Section 4.2 Exemples de mesures
Exercice 4.2.1. Mesure condtionnelle..
Soit \((X,\mathscr T,\mu)\) un espace mesuré, et soit \(B\in \mathscr T\) tel que \(\mu(B)\gt 0\text{.}\) Montrer que l'application:
\begin{align*}
\mu(\,\cdot\, |B):\mathscr T \amp \rightarrow \rbb 0,\infty\lbb \\
A \amp \mapsto \frac{\mu(A\cap B)}{\mu(B)}
\end{align*}
définit une mesure sur \((X,\mathscr T)\text{.}\)
Exemple 4.2.1.
Soit \(w:\mathbb N \rightarrow \rbb 0,+\infty\rbb \) une fonction positive. Montrer que l'application
\begin{equation*}
\mu_w: E\in \mathcal P(\mathbb N) \mapsto \sum_{n\in E} w(n)
\end{equation*}
définit une mesure sur \((\mathbb N,\mathcal P(\mathbb N)).\)
En particulier, si
\begin{equation*}
w:n\in \mathbb N \mapsto \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda},
\end{equation*}
on obtient une mesure de probabilité: la loi de Poisson sur \(\mathbb N\text{.}\)
En fait, toutes les mesures sur \((\mathbb N, \mathcal P(\mathbb N))\) peuvent s'exprimer de manière similaire:
Petit Exercice 4.2.2. Mesures sur \((\mathbb N, \mathcal P(\mathbb N))\).
Montrer que si \(\mu\) est une mesure sur \((\mathbb N, \mathcal P(\mathbb N))\text{,}\) alors il existe une suite \((u_n)_n\in (\overline R_+)^\mathbb{N}\) telle que
\begin{equation*}
\mu = \sum_{n\in \mathbb N}u_n\delta_n
\end{equation*}
