Intégrales, limites et intégrales doubles

Subsubsection 3.2.1 Cas 1: \(D\) est un rectangle \([a,b]\times[c,d]\)

Soit \(f:[a,b]\times [c,d]\rightarrow \R\) une fonction continue.

Comme on a vu, si on fixe \(y_0\in [c,d]\text{,}\) on obtient une fonction continue à une seule variable sur \([a,b]\text{:}\)

\(\leadsto\) Et ça, on sait l'intégrer !

Exemple :

Pour \(f(x,y)=1+x^2 + sin(3y)\text{,}\) si on fixe \(y_0=1\text{,}\) on obtient la fonction

En faisant ça, d'après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, on obtient une fonction continue

\(\leadsto\) Cette fonction est intégrable sur \([c,d]\text{:}\) on peut donc définir

D'un autre côté, toujours par le théorème de continuité des intégrales à paramètres, la fonction

est également continue, donc intégrable, sur \([a,b]\) ce qui donne

Exemple : Pour \(f(x,y)=1+x^2 + \sin(3y)\text{,}\) si on fixe \(x_0=2\text{,}\) on obtient la fonction

Graphiquement, on a fait ça :

\(\hookrightarrow\)Question Mais du coup, laquelle est la bonne ?

\(\leadsto\) Les deux !

Donc, sur un rectangle³, on peut intégrer en commençant par n'importe quelle variable.

Exemple: on obtient donc

Subsubsection 3.2.2 Applications aux probabilités

Les intégrales simples permettent de déterminer l'espérance, la variance, la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle \(X\text{.}\)

De la même façon, les intégrales doubles permettent de décrire les couples de variables aléatoires \((X,Y)\text{,}\) et plus généralement, les intégrales multiples permettent d'étudier les vecteurs aléatoires.

Par exemple, un couple de variables aléatoires \((X,Y)\) a pour densité \(f:\R^2\rightarrow\R\) si, pour \(D\subset\R^2\text{,}\)

Dans l'autre sens, si \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires réelles indépendantes, de densité respectives \(f_X\) et \(f_Y\text{,}\) alors la densité du couple \((X,Y)\) est donnée par \(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\text{.}\)

Le corollaire de Fubini permet alors de montrer que

Lois marginales

Soit \((X,Y)\) un couple de v.a., de densité \(g:\R^2 \rightarrow \R\text{.}\)

Autrement dit, pour \(D\subset \R^2\text{,}\) on a

Mais du coup, la fonction de répartition de \(X\) est donnée par

\(\leadsto\) On en déduit que la densité de la variable aléatoire \(X\) est

De même, la densité de \(Y\) est donnée par l'intégrale à paramètre

Exercice 3.2.

Soit un couple de variables aléatoires \((X,Y)\) de densité conjointe donnée par

\begin{equation*} g(x,y) = \begin{cases} e^{-x} \text{ si } (x,y) \in D= \{(x,y) \in \R^2, 0 \leq y \leq x\} \\ 0 \text{ sinon} \end{cases} \end{equation*}

(a)

Montrer que \(g\) est bien une densité de probabilités.

Indice.

Il s'agit donc de vérifier que

\begin{equation*} \iint_{\R^2} g(x,y)dxdy = 1 \end{equation*}

Spoiler.

On calcule

\begin{align*} \iint_{\R^2} g(x,y)dxdy \amp = \iint_D e^{-x}\,dxdy\\ \amp = \int_0 ^{+\infty}\int_0^x e^{-x}\,dydx\\ \amp = \int_0 ^{+\infty}e^{-x}\int_0^x 1 \,dydx\\ \amp = \int_0 ^{+\infty}xe^{-x}\,dx\\ \amp = \underbrace{[-xe^{-x}]_0 ^{+\infty}}_{=0}+\int_0 ^{+\infty} e^{-x}\,dx\\ \amp = [-e^{-x}]_0 ^{+\infty}\\ \amp=1 \end{align*}

Donc \(g\) est bien une densité de probabilités.

(b)

Calculer la probabilité de l'évènement \(0\leq X \leq 2, 0\leq Y \leq 1\)

Indice.

On a

\begin{equation*} \mathbb{P}(0\leq X \leq 2, 0\leq Y \leq 1) = \iint_{[0,2]\times[0,1]} g(x,y) dxdy \end{equation*}

Spoiler.

