Chapitre 4 Mesures
Maintenant qu'on dispose de sous-ensembles mesurables, reste à les mesurer.
Et comme c'est souvent le cas jusqu'ici, on va le faire de façon axiomatique: on énonce nos exigences pour une fonction chargée de mesurer des sous-ensembles d'un ensemble \(X\) appartenant à une tribu \(\T\text{.}\)
Et ces exigences, on les a déjà croisées:
On veut que la mesure de \(\emptyset\) soit 0
Et, significativement plus intéressant, on veut que la mesure soit \(\sigma\)-additive.
En premier lieu, on va s'intéresser aux propriétés générales de ce genre d'applications \(\T\rightarrow \rbb 0,+\infty \lbb\text{:}\) ce qu'on obtiendra dans cette section marche aussi bien pour la mesure des boréliens de \(\R\) que pour celle des sous-ensembles de \(\N\text{,}\) ou de n'importe quel autre ensemble \(\Omega\text{,}\) ce qui semble prometteur pour un cadre unifié des probabilités.
Ensuite, on revient au cas spécifique où \(X=\R\text{.}\) Dans ce cas on veut en plus une mesure invariante par translation et qui, si on lui donne un intervalle, nous calcule sa longueur.
On va voir qu'il y a une mesure qui fait le café, appelée la mesure de Borel sur \(\B(\R)\text{.}\)
Puis on se posera des questions sur les conditions d'existence et d'unicité d'une mesure:
Quelles sont les propriétés \(Truc\) telles que, si deux mesures \(m_1,m_2: \T\rightarrow \rbb 0,+\infty \lbb\) vérifient toutes les deux \(Truc\text{,}\) alors \(m_1=m_2\text{;}\)
Quelles sont les familles de sous-ensembles \(\mathscr X\) et les propriétés \(Machin\) telles que, si une application \(m_0: \mathscr X\rightarrow \rbb 0,+\infty \lbb\) est \(Machin\text{,}\) alors on peut généraliser \(m_0\) à une mesure sur un tribu contenant \(\mathscr X\text{.}\)
Et enfin, on reparlera sérieusement de probabilités en construisant une mesure appropriée pour étudier un jeu de pile ou face infini.