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Section 3 Tribu des boréliens.

Definition 3.1.

Soit \((X,\mathscr O)\) un espace toplogique. Cela signifie que sur \(X\text{,}\) on dispose d'une famille d'ouverts: \(X\) peut être, par exemple, un espace vectoriel normé, ou un sous-ensemble d'un e.v.n. muni de la topologie induite. On peut alors considérer la tribu de parties de \(X\) engendrée par la famille des ouverts. On l'appelle tribu des boréliens de \(X\), et on note:

\begin{equation*} \mathscr B(X) = \tau(\mathscr O). \end{equation*}

Typiquement, \(\mathscr B(\mathbb R^n)\) est la tribu qu'on utilise sur \(\mathbb R^n\) (muni de sa topologie habituelle).

Remarque: Soit \((E, \|.\|)\) un espace vectoriel normé. Alors l'ensemble \(\mathscr O\) des ouverts de \(E\) n'est pas une tribu, puisque le complémentaire d'un ouvert est un fermé (en général non ouvert).

L'ensemble des ouverts et des fermés de \(E\) n'est toujours pas une tribu en général: par exemple, dans \(\mathbb R\text{,}\) pour tout \(n\in \mathbb N,\ \left[0,1-\frac1n \right]\) est fermé, mais

\begin{equation*} \bigcup_n \left[0,1-\frac1n \right]=[0,1[ \end{equation*}

n'est ni ouvert, ni fermé.

Dans le cas des réels, la tribu \(\mathscr B(\mathbb R)\) contient:

  • Tous les ouverts et fermés de \(\mathbb R\text{;}\)
  • Tous les intervalles: par exemple, \([a,b[=\cap_n]a−\frac1n,b[\)
  • Tous les singletons \(\{x\}\) (ce sont des fermés), donc, par union, tous les ensembles dénombrables;
  • et d'autres ensembles plus exotiques, comme l'ensemble de Cantor.

Voyons quelques exemples:

Project 3.1.
(a)

Montrer que la diagonale

\begin{equation*} D= \left\{(x,y)\in\mathbb R^2,\, x=y \right\} \end{equation*}

est un borélien de \(\mathbb R^2\text{.}\)

Solution
(b)

Montrer que

\begin{equation*} B= \left\{(x,y)\in\mathbb R^2,\, x^2+y^2=1,\ x\notin\mathbb Q\right\} \end{equation*}

est un borélien de \(\mathbb R^2\text{.}\)

Solution