Par définition de la densité de probabilités, on a:

\begin{equation*} \mathbb{P}(0\leq X \leq 2, 0\leq Y \leq 1) = \mathbb{P}((X,Y)\in[0,2]\times[0,1]) = \iint_{[0,2]\times[0,1]} g(x,y) dxdy \end{equation*}

Ce qui, vu la tête de \(g\text{,}\) donne:

\begin{equation*} \iint_{[0,2]\times[0,1]} g(x,y) dxdy \amp=\iint_{D\cap([0,2]\times[0,1])}e^{-x}dxdy \end{equation*}

A l'aide de la figure, on remarque que

\begin{equation*} D\cap([0,2]\times[0,1])=\{(x,y)\in[0,1]^2, y\leq x\} \cup \{(x,y)\in \R^2, 1\leq x \leq 2,0\leq y\leq 1\} \end{equation*}

⁴

Donc, ce qu'on doit calculer:

\begin{align*} \iint_{D\cap([0,2]\times[0,1])}e^{-x}dxdy\amp = \int_0^1\left(\int_0^x e^{-x}dy\right)dx + \int_1^2\left(\int_0^1 e^{-x}dy\right)dx\\ \amp = \int_0^1e^{-x}\left(\int_0^x 1 dy\right)dx + \int_1^2e^{-x}\left(\int_0^1 1 dy\right)dx\\ \amp = \int-0^1 xe^{-x}dx + \int_1^2 e^{-x}dx\\ \amp= [-x e^{-x}]_0^1 + \underbrace{\int_0^1 e^{-x}dx + \int_1^2 e^{-x}dx}_{\text{Chasles}}\\ \amp=-e^{-1} + [-e^{-x}]_0^2\\ \amp=1-e^{-1}-e^{-2} \end{align*}

Ce qui nous donne une probabilité d'environ 0.497.

(c)

Déterminer les lois marginales de \(X\) et \(Y\text{.}\)

Spoiler.

D'après ce qu'on a dit juste avant,

• la densité \(f_X\) de \(X\) est donnée par

  \begin{equation*} f_X(x)=\int_\R g(x,y)dy \end{equation*}

  Ce qui donne

  \begin{equation*} f_X(x)= \begin{cases} 0 \amp\text{ si } x\lt 0\\ \displaystyle\int_0^x e^{-x} dy = xe^{-x} \amp\text{ si } x\geq 0 \end{cases} \end{equation*}

  ou, de façon plus compacte, \(f_X(x)=xe^{-x}1_{\R_+}(x)\text{.}\)

• la densité \(f_Y\) de \(Y\) est donnée par

  \begin{equation*} f_Y(y)=\int_\R g(x,y)dx \end{equation*}

  Ce qui donne

  \begin{equation*} f_Y(y)=\begin{cases} 0 \amp \text{ si } y\lt 0\\ \displaystyle\int_y^+\infty e^{-x} dx = [-e^{-x}]_y^{+\infty}=e^{-y} \amp \text{ si } y\geq 0 \end{cases} \end{equation*}

  ou, de façon plus compacte, \(f_Y(y)=e^{-y}1_{\R_+}(y)\text{.}\)

(d)

Comparer \(\mathbb{E}[XY]\) et \(\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]\text{.}\) \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?

Indice.

Maintenant qu'on a les densités de \(X\) et de \(Y\) (les lois marginales), on peut calculer leurs espérances.

Et par définition de la densité du couple aléatoire \((X,Y)\text{,}\) l'espérance de \(XY\) est donnée par

\begin{equation*} \mathbb{E}[XY]= \iint_{\R^2} xyg(x,y) dxdy \end{equation*}

Spoiler.

Calculons courageusement:

• D'abord, l'espérance de \(X\text{:}\)

  \begin{align*} \mathbb{E}[X] \amp = \int_\R x f_X(x) dx\\ \amp = \int_0^{+\infty} x^2e^{-x}dx\\ \amp = \underbrace{[-x^2e^{-x}]_0^{+\infty}}_{=0} + \int_0^{+\infty} 2xe^{-x}dx\\ \amp=2\underbrace{\int_\R f_X(x)dx}_{=1}\\ \amp=2 \end{align*}

• Maintenant, celle de \(Y\text{:}\)

  \begin{align*} \mathbb{E}[Y] \amp = \int_\R y f_Y(y) dy\\ \amp = \int_0^{+\infty} ye^{-y}dy\\ \amp = 1 \end{align*}

