Fonctions mesurables

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Section 7 Fonctions mesurables

Définition 7.1.

Soient \((\Omega,\mathscr T)\) et \((Y,\mathscr S)\) deux ensembles mesurables, et soit \(f:\Omega\rightarrow Y\) une fonction. On dit que \(f\) est mesurable de \((\Omega,\mathscr T)\) dans \((Y,\mathscr S)\) si

\begin{equation*} \forall\, B\in \mathscr S,\ f^{-1}(B)\in \mathscr T \end{equation*}

On note \(\mathcal L^0((\Omega,\mathscr T),(Y,\mathscr S))\) l'ensemble des fonctions mesurables de \((\Omega,\mathscr T)\) dans \((Y,\mathscr S)\text{.}\)

Rappel: Si \(f:\Omega\rightarrow Y\) est une fonction, et \(B\subset Y\text{,}\) on peut définir l'ensemble \(f^{-1}(B)\) des antécédents des éléments de \(B\) par \(f\)¹, autrement dit:

\begin{equation*} f^{-1}(B)=\{x\in \Omega,f(x)\in B\} \end{equation*}

(Même si la notation peut induire en erreur, l'existence d'une bijection réciproque \(f^{-1}\) n'est pas du tout nécessaire pour définir cet ensemble).

Exercice 7.1. Image réciproque.

Soit \(\Omega\) un ensemble, et \(f,g:\Omega\rightarrow \R\) deux fonctions réelles.

(a)

Montrer que \(f^{-1}(]-\infty,1])\cap g^{-1}(]-\infty,-1]) \subset (f+g)^{-1}(]-\infty, 0])\text{.}\)

(b)

Supposons que \(f(x)=\pi\) pour tout \(x\in X\text{.}\) Calculer \(f^{-1}(\N)\) et \(f^{-1}([1,4])\text{.}\)

(c)

Montrer que, si \(f\) est constante, alors, pour tout \(B\subset\R\text{,}\) \(f^{-1}(B)=\emptyset\) ou \(f^{-1}(B)=X\text{.}\)

(d)

Posons, pour tout \(n\in\Z\text{,}\) \(B_n=[n,n+1[\,\text{.}\) Montrer que \((f^{-1}(B_n))_{n\in\Z}\) une partition de \(X\text{.}\)

Définition 7.2.

Une fonction \(f:\Omega\rightarrow \R\) est étagée s'il existe une partition finie \(\Omega_1,...,\Omega_n\) de \(\Omega\) tels que

Les ensembles \(\Omega_i\) sont mesurables:

\begin{equation*} \forall\,i=1,...,n, \Omega_i\in\T \end{equation*}
La fonction \(f\) est constante sur chaque ensemble \(\Omega_i\text{:}\)

\begin{equation*} \forall\,i=1,...,n,\, \exists\alpha_i\in\R \text{ t.q. }\forall x\in \Omega_i, f(x)=\alpha_i \end{equation*}

On peut vérifier qu'une fonction \(f:\Omega\rightarrow \R\) est étagée

ssi \(f\) est mesurable et\(f(\Omega)\) est fini
ssi \(f\) est une combinaison linéaire d'indicatrices d'ensembles mesurables:

\begin{equation*} f\sum_{k=1}^n \lambda_k 1_{A_k}, A_k\in\T,\lambda_k\in \R \end{equation*}

²

Théorème 7.3.

Toute fonction mesurable positive \(f:(X,\T)\rightarrow \overline\R_+\) est la limite d'une suite croissante de fonctions étagées mesurables.

Exercice 7.2. Fonctions constantes.

(a)

Soit \(h:\Omega\rightarrow Y\) une fonction constante. Montrer que, quelle que soit la tribu \(\mathscr T\) sur \(\Omega\) et quelle que soit la tribu \(\mathscr S\) sur \(Y\text{,}\) \(h\) est mesurable de \((\Omega,\mathscr T)\) dans \((Y,\mathscr S)\text{.}\)

Comme on va le voir dans les exercices ci-dessous, plus il y a de monde dans \(\mathscr T\) et moins il y en a dans \(\mathscr S\text{,}\) plus il y a de fonctions mesurables:

Exercice 7.3. Taille des tribus et mesurabilité.

