n\) converge normalement si, pour tout \(x\in I\text{,}\) on a

\(|f_n(x)|\leq u_n\text{,}\) où \((u_n)\in \R^\N\) ne dépend pas de \(x\);
la série (réelle) de terme général \(u_n\) converge.

Remarque 1.17.

Cela revient à dire que la série de terme général \(s_n=\sup_I|f_n(x)|\) converge.

Théorème 1.18.

Si la série de terme général \(f_n\) converge normalement, alors elle converge uniformément.

Exercice 1.4.

Soit \(0\lt a \lt 1\text{.}\) On pose, pour \(n\in\N,x\in[0,1]\text{,}\)

\begin{equation*} f_n(x)=(-1)^n\dfrac{x^{n+a-1}}{n!} \end{equation*}

On s'intéresse à la convegence de la série de t.g. \((f_n)_n\text{:}\)

\begin{equation*} S_n(x)= \sum_{k=0}^n f_n(x)= \sum_{k=0}^n(-1)^n\dfrac{x^{n+a-1}}{n!} \end{equation*}

(a)

Montrer que la série de terme général \(S_n\) converge normalement.

Spoiler.

Soient \(x\in [0,1],n\in\N\text{,}\) on a

\begin{equation*} |f_n(x)|=\dfrac{x^{n+a-1}}{n!}\leq \dfrac{1}{n!} \end{equation*}

Or, la série de terme général \(\frac1{n!}\) converge, donc \((S_n)_n\) converge normalement.

(b)

Notons \(S(x)=\sum_{n\in\N}f_n(x)\text{.}\) Montrer que

\begin{equation*} \int_0^1 t^{a-1}e^{-t} dt = \sum_{n\in \N} \frac{(-1)^n}{n!(n+a)} \end{equation*}

Spoiler.

En utilisant la convergence normale, on a donc

\begin{align*} \amp \int_0^1 S(t)dt = \sum_{n\in \N} \int_0^1 f_n(t)dt\\ \Leftrightarrow \amp \int_0^1 \sum_{n\in \N}(-1)^n\dfrac{t^{n+a-1}}{n!} dt = \sum_{n\in \N} \int_0^1 (-1)^n\dfrac{t^{n+a-1}}{n!}dt\\ \Leftrightarrow \amp \int_0^1 t^{a-1}\sum_{n\in \N}(-1)^n\dfrac{t^{n}}{n!} dt = \sum_{n\in \N} \frac{(-1)^n}{n!} \left[\frac{t^{n+a}}{n+a}\right]_0^1\\ \Leftrightarrow \amp \int_0^1 t^{a-1}e^{-t} dt = \sum_{n\in \N} \frac{(-1)^n}{n!(n+a)} \end{align*}

Subsection 1.5 Intégrale généralisée d'une série de fonctions

Soit \(I\) intervalle quelconque. Quand peut-on intervertir \(\sum_{n\in\N}\) et \(\int\) ?

Théorème 1.19. Intégration terme à terme.

Supposons que:

\((S_n)_n\) converge simplement vers \(S=\sum_{n\in \N} f_n\text{;}\)
Les \(f_n\) et \(S\) sont continues par morceaux sur \(I\) (et donc, en particulier, localement intégrables sur \(I\))
La série (réelle) de t.g. \(\displaystyle\int_I |f_n(t)|dt\) est convergente.

Alors l'intégrale généralisée \(\int_I S(t) dt\) est convergente, la série \(\sum_n \int_I f_n(t)dt\) est convergente, et

\begin{equation*} \sum_n \int_I f_n(t)dt = \int_I S(t)dt = \int_I \left(\sum_n f_n(t) \right)dt \end{equation*}

Voyons tout de suite un exemple:

Exercice 1.5.

(a)

En appliquant le théorème précédent à la suite de fonctions

\begin{equation*} f_n: t \in ]0,+\infty\,[\, \mapsto te^{-nt}, \end{equation*}

démontrer que

\begin{equation*} \int_0^{+\infty} \frac{t}{e^t-1}dt = \sum_{n\geq 1} \frac1{n^2} \end{equation*}

Bonus: Ca fait combien, du coup ?

Indice 1.

Pour quels \(n\in\N\) la fonction \(|f_n|\) est-elle intégrable sur \(]0,+\infty\,[\,\) ? Peut-on calculer son intégrale ?