  \(\leadsto\) Du coup, \(\boxed{\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]=2}\text{.}\)

• Enfin, l'espérance de \(XY\text{:}\)

  \begin{align*} \mathbb{E}[XY] \amp = \iint_{\R^2} xy g(x,y) dxdy\\ \amp = \int_0^{+\infty}\left(\int_0^x xye^{-x}dy\right)dx\\ \amp = \int_0^{+\infty}xe^{-x}\left(\int_0^x ydy\right)dx\\ \amp=\int_0^{+\infty}xe^{-x} \left[\frac{y^2}2\right]_0^x dx\\ \amp=\int_0^{+\infty}\frac{x^3}2e^{-x} dx\\ \amp=\frac12\left(\underbrace{[-x^3e^{-x}]_0^{+\infty}}_{=0}+ \int_0^{+\infty}3x^2e^{-x}dx\right)\\ \amp=\frac32 \underbrace{\int_0^{+\infty}x^2e^{-x}dx}_{=2}\\ \amp=3 \end{align*}

  \(\leadsto\) \(\boxed{\mathbb{E}[XY]=6\neq 2=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]}\)

Donc les v.a. \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes.

Subsubsection 3.2.3 Cas (b) et (c): Intégrale sur un domaine délimité par des fonctions.

Commençons par un exemple.

Considérons deux variables aléatoires réelles \(X\) et \(Y\) telles que la densité de \((X,Y)\) soit donnée par

\(\leadsto\) Vérifions que \(f\) est une densité de probabilité.

On calcule

donc \(f\) est bien une densité.

Soit \(T\) le triangle de sommets \((0,0),(0,\frac12)\) et \((1,0)\text{.}\)

On va calculer \(\mathbb{P}((X,Y)\in T)\text{.}\)

Remarquons que le côté supérieur du triangle est donné par \(y=\frac12(1-x)\text{,}\) pour \(x\in[0,1]\text{.}\) Donc

On trouve donc

⚠ Mais d'un autre côté,

... Quel est le problème ?

⚠ \(\int_0^{\frac{1-x}2}\left(\int_0^1 4xy dx\right)dy\) n'est pas l'intégrale qu'on veut calculer !

En effet, pour rester dans le triangle \(T\text{,}\) il faut que \(X\) et \(Y\) vérifient la relation \(X+2Y \leq 1\text{:}\) on ne peut pas les étudier séparément.

Or, puisque les variables dans les intégrales sont muettes, on a

Si on écrit ça comme ça, on voit que le "u" qui apparaît ici via la fonction de densité \(f(u,y)=uy\) n'a plus de rapport avec le \(x\) qui apparaît dans les bornes de l'intégrale en \(y\text{.}\)

Donc, cette intégrale ne représente pas l'intégrale de la fonction \(f\) sur \(T\text{.}\)

En revanche, ce qu'on peut faire, si on veut absolument intégrer d'abord par rapport à \(x\text{,}\) c'est procéder comme suit:

On écrit plutôt

et dans ce cas,

ce qui est plus rassurant !

\(\leadsto\) Quand on n'est pas sur un rectangle, une fois qu'on a modélisé les bords du domaine d'intégration par des fonctions, soit de \(x\text{,}\) soit de \(y\text{,}\) on ne peut pas ensuite intégrer dans l'ordre qu'on veut.

Plus généralement,

1. Si \(D=\{(x,y)\in\R^2, x\in [a,b], g(x) \leq y \leq h(x)\}\) alors

   \begin{equation*} \boxed{\iint_D f(x,y)\,dx\,dy=\int_a^b\left(\int_{g(x)}^{h(x)}f(x,y)\, dy\right)dx} \end{equation*}

2. Si \(D=\{(x,y)\in\R^2, y\in [c,d], g(y) \leq x \leq h(y)\}\) alors

   \begin{equation*} \boxed{\iint_D f(x,y)\,dx\,dy=\int_c^d\left(\int_{g(y)}^{h(y)}f(x,y)\, dx\right)dy} \end{equation*}

   \(\leadsto\) Cette fois, l'ordre des intégrales est important !

   \(\leadsto\) Comme on a vu, un même ensemble peut parfois s'écrire soit sous la première, soit sous la deuxième forme. Dans ce cas, les deux calculs donnent le même résultat.

