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Section 2 Normes sur \(\mathbb R^d\)

Le but de ce complément est de démontrer que toutes les normes sur \(\mathbb R^d\) sont équivalentes. Rappelons d'abord la définition d'une norme sur un espace vectoriel.

Définition 2.1.

Soit \(E\) un espace vectoriel sur \(\mathbb K\) 1 . Une norme sur \(E\) est une application \(N:E\rightarrow \mathbb R\) qui vérifie les 4 propriétés suivantes:

N1
Pour tout \(\vec x\in E, N(\vec x)\geq 0\text{.}\)
N2
Pour tout \(\vec x\in E, N(\vec x)=0\iff \vec x = \vec 0\text{.}\)
N3
Pour tout \(\vec x\in E\) pour tout \(\lambda\in \mathbb K\text{,}\) \(N(\lambda\vec x)=|\lambda|N(\vec x).\text{.}\)
N4 2 
Pour tous \(\vec x,\vec y\in E, N(\vec x+\vec y)\leq N(\vec x)+N(\vec y)\text{.}\)

Sur \(\mathbb R^d\text{,}\) il existe tout un tas de normes. Soit \(\vec x=(x_1,\ldots,x_d)\in \mathbb R^d\text{,}\) les fonctions \(\mathbb R^d \rightarrow \mathbb R\) définies par

\begin{gather*} \|\vec x\|_1=\sum_{i=1}^d |x_i|\\ \|\vec x\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^d |x_i|^2}\\ \|\vec x\|_\infty = \max_{i=1,\ldots,d}|x_i| \end{gather*}

définissent toutes les trois des normes sur \(\mathbb R^d\text{.}\)

En fait, plus généralement, pour tout réel \(p\geq 1\text{,}\) la fonction

\begin{equation*} \|\vec x\|_p=\left(\sum_{i=1}^d |x_i|^p\right)^{\frac1p} \end{equation*}

est une norme: pour \(p=2\) et \(p=1\text{,}\) on retrouve les normes précédemment définies et, pour tout \(\vec x\in \mathbb R^d\text{,}\)

\begin{equation*} \lim_{p\rightarrow\infty} \|\vec x\|_p = \|\vec x\|_\infty \end{equation*}

Soit \(\vec x\in \mathbb R^d\text{.}\) Deux cas se présentent:

  • Si \(\vec x = \vec 0\) alors pour tout \(p\geq 1\text{,}\)

    \begin{equation*} \|\vec 0\|_p=0\xrightarrow[p\rightarrow\infty]{} 0 =\|\vec 0\|_\infty \end{equation*}

    Bon, c'était le cas facile.

  • Si \(\vec x \neq \vec 0\text{,}\) alors il existe \(i_0\in\{1,\ldots,d\}\) tel que \(|x_{i_0}|=\max_{i=1,\ldots,d}|x_i|=\|\vec x\|_\infty\gt 0\text{.}\) Mais alors, pour \(p\geq 1\text{,}\)

    \begin{align*} \|\vec x\|_p\amp=\left(\sum_{i=1}^d |x_i|^p\right)^{\frac1p}\\ \amp=\left(\sum_{i=1}^d |x_{i_0}|^p\left(\frac{|x_i|}{|x_{i_0}|}\right)^p\right)^{\frac1p}\\ \amp=|x_{i_0}|\left(\sum_{i=1}^d \left|\frac{x_i}{x_{i_0}}\right|^p\right)^{\frac1p}\\ \amp=\|\vec x\|_\infty e^{\frac1p\ln\left(\sum_{i} \left|\frac{x_i}{x_{i_0}}\right|^p\right)} \end{align*}

    Or, pour \(i\neq i_0\text{,}\) \(|x_i|\leq |x_{i_0}|\) donc

    \begin{equation*} \left|\frac{x_i}{x_{i_0}}\right|^p \leq 1 \end{equation*}

    Donc

    \begin{equation*} \ln\left(\sum_{i} \left|\frac{x_i}{x_{i_0}}\right|^p\right) \leq \ln(1+d) \end{equation*}

    Donc

    \begin{equation*} \frac1p\ln\left(\sum_{i} \left|\frac{x_i}{x_{i_0}}\right|^p\right) \xrightarrow[p\rightarrow\infty]{} 0 \end{equation*}

    et, de là,

    \begin{equation*} \|\vec x\|_p=\|\vec x\|_\infty e^{\frac1p\ln\left(\sum_{i} \left|\frac{x_i}{x_{i_0}}\right|^p\right)} \xrightarrow[p\rightarrow\infty]{} \|\vec x\|_\infty . \end{equation*}

Une façon de "visualiser" les différentes normes, est de comprendre quel est l'ensemble des vecteurs de norme 1: c'est ce que permet la notion de boule ou de sphère dans un espace vectoriel normé.

Ci dessous, la boule unité pour la norme \(\|.\|_1\) sur \(\mathbb R^2\text{:}\)

Pour la norme \(\|.\|_2:\)

Pour la norme \(\|.\|_\infty\text{:}\)

Enfin, vous trouverez ici un programme permettant de voir ce que ça donne pour les normes \(\|.\|_p\) 3 . Pour le faire marcher: allez dans le menu "Cell" et cliquez sur "Run All". Puis remontez en haut de la page 4 .

