Intégrale des fonctions de signe quelconque

Section 9 Intégrale des fonctions de signe quelconque

Définition 9.1.

Soit \(f\in \L^0(X,\T,\R)\) une fonction mesurable à valeurs réelles sur un espace mesuré \((X,\T,\R)\text{.}\)

On définit

\begin{equation*} f_+ = \max(f,0),\quad f_- = \max(-f,0) \end{equation*}

Alors on a \(f= f_+ - f_-\) et \(|f| = f_+ + f_-\text{.}\) De plus les fonctions \(f_+,f_-\) sont mesurables positives, donc les intégrales \(\int_X f_+\, d\mu, \int_X f_-\, d\mu\) existent dans \(\rbb 0, +\infty \lbb\text{.}\)

On dit que \(f\) est intégrable si \(f_+\) et \(f_-\) sont intégrables, autrement dit si

\begin{equation*} \int_X f_+\, d\mu \lt +\infty, \quad \int_X f_-\, d\mu \lt\infty \end{equation*}

ce qui équivaut à

\begin{equation*} \int_X |f| d \mu \lt \infty \end{equation*}

Dans ce cas on pose

\begin{equation*} \int_X f d \mu = \int_X f_+ d \mu - \int_X f_- d \mu \end{equation*}

On note \(\L^1(X, \T, \mu)\) l'ensemble des fonctions intégrables.

Proposition 9.2.

Soient \(f,g \in \L^1(X,\T,\mu)\text{.}\) Alors:

\(\displaystyle f\in \L^1(X,\T,\mu) \mapsto \int_X f d \mu\) est linéaire
Si \(f \leq g\text{,}\) \(\displaystyle \int_X f d \mu \leq \int_X g d \mu\)
Si \(f=g\) \(\mu\)-p.p., \(\displaystyle \int_X f d \mu = \int_X g d \mu\)
\(\displaystyle \displaystyle\left|\int_X f d \mu\right| \leq \int_X |f| d \mu\)
Si \(\displaystyle \int_X |f| d \mu = 0\) alors \(f=0\) \(\mu\)-p.p.

Exercice 9.1.

Soit \((X,\mathscr T,\mu)\) un espace mesuré et \(g\in\mathcal L^1((X,\mathscr T, \mu),\R^+)\text{.}\) On note \(\nu_g\) la mesure de densité \(g\) par rapport à \(\mu\text{.}\)

On rappelle que pour tout \(h\in\mathcal L^0((X,\mathscr T), \overline{\R}^+)\text{,}\) \(\int_X^* h\, d\nu_g = \int_X^* hg \,d\mu\text{.}\)

(a)

Soit \(f\in\mathcal L^0((X,\mathscr T),\R)\text{.}\) Justifier que \((fg)^+=f^+ g\) et \((fg)^-=f^-g\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Montrer que si \(f\) est bornée, alors \(fg \in \mathcal L^1((X,\mathscr T, \mu),\R)\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Montrer que, dans ce cas, \(f\in \mathcal L^1((X,\mathscr T, \nu_g),\R)\) et

\begin{equation*} \int_X f\,d\nu_g = \int_X fg\, d\mu \end{equation*}

Spoiler.

Exercice 9.2.

Soit \((X,\mathscr T)\) un espace mesurable.

(a)

Soit \(\nu\) est une mesure sur \((X,\T)\text{.}\)

Montrer que \(\nu\) est une mesure finie si et seulement si, pour tout \(M>0\text{,}\) la fonction constante égale à \(M\) est \(\nu\)-intégrable.

Spoiler.

(b)

En déduire que si \(\nu\) est une mesure finie sur \((X,\T)\) et \(f\in\mathcal L^0((X,\mathscr T),\R)\) une fonction mesurable \emph{bornée}, alors \(f \in \mathcal L^1((X,\mathscr T, \nu),\R)\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Soit \(\mu\) une mesure sur \((X,\mathscr T)\) (pas forcément finie) et \(g\in\mathcal L^1((X,\mathscr T, \mu),\R^+)\) Montrer que la mesure \(\nu_g\) de densité \(g\) par rapport à \(\mu\) est une mesure finie.

Spoiler.

Exercice 9.3.

Soit \((\Omega,\mathscr A,\mu)\) un espace mesuré, \((Y,\mathscr T)\) un espace mesurable et \(f\in\mathcal L^0((\Omega,\mathscr A),(Y,\mathscr T))\) une fonction mesurable. On note \(\mu_f\) mesure image de \(\mu\) par \(f\text{.}\)

On rappelle que pour tout \(h\in\mathcal L^0((Y,\mathscr T), \overline{\R}^+)\text{,}\)

\begin{equation*} \int_Y^* h\, d\mu_f = \int_\Omega^* h\circ f \,d\mu \end{equation*}

(a)

Soit \(h\in\mathcal L^0((Y,\mathscr T),\R)\text{.}\) Montrer que \((h\circ f)^+=h^+ \circ f\) et \((h\circ f)^-=h^-\circ f\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Montrer que \(h\in\mathcal L^1((Y,\mathscr T,\mu_f),\R)\) ssi \(h\circ f \in\mathcal L^1((X,\mathscr A,\mu),\R)\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Montrer que si \(\mu\) est une mesure finie, et si \(h:Y\rightarrow \R\) est une fonction constante, alors \(h\) est \(\mu_f\)-intégrable.

Spoiler.