Probabilité, mesure, et intégration

Section 4.3 Mesure de Borel sur \((\mathbb R, \mathscr B(\mathbb R))\)

Tous ces exemples, c'est merveilleux, mais, même si on a vu tout un tas de mesures sur \(\R\text{,}\) jusqu'ici aucune ne fait ce qu'on veut vraiment: calculer des longueurs.

Le seul candidat raisonnable qu'on a vu jusqu'ici, c'est la mesure extérieure du Chapitre 2, et elle ne marche pas pour tous les sous-ensembles¹.

Pour nous sortir de là, on va suivre les pas d'Emile et Henri. Notre problème, c'est que la mesure extérieure n'est pas additive: certains sous-ensembles bizarres vérifient \(A\cap B=\emptyset\) mais pas \(A\cup B|=|A|+|B|\text{.}\)

Pour contourner ceci, on va....ignorer ces cas pathologiques. Définissons définir des ensembles respectables, qui vérifient l'additivité:

(Historiquement, on les appelle plutôt Lebesgue-mesurables, puisque c'est Henri Lebesgue qui les a étudiés dans sa thèse, "Intégrale, longueur, aire"² en 1902.)

De son côté, Emile Borel avait introduit, dans sa Leçon sur la théorie des fonctions³ de 1898, une autre catégorie d'ensembles prometteurs: le tribu des boréliens \(\B(\R)\) ⁴.

Ce qu'on va montrer maintenant, c'est que les boréliens sont respectables:

autrement dit, la mesure extérieure est additive sur la tribu des boréliens. Et on va améliorer ce résultat pour obtenir que la mesure extérieure est \(\sigma\)-additive sur \(\B(\R)\text{.}\)

Le plan de bataille est le suivant:

1. Etape 1: On commence par montrer que les intervalles sont respectables, ainsi que leurs unions finies.

2. Etape 2 :Puis on montre que les ouverts et les fermés sont respectables.

3. Pour montrer que les boréliens sont respectables, on va les approximer par des fermés: ce seront les étapes 3 et 4.

4. Enfin, on montre que la mesure extérieure, restreinte au boréliens, est une vraie mesure: elle est \(\sigma\)-additive.

Exercice 4.3.3 Etape 3: les boréliens, c'est presque des fermé.

On l'a vu à la Section 3.4, il n'est pas facile de passer des ouverts aux boréliens, car tous les boréliens ne sont pas des unions d'ouverts, ni même dest intersections d'unions de complémentaire d'unions d'ouverts.

Et ça nous bloque un peu dans notre entre prise de fourrer le plus d'ensembles possibles dans \(\T\text{:}\) on a montré que \(\T\) contient les ouverts...et maintenant ?

Pour négocier cette transition, on va appliquer une méthode si classique que c'est le titre du livre d'Analyse⁵ de Terrence Tao: on va se donner un \(\varepsilon\) de place pour manoeuvrer, puis on se débarassera de ce \(\varepsilon\) en le faisant impitoyablement tendre vers 0.

On va montrer que, même si tous les boréliens ne sont clairement pas des ouverts, ou des fermés, si on a un borélien \(B\text{,}\) on peut toujours trouver un fermé \(F\) qui "l'approxime de l'intérieur" par un dans le sens où

\begin{equation*} F \subset B,\quad |B\setminus F| \lt \varepsilon \end{equation*}

1.

On introduit l'ensemble des sous-ensembles de \(\R\) qui sont approximables par des ouverts:

\begin{equation*} \mathcal L= \{D\in\mathcal P(\mathbb R), \forall\varepsilon>0,\ \exists F\subset D \text{ fermé t.q. } |D\setminus F|\lt \varepsilon\} \end{equation*}

Le but est de montrer que tous les boréliens sont dans \(\mathcal L\text{.}\)

Justifier que, pour ça:

• il suffit qu'on montre que \(\mathcal L\) est une tribu;

• et, pour ça, il suffit qu'on montre que \(\mathcal L \) est stable par intersection dénombrable et par passage au complémentaire, autrement dit:

  \begin{equation*} \forall (D_n)_n \in \mathcal L^\N, \bigcap_{n\in \N} D_n \in \mathcal L,\quad \forall D\in \mathcal L, D^c \in \mathcal L \end{equation*}

Spoiler.

