Section 5.3 Comparaison Cesàro-Hölder
Une question demeure: qui est le plus puissant entre une sommation \((\mathcal H,p)\) et une sommation \((\mathcal C,p')\) ?
Théorème 5.3.1.
Pour un même entier \(p\text{,}\) les sommations \((\mathcal H,p)\) et \((\mathcal C,p)\) sont équivalentes: si \((a_n)_n\) est une suite de réels, alors
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^\infty a_n = s \quad [H,p] \quad \text{ ssi }\quad\sum_{n=0}^\infty a_n = s \quad [C,p]
\end{equation*}
Pour montrer ça, on va se baser sur la proposition suivante:
Proposition 5.3.2.
Soit \((a_n)_n\) une suite de réels. On note, d'une part
\begin{align*}
S_n^{(0)}\amp=S_n=a_0+...+a_n\\
\forall p\geq 1, S_n^{(p)}\amp=\sum_{k=0}^nS^{(p-1)}_k=S^{(p-1)}_0+...+S^{(p-1)}_n\\
c_n^{(p)}=\frac{S_n^{(p)}}{\binom{n+p}{n}} \amp\leadsto S_n^{(p)} = \binom{n+p}{n}c_n^{(p)}
\end{align*}
1 et d'autre part,
\begin{align*}
m_n=m^{(0)}_n\amp =\frac{S_0+...+S_n}{n+1}\\
\forall p\geq 1, m_n^{(p)}\amp=\sum_{k=0}^nm^{(p-1)}_k=m^{(p-1)}_0+...+m^{(p-1)}_n\\
\widetilde c_n^{(p)}=\frac{m_n^{(p)}}{\binom{n+p}{n}} \amp\leadsto m_n^{(p)} = \binom{n+p}{n}\widetilde c_n^{(p)}
\end{align*}
Alors on a
\begin{equation}
\widetilde c_n ^{(p-1)} \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} s \quad \iff \quad c_n ^{(p)} \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} s\tag{5.3.1}
\end{equation}
autrement dit,
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^\infty a_n = s \quad [C,p] \quad \iff \quad \sum_{n=0}^\infty m_n = s \quad [C,p-1]
\end{equation*}
Voyons ça de plus près:
Exercice 5.3.1. Equivalence Cesàro-Hölder.
(a)
Montrer que si la Proposition 5.3.2 est vraie, alors on peut en déduire le Théorème 5.3.1.
Indice.
Pour une suite \((u_n)_n\text{,}\) notons
\begin{equation*}
c_n^{(p)}(u) \text{ et } H_n^{(p)}(u)
\end{equation*}
les suites associés aux méthodes de sommation \((\mathcal C,p)\) et \((\mathcal H,p)\text{:}\) je veux dire par là
\begin{align*}
\sum_{n=0}^\infty a_n = s \quad [C,p] \amp\iff c_n^{(p)}(u)\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}s,\\
\sum_{n=0}^\infty a_n = s \quad [H,p] \amp\iff H_n^{(p)}(u)\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}s.
\end{align*}
Ce qu'on suppose, c'est donc donc que
\begin{equation*}
c_n^{(p)}(a) \rightarrow s \iff c_n^{(p-1)}(H^{(1)}(a))\rightarrow s.
\end{equation*}
Peut-on atteindre \(H_n^{(p)}(a)=c_n^{(1)}(H^{(p-1)}(a))\) à partir de là ?
(b)
\(\leadsto\) Plus qu'à montrer la Proposition 5.3.2 !
On va commencer par montrer que, si \((u_n)_n\) est n'importe quelle suite, alors, pour tous entiers \(q,n\)
\begin{equation*}
\sum_{i=0}^n (i+q)u_i = (n+q+1)u_n^{(1)}-u_n^{(2)}
\end{equation*}
où on note \(u_n^{(1)}= u_0+...+u_n\) et \(u_n^{(2)}= u_0^{(1)}+...+u_n^{(1)}\text{.}\)
Indice.
