Le retour du produit d'Augustin

Subsection 4.3 Le retour du produit d'Augustin - Cesàro edition

Et, en revenant brièvement au produit de Cauchy, Cesàro avait montré que, certes, le produit de Cauchy de deux séries convergentes ne converge pas, mais elle Cesàro-converge.

Mais du coup, si deux séries Cesàro-convergent, peut-être leur produit de Cauchy Cesàro-Cesàro-converge ?

C'est bien le cas, et même encore plus généralement:

Théorème 4.3.3.

Si la série \(\sum a_n\) \((\mathcal H,p)\)-converge, et la série \(\sum b_n\) \((\mathcal H,q)\)-converge, alors leur produit de Cauchy, de terme général

\begin{equation*} p_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \end{equation*}

converge avec \((\mathcal H,p+q+1)\text{.}\)

\(\leadsto\) En particulier, puisque \(\sum (-1)^n\) \((\mathcal C,1)\)-converge, donc \((\mathcal H,1)\) converge, son carré de Cauchy \(\sum (-1)^{n+1}n\) doit, au pire, \((\mathcal H,3)\)-converger. On a eu mieux, puisqu'en fait, la somme alternée des entiers \((\mathcal H,2)\)-converge.

Exercice Cesaro-produit de Cauchy

On ne va pas montrer le théorème dans toute sa splendeur, pour la même raison qu'on a laissé la stabilité de \((\mathcal H,p)\) de côté pour le moment: il n'est pas évident, passé \(p=1\text{,}\) d'exprimer les \(H_n^{(p)}\) directement en fonction des \(a_n\text{,}\) ce qui complique l'étude du produit de Cauchy⁶.

On va se contenter de le faire pour \(p=q=0\text{.}\)

1.

On suppose donc que les séries de terme général \((a_n)_n\) et \((b_n)_n\) tradi-convergent, et il s'agit de montrer que leur produit de Cauchy, c'est-à-dire la série de terme général

\begin{equation*} p_n = a_0b_n+a-1b_{n-1}+....+a_nb_0 \end{equation*}

Cesàro-converge. On va noter, pour \(n\in\N\)

\begin{equation*} A_n=\sum_{k=0}^n a_k, A=\sum_{k=0}^\infty a_k,\ B_n=\sum_{k=0}^n b_k,\ B=\sum_{k=0}^\infty b_k\ , P_n=\sum_{k=0}^n p_k. \end{equation*}

Histoire d'être d'accord sur le programme, écrire en fonction de \(A_n,B_n\) et \(P_n\) ce qu'on sait, et ce qu'on doit démonter.

Spoiler.

2.

Montrer que, pour tout \(n\in\N\text{,}\)

\begin{equation*} P_n=a_0B_n+a_1B_{n-1}+...+a_nB_0 \end{equation*}

Spoiler.

3.

En déduire que

\begin{equation*} P_0+...+P_n = A_0B_n+A_1B_{n-1}+...+A_nB_0 \end{equation*}

et donc que

\begin{equation*} P_1+...+P_n = (A_0B_n+A_1B_{n-1}+...+A_nB_0)-a_0b_0 \end{equation*}

Spoiler.

4.

La sagesse ancestrale du yin et du yang nous eneigne que tout yang \(Truc\) est équilibré par son yin \(-Truc\) (ou quelque chose comme ça).

Aussi nous remarquons que, pour tout \(k=0....,n\text{,}\) \(A_k=(A_k-A)+A\text{.}\) On en déduit que

\begin{equation*} \sum_{k=0}^n A_kB_{n-k}= \underbrace{\sum_{k=0}^n(A_k-A)B_{n-k}}_{Somme\,1} + \underbrace{\sum_{k=0}^n AB_{n-k}}_{Somme\,2} \end{equation*}

Justifier qu'il existe \(M\in\R^+\) tel que

\begin{equation*} |Somme\,1|\leq M\sum_{k=0}^n |A_k-A| \end{equation*}

En déduire que

\begin{equation*} \frac1{n+1} Somme\, 1 \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{}0 \end{equation*}

Indice.

On pourra faire preuve de conscience écologique en recyclant la preuve de la régularité de la sommation de Cesàro.

Spoiler.

5.

Montrer que, d'un autre côté,

\begin{equation*} \frac1{n+1} Somme\, 2 \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{}AB \end{equation*}

Indice.

Là aussi, on pourra recycler la régularité de \((\mathcal C,1)\text{.}\)

Spoiler.

6.

En déduire que

\begin{equation*} \sum p_n = AB\ [\mathcal C,1] \end{equation*}

Spoiler.

Dans un manque de respect flagrant pour le problème de la déforestation, je vous invite à essayer !