2.

Intersection dénombrable: Soit \((D_n)_n \in \mathcal L^\N\) et \(\varepsilon \gt 0\text{.}\) On cherche un fermé \(F\) tel que

\begin{equation*} \left| \left(\bigcup_n D_n\right) \setminus F\right|\lt \varepsilon \end{equation*}

Trouver d'abord une suite de fermés \((F_n)_n\) telle que

\begin{equation*} \left|\bigcup_n (D_n\setminus F_n) \right|\lt \varepsilon \end{equation*}

Puis en déduire un \(F\) qui marche.

Spoiler.

3.

Complémentaire: Soit \(D\in\mathcal L\text{;}\) suppososn dans un premier temps que \(|D|\lt +\infty\text{.}\) On cherche donc un fermé \(F\) tel que

\begin{equation*} F\subset D^c, \quad |D^c \setminus F|\lt \varepsilon \end{equation*}

Commencer par trouver un ouvert \(U\) tel que

\begin{equation*} D\subset U,\quad |U|\lt |D| + \frac{\varepsilon}2 \end{equation*}

En déduire un fermé \(F\) qui marche.

Spoiler.

4.

Il nous reste le cas où \(D\in\mathcal L\) et \(|D|=+\infty\text{.}\)

Justifier que dans ce cas, pour tout \(k\in\N\text{,}\) \(D_k=D\cap \rbb -k,k\lbb \in \mathcal L\text{.}\)

Justifier que \(D_k^c\in\mathcal L\) et, de là, que \(D^c \in\mathcal L\text{.}\)

Indice.

Utiliser le cas précédent, et la stabilité de \(\mathcal L\) par intersection dénombrable.

Spoiler.

5.

Conclure approximativement.

Ce qui termine (presque !) la preuve de:

Il ne nous reste qu'à montrer l'unicité: autrement dit que si \(\mu_1,\mu_2\) sont deux mesures sur \((\R,\B(\R))\) telles que

• \(\mu_1(\lbb a,b\rbb) = b-a = \mu_1(\lbb a,b\rbb)\) pour tous réels \(a,b\text{;}\)

• Pour tout borélien \(A\text{,}\) pour tout \(t\in\R\text{,}\) \(\mu_1(A+t) = \mu_1(A)\) et \(\mu_2(A+t) = \mu_2(A)\)

on a, pour tout \(A\in \B(\R)\text{,}\)

Mais des boréliens, il y en a beaucoup. Vraiment beaucoup.

On va donc reprendre notre souffle et on se posera cette question demain. Enfin, à la section suivante.

Une fois qu'on aura vérifié qu'elle est unique, la mesure de Borel répond donc à toutes nos exigences: on garde les bonnes propriétés de la mesure extérieure, et on gagne l'additivité (et l'unicité: il n'y a pas trente-six bonnes façons de mesurer).

On va donc pouvoir avancer vers une notion d'intégrale liée à cette mesure: rappelons que le but de tout ceci était d'intégrer des fonctions en découpant, non pas par sous-intervalles sur l'espace de départ, mais sur l'espace d'arrivée, de façon à tenir compte des spécificités de \(f\text{:}\)

La restriction aux boréliens signifie, en revanche, qu'on ne peut pas intégrer toutes les fonctions: il faut que \(f^{-1}(\rbb y_i,y_{i+1}\lbb )\) soit un borélien. L'objet du prochain chapitre sera de départager les fonctions qui vérifient cette propriété.

Mais avant cela, vérifions qu'on ne peut pas tirer un peu plus sur la corde, c'est-à-dire mesurer encore plus d'ensembles avec notre mesure de Borel toute neuve. Ce sera l'occasion de croiser quelques phénomènes de foire parmi les sous-ensembles de \(\mathbb R\text{.}\)