Théorèmes de convergence

Section 10 Théorèmes de convergence

Théorème 10.1. Théorème de convergence monotone, ou de Beppo-Levi.

Soit \((f_n)_n\) une suite croissante de fonctions mesurables positives, et \(f = \lim_n f_n = \sup_n f_n\text{.}\) Alors \(f\) est mesurable positive et

\begin{equation*} \int_X f d \mu = \lim \int_X f_n d \mu \end{equation*}

Corollaire 10.2.

Soit \((f_n)_n\) une suite de fonctions mesurables positives.

Alors la suite \(S_n:x\in\Omega\mapsto \sum_{k=0}^nf_k(x)\) est une suite croissante de fonctions mesurables positives, donc, par Beppo-Levi, \(S=\sum_n f_n\) est mesurable et

\begin{equation*} \int_X S d \mu = \sum_{n\in\N} \int_X f_n d \mu \end{equation*}

Théorème 10.3. Lemme de Fatou.

Soit \((f_n)_n\) une suite de fonctions mesurables positives. Alors

\begin{equation*} \int_X \liminf f_n d \mu \leq \liminf \int_X f_n d \mu \end{equation*}

Théorème 10.4. Théorème de convergence dominée.

Soit \((f_n)_n\) une suite de fonctions mesurables telles que

\(\lim_n f_n(x)\) existe pour presque tout \(x\in X\text{,}\)
il existe \(g \in \L^1(X,\T, \mu)\) telle que pour tout \(n\) et pour presque tout \(x\text{,}\) \(|f_n(x)|\leq g(x)\text{.}\)

Alors \(f=\lim f_n\) est intégrable, et on a

\begin{equation*} \int_X f d \mu = \lim_{n\rightarrow\infty} \int_X f_n d \mu\text{ et } \lim_{n\rightarrow\infty} \int_X |f_n - f| d \mu =0 \end{equation*}

Exercice 10.1.

Pour tout \(n\in\N^*\text{,}\) pour tout \(x\in\R^+\text{,}\) on note

\begin{equation*} f_n(x)= \mathbb{1}_{]0,1]} \dfrac{1}{\sqrt x + \frac{e^x}{n}} \end{equation*}

(a)

Justifier que, pour tout \(n\in\N^*\text{,}\) \(f_n\in \mathcal L^0((\R^+,\mathcal L (\R^+)),\R^+)\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Montrer, à l'aide du théorème de convergence monotone, que

\begin{equation*} \int_{\R^+} f_n\,d\lambda \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 2 \end{equation*}

Spoiler.

Exercice 10.2.

Pour tout \(n\in\N^*\text{,}\) pour tout \(x\in\R\text{,}\) on note

\begin{equation*} g_n(x)= \mathbb{1}_{\R_+} \dfrac{1}{e^{3x} + \frac{x^2}{n}} \end{equation*}

(a)

Justifier que, pour tout \(n\in\N^*\text{,}\) \(g_n\in \mathcal L^0((\R,\B(\R)),\R^+)\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Montrer, à l'aide du théorème de convergence monotone, que

\begin{equation*} \displaystyle\int_\R g_n\,d\lambda \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} \frac13 \end{equation*}

Spoiler.

Exercice 10.3.

Soit \((X,\mathscr T)\) un espace mesurable.

Soient \(\mu,\nu\) deux mesures positives sur \((X,\mathscr T)\) telles que, pour tout \(A\in\mathscr T\text{,}\)

\begin{equation*} \mu(A) \leq \nu(A) \end{equation*}

(a)

Montrer que pour toute fonction \(\mathscr T\)-étagée positive \(e\text{,}\) on a

\begin{equation*} \int_X e d\mu \leq \int_X e d\nu \end{equation*}

Spoiler.

(b)

En déduire que pour toute fonction \(f\in\mathscr L^0((X,\mathscr T),\R_+)\) mesurable positive, on a

\begin{equation*} \int_X f d\mu \leq \int_X f d\nu \end{equation*}

Indice.

Utiliser le théorème de Beppo-Levi et (1).

Spoiler.

(c)

Soit \(f\in\mathscr L^0((X,\mathscr T),\R)\) une fonction mesurable (pas nécessairement positive). Montrer que

\begin{equation*} f\in \mathscr L^1((X,\mathscr T,\nu),\R) \Rightarrow f\in \mathscr L^1((X,\mathscr T,\mu),\R) \end{equation*}

Spoiler.

(d)

A-t-on nécessairement \(\int_X f d\mu \leq \int_X f d\nu\) ?

Spoiler.

Exercice 10.4.

Soit \((X,\mathscr T,\mu)\) un espace mesuré.

On suppose qu'il existe \(a\in A\) tel que \(\{a\}\in\mathscr T\) et \(\mu(\{a\})=1\text{.}\)

(a)

Montrer que pour toute fonction \(\mathscr T\)-étagée positive \(e\text{,}\) on a

\begin{equation*} \int_{\{a\}} e d\mu =e(a) \end{equation*}

Indice 1.

Si \((A_i)_{i=1,...,n}\) est une partition mesurable finie de \((X,\mathscr T)\text{,}\) commencer par montrer qu'il existe un unique \(i_0\) tel que \(\{a\}\cap A_{i_0}\neq \emptyset\text{.}\)

Indice 2.

\(\mathbbm{1}_{A}\mathbbm{1}_B=\mathbbm{1}_{A\cap B}\text{.}\)

Spoiler.

(b)

En déduire que pour toute fonction \(f\in\mathscr L^0((X,\mathscr T),\R_+)\) mesurable positive, on a

\begin{equation*} \int_{\{a\}} f d\mu =f(a) \end{equation*}

Indice.

Utiliser le théorème de Beppo-Levi et (1).

Spoiler.

(c)

Soit \(f\in L^1((X,\mathscr T,\mu),\R)\) une fonction intégrable. Montrer que

\begin{equation*} \int_{\{a\}} f d\mu = f(a) \end{equation*}

Spoiler.