(a)

Soit \((Y,\mathscr S)\) un ensemble mesuré. On munit \(\Omega\) de la tribu \(\mathcal P(\Omega)\text{.}\) Montrer que toute fonction \(f:\Omega\rightarrow Y\) est mesurable de \((\Omega,\mathcal P(\Omega)\) dans \((Y,\mathscr S)\text{.}\)

(b)

Soit \((Y,\mathscr S)\) un ensemble mesuré tel que \(\mathscr S\) contient les singletons. On munit \(\Omega\) de la tribu \(\{\Omega,\emptyset\}\text{.}\) Montrer que, pour toute fonction \(f:\Omega\rightarrow Y\text{,}\)

\begin{equation*} f\in \mathcal L^0((\Omega,\{\Omega,\emptyset\}),(Y,\mathscr S)) \iff f\text{ constante}. \end{equation*}

Exercice Exemples de fonctions mesurables

1. Exemple 1.

Reprenons la tribu \(\mathscr T_3\) de parties de \(\mathbb R\) définie à l'Exercise 1.3:

\begin{equation*} \mathscr T_3=\{A\subset \mathbb R, A=-A\} \subset\mathcal P(\mathbb R) \end{equation*}

Montrer qu'une fonction \(f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R\) est mesurable de \((\mathbb R,\mathscr T_3)\) dans \((\mathbb R,\mathscr B(\mathbb R))\)³ si, et seulement si, elle est paire.

On peut procéder par double implication: en supposant que \(f\) est paire, montrer que l'image réciproque de tout borélien est dans \(\mathscr T_3\text{,}\) i.e. est symétrique par rapport à 0. Réciproquement, si \(f\) n'est pas paire, alors il existe \(x\in \mathbb R\) tel que \(f(x)\neq f(-x)\text{.}\) Que donne alors l'image réciproque par \(f\) du borélien \(\{f(x)\}\) ? Contient-il \(-x\) ?

2. Exemple 2.

Soit \((\Omega,\mathscr T\) un ensemble mesurable, et \(A\subset \Omega\text{.}\) Reprenons la tribu \(\mathscr T_A\) de parties de \(\Omega\) définie à l'Exercise 1.4:

\begin{equation*} \mathscr T_A=\{B\in \mathscr T, A\subset B \text{ ou } A\cap B = \emptyset\} \subset\mathcal P(\Omega) \end{equation*}

Montrer qu'une fonction \(f:\Omega\rightarrow \mathbb R\) est mesurable de \((\Omega,\mathscr T_A)\) dans \((\mathbb R,\mathscr B(\mathbb R))\) si, et seulement si, \(f\) est constante sur \(A\text{.}\)

On peut (encore) procéder par double implication: en supposant que \(f_{|A} =c\text{,}\) que peut on dire de l'image réciproque d'un borélien \(B\text{,}\) en séparant les cas \(c\in B\) et \(c\notin B\text{.}\) Réciproquement, si \(f\) n'est pas constante sur \(A\text{,}\) alors il existe \(a_1,a_2\in A\) tels que \(f(a_1)\neq f(a_2)\text{.}\) Il s'agit de trouver un borélien dont l'image réciproque intersecte \(A\) mais ne contient pas \(A\) en entier.

3.

Soit \((\Omega,\mathscr T)\) un espace mesurable. Soient \(f,g\in \mathcal L^0((\Omega, \mathscr T),(\R,\mathscr B(\R))\) deux fonctions mesurables, et soit \(A\in \mathscr T\text{.}\)

On définit la fonction \(h:\Omega\rightarrow \R\) par

\begin{equation*} h(x)= \begin{cases} f(x) \text{ si } x\in A\\ g(x) \text{ si } x\notin A\\ \end{cases} \end{equation*}

Montrer que \(h\) est mesurable de \((\Omega, \mathscr T)\) dans \((\R,\mathscr B(\R)\text{.}\)

Commencer par montrer que si \(B\subset \R\text{,}\)

\begin{equation*} h^{-1}(B)=\{x\in A, f(x)\in B\}\cup \{x\in A^c, g(x)\in B\}. \end{equation*}

Soit \((\Omega,\mathscr T)\) un espace mesuré. Rappelons que, si \((\Omega_i)_{i\in I}\) est une partition au plus dénombrable de \(\Omega\) telle que, pour tout \(i\in I\text{,}\) \(\Omega_i\in \mathscr T\text{,}\) alors

\begin{equation*} f\in \mathcal L^0((\Omega,\mathscr T);(\mathbb R,\mathscr B(\mathbb R))) \iff \forall i \in I,\, f_{|\Omega_i}\in \mathcal L^0((\Omega_i,\mathscr T_i);(\mathbb R,\mathscr B(\mathbb R))), \end{equation*}

où \(\mathscr T_i=\{\Omega_i \cap A, A\in \mathscr T\}\) est la tribu-trace de \(\mathscr T\) sur \(\Omega_i\text{.}\)

Exercice 7.4. Exemple 3: Partitions de \(\Omega\).

