Fonction à plusieurs variables - Continuité

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Section 6 Fonction à plusieurs variables - Continuité

Projet 6.1. Fonction non continue dont les fonctions partielles sont continues..

(a)

On définit la fonction

\begin{equation*} f(x,y)=\begin{cases} 1 \amp\text{ si } x=1 \text{ ou } y=2\\ 0 \amp \text{ si } x\neq 1 \text{ et } y\neq 2 \end{cases} \end{equation*}

Montrer que \(x\mapsto f(x,2)\) est continue en 1, et que \(y\mapsto f(1,y)\) est continue en 2, mais que \(f\) n'est pas continue en \((1,2)\text{.}\)

Projet 6.2. Prolongement par continuité.

(a)

Prolonger par continuité la fonction \(f(x,y)=xy\ln(x^2+y^2)\) en \((0,0)\text{.}\)

Projet 6.3. Continuité et ensembles ouverts ou fermés.

(a)

On définit la fonction

\begin{equation*} f(x,y)=\begin{cases} 1 \amp\text{ si } x^2+y^2\leq 2\\ -1 \amp\text{ si } x^2+y^2 \gt 2\\ \end{cases} \end{equation*}

On note

\begin{equation*} E=\{(x,y)\in\R^2, f(x,y)\geq 0\} \end{equation*}

Est-ce que \(E\) est ouvert ? fermé ?

Est-ce que \(f\) est continue ?

Projet 6.4. Maximum d'une fonction continue.

(a)

Soit \(f:\R^n\rightarrow \R\) une fonction continue, telle que:

\(f(x)\geq 0\) pour tout \(x\in\R^n\)
et \(\lim_{\|x\|\rightarrow\infty} f(x)=0\)

Montrer que \(f\) admet un point de maximum.

Montrer par un contre exemple que, par contre, \(f\) n'a pas forcément de point de minimum.

Montrer par un autre contre exemple que, si on ne suppose pas que \(f\) est positive, alors il n'y a pas forcément de point de maximum.