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Section 2 Mesures positives.

Definition 2.1.

Soit \((X,\mathscr T)\) un espace mesurable; autrement dit, \(\mathscr T\) est une tribu sur \(X\text{.}\) Une mesure sur \((X,\mathscr T)\) est une fonction

\begin{equation*} \mu: \mathscr T \rightarrow [0,+\infty] \end{equation*}

qui vérifie les proppriétés suivantes:

  • \(\displaystyle \mu(\emptyset)=0\)

  • \(\mu\) est \(\sigma\)-additive: autrement dit, pour toute famille \((A_n)_n \in \mathscr T^{\mathbb N}\) dénombrable disjointe de \(\mathscr T\text{,}\) on a

    \begin{equation*} \mu\left(\bigcup_{n\in \mathbb N} A_n\right)=\sum_{n\in \mathbb N} \mu(A_n) \end{equation*}

On dit alors que \((X,\mathscr T, \mu)\) est un espace mesuré.

Un peu de vocabulaire: Soit \((X,\mathscr T, \mu)\) un espace mesuré.

  • On dit que \(\mu\) est une mesure finie si \(\mu(X)\lt\infty\text{.}\)
  • On dit que \(\mu\) est une probabilité si \(\mu(X)=1\text{.}\)
  • On dit que \(\mu\) est une \(\sigma\)-finie s'il existe \((A_n)_n \in \mathscr T^{\mathbb N}\) telle que \(X=\cup_n A_n\) et, pour tout \(n\in \mathbb N,\ \mu(A_n)\lt\infty\text{.}\)

Soit \(X\) un ensemble, \(a\in X\text{,}\) alors l'application

\begin{align*} \delta_a: \mathcal P(X) \amp \rightarrow [0,+\infty]\\ A \amp \mapsto \begin{cases} 0 \text{ si } a\notin A\\ 1 \text{ si } a \in A \end{cases} \end{align*}

est une mesure sur \((X,\mathcal P(X))\text{.}\) On l'appelle mesure de Dirac en a.

Une somme dénombrable de mesures sur un espace mesurable \((X,\mathscr T)\) est une mesure sur \((X,\mathscr T)\text{:}\)

Soit \((X,\mathscr T, \mu)\) un espace mesuré, \(\alpha \geq 0\text{.}\) Montrer que \(\nu = \alpha \mu\) est une mesure sur \((X,\mathscr T)\text{.}\)

Solution

Armé de ces deux propriétés, on a donc:

Project 2.1. Mesure de comptage sur \((\mathbb N, \mathcal P(\mathbb N))\).
(a)

Montrer que l'application:

\begin{align*} \mu: \mathcal P(\mathbb N)\amp \rightarrow [0,+\infty]\\ A \amp \mapsto \begin{cases} \text{Card}(A) \text{ si } A \text{ fini,}\\ +\infty \text{ sinon.} \end{cases} \end{align*}

définit une mesure sur \((\mathbb N, \mathcal P(\mathbb N))\text{.}\)

Remarque: En fait, on peut définir de cette façon une mesure sur \((X,\mathcal P(X))\) pour tout ensemble \(X\text{.}\)

Solution
(b)
Montrer que \(\mu = \sum_{n\in \mathbb N} \delta_n\text{.}\)
Solution

En fait, toutes les mesures sur \((\mathbb N, \mathcal P(\mathbb N))\) peuvent s'exprimer de manière similaire:

Montrer que si \(\mu\) est une mesure sur \((\mathbb N, \mathcal P(\mathbb N))\text{,}\) alors il existe une suite \((u_n)_n\in (\overline R_+)^\mathbb{N}\) telle que

\begin{equation*} \mu = \sum_{n\in \mathbb N}u_n\delta_n \end{equation*}
Solution

Soit \((X,\mathscr T,\mu)\) un espace mesuré, et soit \(B\in \mathscr T\) tel que \(\mu(B)\gt 0\text{.}\) Montrer que l'application:

\begin{align*} \mu(\,\cdot\, |B):\mathscr T \amp \rightarrow [0,\infty]\\ A \amp \mapsto \frac{\mu(A\cap B)}{\mu(B)} \end{align*}

définit une mesure sur \((X,\mathscr T)\text{.}\)

Solution