Pour quels \(t\in \R\) la série \(S(t)=\sum f_n(t)\) converge-t-elle ? Peut-on la calcuer ?

Indice 2.

Pour calculer \(\int_0^{+\infty}|f_n(t)| dt\text{:}\) IPP

Pour calculer \(S(t)\text{,}\) remarquer que \(e^{-nt}=(e^{-t})^n\text{.}\)

Spoiler.

Remarquons d'abord que, pour \(n=0\text{,}\) on a \(f_0(t)=t\text{,}\) donc l'intégrale de \(f_0\) sur \(\R^+\) ne converge pas.

Pour pouvoir utiliser notre théorème, on va donc regarder la série de fonctions \(\sum_{n\geq 1} f_n(t)\text{.}\)

D'autre part, pour \(n\in\N^*\) et \(t\geq 0\text{,}\) posons \(S_n(t)= \sum_{k=1}^n f_k(t)\text{.}\) Alors on peut calculer

\begin{equation*} S_n(t) \amp = \sum_{k=1}^n te^{-kt}=t \sum_{k=1}^n (e^{-t})^k \end{equation*}

\(\leadsto\) Il s'agit de la somme des \(n\) premiers termes d'une suite géométrique...ou presque, puisque la somme commence à 1. On peut donc calculer

\begin{align*} S_n(t)\amp = t \sum_{k=1}^n (e^{-t})^k =t e^{-t}\sum_{k=1}^n (e^{-t})^{k-1} \\ \amp= t e^{-t}\sum_{j=0}^{n-1} (e^{-t})^j\\ \amp= t e^{-t}\frac{1-(e^{-t})^n}{1-e^{-t}}\\ \amp=\frac{t}{e^t-1}(1-(e^{-t})^n) \end{align*}

Or, pour tout \(t\gt0\text{,}\) \(e^{-t}\lt 1\) donc \((e^{-t})^n\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}0\text{.}\)

Autrement dit, pour tout \(t\in\,]0,+\infty\,[\,\text{,}\) la série de terme général \(f_n(t)\) converge et la suite de fonctions \(S_n(t)\) converge simplement vers

\begin{equation*} S(t)=\sum_{n\geq 1} f_n(t) = \frac{t}{e^t-1} \end{equation*}

\(\leadsto\) La première hypothèse du Théorème 1.19 est vérifiée.

On vérifie de plus que les \(f_n\) et \(S\) sont toutes continues sur \(\,]\,0,+\infty\,[\,\text{.}\) La deuxième hypothèse du Théorème 1.19 est donc aussi vérifiée.

Reste à s'assurer de la convergence de la série numérique \(\displaystyle \sum\int_0^{+\infty} |f_n(t)|dt\text{.}\) On commence par calculer, par une IPP:

\begin{align*} \int_0^{+\infty} |f_n(t)|dt \amp = \int_0^{+\infty} te^{-nt} dt\\ \amp = \underbrace{\left[t\frac{e^{-nt}}{-n}\right]_0^{+\infty}}_{=0} + \frac 1n \int_0^{+\infty}e^{-nt} dt \\ \amp= \frac1n \left[\frac{e^{-nt}}{-n}\right]_0^{+\infty}\\ \amp=\frac1{n^2} \end{align*}

\(\leadsto\) Or, la série de terme général \(\frac1{n^2}\) est bien convergente, donc la dernière hypothèse du théorème est vérifiée.

On en déduit que \(S\) est intégrable sur \(\,]\,0,+\infty\,[\,\) et que

\begin{equation*} \int_0^{+\infty} S(t) dt = \sum_{n\geq 1} \int_0^{+\infty} f_n(t)dt \end{equation*}

ce qui donne

\begin{equation*} \int_0^{+\infty} \frac{t}{e^t-1} dt = \sum_{n\geq 1} \frac1{n^2} \end{equation*}

Et cette dernière somme vaut \(\displaystyle\frac{\pi^2}6\)⁴.

en utilisant que, par le TAF, pour tout \(t\in\R,|sin(t)|\leq |t|\)

Autrement dit, pour tout segment \([a,b]\subset I\text{,}\) pour tout \(n\in\N\text{,}\) \(f_n\) est intégrable sur \([a,b]\text{.}\)

C'est une série de réels, du coup

carolinevernier.website/pretext_analyse_l2/basel_pb.html