3. Si \(D=E \cup F\text{,}\) avec \(E\) et \(F\) comme ci-dessus, et \(int(E)\cap \int(F)=\emptyset\text{,}\) alors

   \begin{equation*} \iint_D f(x,y)\,dx\,dy= \iint_E f(x,y)\,dx\,dy+ \iint_F f(x,y)\,dx\,dy \end{equation*}

Exercice 3.3. Exemple: Aire d'une ellipse.

Calculons l'aire de l'ellipse

\begin{equation*} \mathcal E = \left\{(x,y)\in \R^2, \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1\right\}: \end{equation*}

(a)

Déterminer deux fonctions \(g\) et \(h\) telles que

\begin{equation*} \mathcal E=\{(x,y), x\in I, g(x)\leq y \leq h(x)\} \end{equation*}

Spoiler.

On peut prendre

\begin{equation*} x\in[-a,a], g(x)=-b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}},\quad h(x)=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \end{equation*}

(b)

Calculer

\begin{equation*} Aire(\mathcal E)= \iint_{\mathcal E}1\, dxdy=\int_{-a}^{a}\int_{g(x)}^{h(x)}1\, dy dx \end{equation*}

Indice.

On peut utiliser le changement de variables \(x=a\sin(t)\text{.}\)

Spoiler.

Calculons donc courageusement:

\begin{align*} Aire(\mathcal E)\amp= \int_{-a}^a \int_{b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}}^{-b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}} 1\ dy dx\\ \amp=\int_{-a}^a 2b \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} dx \end{align*}

On ne panique pas, on pose \(x=a\sin(t)\text{,}\) ce qui donne \(dx=a\cos(t)dt\text{.}\) De plus, \(x=a\) si \(t=\frac{\pi}2\text{,}\) \(x=-a\) si \(t=-\frac{\pi}2\) et donc

\begin{align*} Aire(\mathcal E)\amp=2ab\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} \sqrt{1-\sin^2(t)}\cos(t) dt\\ \amp=2ba \int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} \cos^2(t)dt \end{align*}

Un peu de magie trigonométrique donne \(\cos^2(t)=\frac12(\cos(2t)+1)\text{,}\) donc

\begin{align*} Aire(\mathcal E)\amp=ab\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} \cos(2t)+1dt\\ \amp = ab\left[\frac12\sin(2t)+t\right]_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}\\ \amp=ab\pi \end{align*}

Et, observation sympa: si \(a=b\text{,}\) l'ellipse est un cercle, et ça tombe bien car on retrouve alors la formule pour l'aire d'un disque.

Exercice Exercice

Dans chacun des cas suivants, calculer \(\displaystyle \iint_D f(x,y)\,dxdy\text{.}\)

1.

\((1)\) \(f(x,y)=y,\ D=\{(x,y)\in\R^2,\,x-y+1\geq0,\,x+2y\leq4,\,y\geq0\}\)

\(\displaystyle\iint_D f(x,y)=\)

Indice.

\begin{equation*} D=\left\{(x,y)\in\R^2, 0\leq y \leq \frac53, y-1\leq x \leq 4-2y\right\} \end{equation*}

2.

\((2)\) \(f(x,y)=x+y,\) \(D=\{(x,y)\in\R^2,x^2\leq y\leq x\}\)

\(\displaystyle\iint_D f(x,y)dxdy=\)

Indice.

\begin{equation*} D=\{(x,y)\in\R^2, 0\leq x \leq 1, x^2\leq y \leq x\} \end{equation*}

3.

\((3)\) \(f(x,y)=xy\) , \(D=\{(x,y)\in(\R_+)^2,\ xy+x+y\leq 1\}\)

\(\displaystyle\iint_D f(x,y)dxdy=\)

Indice.

\begin{equation*} D=\{(x,y)\in\R^2, 0\leq x \leq 1, 0\leq y \leq \frac{1-x}{1+x}\} \end{equation*}

4.

\((4)\) \(f(x,y)=\frac{xy}{1+x^2+y^2},\) \(D=[0,1]^2\setminus B_2((0,0),1)\)

\(\iint_D f(x,y)dxdy=\)

Indice.

\begin{equation*} D=\{(x,y)\in\R^2, 0\leq x \leq 1, \sqrt{1-x^2}\leq y \leq 1\} \end{equation*}