Sommes des entiers - oui, tous

Chapitre 2 Comment raisonnablement sommer les sommes déraisonnables ?

Ce qu'il nous faut, c'est une nouvelle façon de calculer les sommes infinies: autrement dit, un procédé \(\mathcal S\) à qui on puisse donner une suite \((a_n)_n\) et qui nous rend un réel \(S\) tel qu'il ne soit pas totalement délirant d'écrire

¹

\(\leadsto\) A part calculer les sommes \(S_n=a_0+a_1+...a_n\text{,}\) en ajoutant de plus en plus de termes, et regarder si ça se rapproche de \(S\text{,}\) qu'est-ce qui pourrait nous donner de bonnes raisons de penser que \(S\) est la somme de tous les \(a_n\) ?

Il n'y a pas si longtemps (Section 1.2), on a eu l'impression qu'on avait de bonnes raisons de penser que

et que

Pour la première somme, il nous a semblé qu'on devrait pouvoir faire

• On devrait pouvoir isoler le premier terme de la somme des autres termes

• On devrait pouvoir factoriser une somme infinie par \(-1\) (ou, soyons fous, par n'importe quelle constante)

Et pour la deuxième:

• A nouveau, on a isolé le premier terme de la somme, et on a factorisé par -1

• On devrait pouvoir aussi additionner deux sommes infinies en additionnant leurs termes respectifs 1 à 1.

\(\leadsto\) Ces exigences semblent raisonnables, et on va donc les exiger.

On cherchera des méthodes de sommations \(\mathcal S\) qui vérifient les propriétés fondamentales suivantes:

1. Linéarité 1: Si

   \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty a_n =S\ [\mathcal S]\text{,} \end{equation*}

   alors pour tout \(\lambda\in\R\text{,}\)

   \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty \lambda a_n = \lambda S\ [\mathcal S] \end{equation*}

2. Linéarité 2: Si

   \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty a_n =S\ [\mathcal S] \text{ et } \sum_{n=0}^\infty b_n =T\ [\mathcal S]\text{,} \end{equation*}

   alors

   \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n) =S+T\ [\mathcal S]\text{.} \end{equation*}

3. Stabilité: ² Si \(\sum_{n=0}^\infty a_n =S\ [\mathcal S]\) alors \(\sum_{n=1}^\infty a_n =S-a_0\ [\mathcal S]\text{.}\)

4. Régularité:³ Si

   \begin{equation*} S_n=\sum_{k=0}^n a_k \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} S \in \R\text{,} \end{equation*}

   alors

   \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty a_n =S\ [\mathcal S]\text{.} \end{equation*}

Ce sont ces propriétés raisonnables qu'on a utilisées pour calculer les sommes "intermédiaires" \(A\) et \(B\) dans le Section 1.2 (notre premier calcul de la somme des entiers).

En revanche, pour faire marcher les calculs de la Section 1.3, on a utilisé en plus des regroupement de termes par paquets et des réorganisations.

Or, comme on peut le voir par ici⁴, ces opérations, même si elles ont l'air intuitives, ont tendance à prendre l'eau quand on les applique à des sommes infinies. D'où l'intérêt d'être prudent !

Maintenant, voyons quelles méthodes de sommation on va pouvoir inventer avec cette liste de desiderata.