Chapitre 5 Mesures complètes - Mesure de Lebesgue sur \(\R\)
On a vu que les boréliens couvrent déjà beaucoup d'ensembles raisonnables dans \(\mathbb R\text{.}\) On connaît au moins un non-borélien: le redoutable ensemble \(V\) qui fait échouer l'additivité de la mesure extérieure dans la preuve du théorème Théorème 2.3.2.
Mais, justement parce que l'additivité, qui est une propriété des mesures en général, fait naufrage sur \(V\text{,}\) il n'y a pas d'espoir de l'intégrer de force à nos ensembles mesurables.
Où va-t-on donc trouver de nouveaux ensembles à mesurer ? A l'intérieur des ensembles de mesure nulle.
On a vu que la mesure de Borel est nulle sur des ensembles non vides: notamment les ensembles finis ou dénombrables. Puisque, pour tous boréliens \(A\subset B\text{,}\) on a \(\mu(A)\leq \mu(B)\text{,}\) on a envie de dire que tout sous-ensemble d'un ensemble de mesure nulle devrait être de mesure nulle.
Dans le cas des ensembles dénombrables, ça ne fait pas avancer le schmilblick, puisque les sous-ensembles d'ensembles dénombrables le sont aussi, et donc, on savait déjà les mesurer. On verra cependant qu'il existe des ensembles de mesure nulle plus riches, dont on peut extraire des sous-ensembles intéressants.