En partant de \(\sum_{i=0}^n (i+q)u_i\text{,}\) sortir le terme en \(i=0\) et remarquer que \(u_0=u^{(1)}_0.\) Et pour les autres, remarquer que, pour \(i\geq 1\text{,}\) \(u_i=u_i^{(1)}-u_{i-1}^{(1)}\text{.}\) Ce qui permet d'obtenir, après quelques réarrangements créatifs:
\begin{equation*}
\sum_{i=0}^n (i+q)u_i = (n+q)u_n^{(1)}-\sum_{i=0}^{n-1}u_i^{(1)}
\end{equation*}
et de là, il ne manque qu'un \(u_n^{(1)}\) à la somme de droite pour donner \(u_n^{(2)}\text{.}\)
(c)
En déduire que
\begin{equation*}
S_n^{(2)} = (n+2)m_n^{(1)}-m_n^{(2)}
\end{equation*}
Indice.Noter que pour tout \(i\text{,}\) \(S_i^{(1)}=(i+1)m_i\text{.}\)
(d)
De là, montrer qu'en fait, pour tout \(n\in\N\) et pour tout \(p\geq 1,\)
\begin{equation*}
S_n^{(p)}=(n+p)m_n^{(p-1)}-(p-1)m_n^{(p)}
\end{equation*}
Indice.Ca commence un peu comme nettoyer. Non pardon, récurer, ça commence comme récurer.
(e)
En déduire que, pour tout \(n\in\N\) et pour tout \(p\geq 1,\)
\begin{equation}
c_n^{(p)} = p\widetilde c_n^{(p-1)}-(p-1)\widetilde c_n^{(p)}\tag{5.3.2}
\end{equation}
(f)
On a maintenant tout ce qu'il faut pour montrer l'équivalence (5.3.1).
\(\boxed{\Rightarrow}\) Montrer que si \(\widetilde c_n^{(p-1)}\rightarrow s\) alors \(c_n^{(p)}\rightarrow s\text{.}\)
Indice.Rappelons qu'on a montré que, pour toute suite \((u_n)_n\text{,}\) si \(\sum u_n\) \((\mathcal C,p-1)\)-converge vers \(s\) alors \(\sum u_n\) \((\mathcal C,p)\)-converge vers le même \(s\text{.}\)
(g)
\(\boxed{\Leftarrow}\) Montrer que
\begin{equation*}
S_n^{(p)} = (n+1)m_n^{(p)}-(n+p)m_{n-1}^{(p)}
\end{equation*}
et en déduire que
\begin{equation*}
c_n^{(p)} = (n+1)\widetilde c_n^{(p)}- n \widetilde c_{n-1}^{(p)}
\end{equation*}
Indice.Remarquer que \(m_n^{(p-1)}=m_n^{(p)}-m_{n-1}^{(p)}\text{.}\)
(h)
De là, montrer que
\begin{equation}
\widetilde c_n^{(p)} = \frac{c_n^{(p)}+...+c_0^{(p)}}{n+1}\tag{5.3.3}
\end{equation}
(i)
Supposons maintenant que \(c_n^{(p)}\rightarrow s\text{.}\) En déduire que \(\widetilde c_n^{(p)}\rightarrow s\) puis que \(\widetilde c_n^{(p-1)}\rightarrow s\text{.}\)
Donc pour résumer, les deux familles de sommation de Hölder et de Cesàro sont de puissances équivalentes et nous donne les mêmes sommes infinies (ce qui est rassurant !). Pour étudier une somme donnée, ou une propriété générale, on peut utiliser celle des deux méthodes qui semble la plus pratique.
Par exemple:
Petit Exercice 5.3.3. Stabilité de Hölder.
Quel que soit \(p\in\N\text{,}\) la sommation \((\mathcal H,p)\) est stable:
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^\infty a_n = s\quad [\mathcal H,p] \iff \sum_{n=1}^\infty a_n = s-a_0 \quad [\mathcal H,p]
\end{equation*}