(a)

Soit \(\Omega\) un ensemble, \((\Omega_i)_{i\in I}\) est une partition au plus dénombrable de \(\Omega\text{.}\) On considère sur \(\Omega\) la tribu \(\mathscr T\) engendrée par la partition \((\Omega_i)\text{,}\) comme en Exercice 1.2 :

\begin{equation*} \mathscr T = \tau(\{\Omega_i, i\in I\}) \end{equation*}

Soit \(f:\Omega\rightarrow \mathbb R\) une fonction. Montrer que si \(f\) est mesurable de \((\Omega,\mathscr T)\) dans \((\mathbb R,\mathscr B(\mathbb R))\) alors \(f\) est constante sur chaque \(\Omega_i\text{.}\)

Commencer par déterminer la tribu-trace \(\mathscr T_i\) de \(\mathscr T\) sur chaque \(\Omega_i\text{,}\) puis utiliser Exercice 7.3.

(b)

Réciproquement, montrer que si \(f\) est constante sur chaque \(X_i\) alors \(f\in \mathcal L^0((X,\mathscr T);(\mathbb R,\mathscr B(\mathbb R)))\text{.}\)

Pour un borélien donné \(B\text{,}\) il s'agit de trouver un sous-ensemble \(J\subset I\) tel que \(f^{-1}(B)=\cup_{j\in J}X_j\text{.}\)

Remarque: Dans l'exemple précédent, on peut prendre pour espace d'arrivée n'importe quel espace mesurable \((Y,\mathscr S)\) qui contient les singletons.

Définition 7.4.

Une variable aléatoire sur un espace de probabilité \((\Omega,\mathscr T,\mathbb P)\) est une fonction mesurable \(X:(\Omega,\mathscr T) \rightarrow (Y,\mathscr S)\) entre deux espaces mesurables.

Si \((Y,\mathscr S)=(\R,\B(\R))\text{,}\) on dit que \(X\) est une variable aléatoire réelle.
Si \(X(\Omega)=\{X(\omega),\, \omega\in \Omega\}\) est un ensemble fini, autrement dit si \(X\) ne prend qu'un nombre fini de valeurs, on dit que \(X\) est une variable aléatoire finie.
Si \(X(\Omega)=\{X(\omega),\, \omega\in \Omega\}\) est un ensemble au plus dénombrable, on dit que \(X\) est une variable aléatoire discrète.

Définition 7.5. Loi d'une variable aléatoire.

Soit \(X:\Omega\rightarrow\R\) une variable aléatoire réelle sur un espace de probabilités \((\Omega,\mathscr T,\mathbb P)\text{.}\)

Alors on peut définir une mesure sur \((\R,\B(\R))\) par

\begin{equation*} \mathbb P_X(B) = \mathbb P(X^{-1}(B))=\mathbb P(\{\omega\in\Omega,X(\omega)\in B\}) \end{equation*}

Cette mesure s'appelle loi de la v.a. \(X\text{.}\)

Exercice 7.5.

On note

\begin{equation*} \mu : A\subset \N \mapsto \delta_0(A)+3\delta_1(A)+3\delta_2(A)+\delta_3(A) \end{equation*}

(a)

Justifier que \(\mu\) est une mesure sur \((\N,\P(\N))\text{.}\) Calculer \(\mu(\{n\})\text{,}\) pour tout \(n\in\N^*\text{.}\)

(b)

Déterminer une constante \(\alpha>0\) telle que \(\mathbb P=\dfrac1\alpha\mu\) est une mesure de probabilités sur \((\N,\P(\N))\text{.}\)

(c)

On considère l'application \(X:n\in \N\mapsto \frac1{2^n}\in\R\text{.}\) Justifier que \(X\) est une variable aléatoire sur \((\N,\P(\N),\mathbb{P})\text{.}\)

(d)

Calculer \(\mathbb{P}_X([\frac12,1])\text{.}\)

Exercice 7.6.

On note

\begin{equation*} \nu : A\subset \N \mapsto \delta_0(A)+2\delta_4(A)+\delta_8(A) \end{equation*}

(a)

Justifier que \(\nu\) est une mesure sur \((\N,\P(\N))\text{.}\) Calculer \(\nu(\{n\})\text{,}\) pour tout \(n\in\N^*\text{.}\)

(b)

Déterminer une constante \(\alpha>0\) telle que \(\mathbb P=\dfrac1\alpha\nu\) est une mesure de probabilités sur \((\N,\P(\N))\text{.}\)

(c)

On considère l'application \(X:n\in \N\mapsto \sqrt{n}\in\R\text{.}\) Justifier que \(X\) est une variable aléatoire sur \((\N,\P(\N),\mathbb{P})\text{.}\)

(d)

Calculer \(\mathbb{P}_X([1,2])\text{.}\)

(même si \(f\) n'est pas bijective !)

Les \(A_k\) ne sont pas forcément disjoints

où \(\mathscr B(\mathbb R)\) désigne les boréliens de \(\mathbb R\)