Mais ce ne sont pas les seules normes possibles sur \(\mathbb R^d\text{:}\) on peut en construire bien d'autres:

Par exemple, pour tout \(a_1,\ldots,a_d\) réels strictement positifs, la fonction

\begin{equation*} N:(x_1,\ldots, x_d)\in \mathbb R^d \mapsto \sum_{k=0}^d a_i|x_i| \in \mathbb R \end{equation*}

est une norme sur \(\mathbb R^d\text{.}\) Et on peut combiner des normes pour en construire d'autres:

  • Si \(N_1\) et \(N_2\) sont deux normes sur \(\mathbb R^n\text{,}\) alors leur somme \(N_1+N_2\) est aussi une norme sur \(\mathbb R^n\text{;}\)

  • Si \(N\) est une norme sur \(\mathbb R^n\text{,}\) et \(\alpha>0\text{,}\) alors \(\alpha N\) est une norme sur \(\mathbb R^d\text{.}\)

Ok, mais pour quoi faire ?

Ce qu'on veut vraiment faire, c'est définir des outils qui nous permettront d'étudier des suites et des fonctions plus générales que des suites réelles et des fonctions \(\R\rightarrow\R\text{.}\)

Par exemple, certains phénomènes (le PIB, l'inflation, etc...) sont représentés par une valeur numérique qui est mise à jour tous les ansen fonction de sa valeur précédente: une suite récurrente \(u_{n+1}=f(u_n)\text{.}\)

Mais si on a plusieurs phénomènes interdépendants, on aura plutôt

\begin{equation*} \begin{cases} u_{n+1} \amp = f_1(u_n,v_n,w_n)\\ v_{n+1} \amp = f_2(u_n,v_n,w_n)\\ w_{n+1} \amp = f_3(u_n,v_n,w_n) \end{cases} \end{equation*}

et il serait donc utile de plutôt savoir étudier la suite vectorielle \((A_n=(u_n,v_n,w_n))_n\text{;}\) et pour ça, il serait bon de pouvoir dire quelque chose sur la fonction

\begin{equation*} f:(x,y,z)\in\R^3 \mapsto (f_1(x,y,z),f_2(x,y,z),f_3(x,y,z))\in\R^3 \end{equation*}

\(\leadsto\) On voudrait, en un mot, faire de l'analyse sur \(\R^d\) comme on le fait sur \(\R\text{.}\)

Or, les notions d'analyse réelle que l'on connaît (convergence de suites, continuité et dérivation de fonctions) reposent en majorité sur la possibilité de calculer la distance entre deux points.

Or, ça, on sait faire, si on a une norme: si \(\|.\|\) est une norme sur \(\mathbb R^d\text{,}\) on définit la distance entre \(\vec x\) et \(\vec y\) par

\begin{equation*} d(\vec x, \vec y)=\|\vec x - \vec y\| \end{equation*}

Sur \(\mathbb R\text{,}\) la distance entre deux réels est calculée en utilisant la valeur absolue. Comme le montre l'exercice suivant, c'est en fait (quasiment) la seule possibilité:

Projet 2.1. Normes sur \(\mathbb R \).

(a)

Montrer que la valeur absolue

\begin{equation*} |.|: x\in \mathbb R \mapsto |x| \end{equation*}

définit une norme sur l'espace vectoriel \(\mathbb R\text{.}\)

(b)

Montrer que si \(N:\mathbb R \rightarrow \mathbb R\) est une norme sur \(\mathbb R\text{,}\) alors il existe \(\alpha \gt 0\) tel que, pour tout réel \(x\text{,}\) \(N(x)=\alpha |x|\text{.}\)

Indice.

En utilisant N3, calculer \(N(x)\) en l'écrivant \(N(x\cdot 1)\text{,}\) où \(x\in \mathbb R\) est vu comme un scalaire et \(1\in \mathbb R\) est vu comme un vecteur de l'e.v. \(\mathbb R\text{.}\)

Ainsi, toute norme sur \(\mathbb R\) est soit la valeur absolue, soit un multiple de celle-ci: on n'a pas énormément de manières différentes de calculer la distance, donc on utilise la plus simple pour faire de l'analyse. Ca ne changerait pas grand-chose d'en prendre une autre: les mêmes suites convergeraient vers les mêmes limites, les mêmes fonctions seraient continues aux mêmes points, etc.

Mais, comme on a vu, dans \(\mathbb R^d\text{,}\) il y a beaucoup plus de choix ! Parmi toutes ces normes, laquelle utiliser pour faire de l'analyse ? Comment "comparer" ces différentes possibilités ?

C'est la notion d'équivalence des normes qui va répondre à cette question.

Comme toujours, \(\mathbb K = \mathbb R\) ou \(\mathbb C\text{.}\)
Inégalité triangulaire
mybinder.org/v2/gh/cvernier0/normesRn/master?filepath=Normes%20sur%20Rn.ipynb
Ca peut prendre un peu de temps !