Compléments d'analyse dans \(\mathbb{R}^n\)

On note \((\vec e_1,\ldots,\vec e_d)\) la base canonique de \(\R^d\text{.}\) Alors, pour tout \(\vec x=(x_1,\ldots,x_d)\in\R^d\) on a \(\vec x = x_1\vec e_1 + \ldots +x_d \vec e_d\) donc

Notons \(\alpha=\max_{i=1...,d}N(\vec e_i)\text{.}\) Alors \(a\geq 0\) (car \(N\) vérifie N1 donc \(N(\vec e_i)\geq 0\) pour tout \(i\)). En fait, c'est mieux que ça: puisque pour tout \(i\text{,}\) \(\vec e_i\neq\vec 0\text{,}\) \(N(\vec e_i)\gt 0\) par N2. Donc \(a\gt 0\text{.}\)

On a donc, pour tout \(\vec x \in\R^d\text{,}\)

Soit \(b \gt 0\text{.}\) On a supposé qu'on avait un \(vec x_b \in \mathbb R^d\) tel que \(\|\vec x_b\|_1\gt b N(\vec x_b)\text{.}\) Posons:

Comme \(\|.\|_1\) est une norme, elle vérife N3. Donc, puisque \(\frac1{\|x_b\|_1}\) est un réel positif,

et d'autre part, puisque \(N\) aussi vérifie N3,

\(\leadsto\) Le vecteur \(\vec y_b\) fait le café !

Soit \(n\in \mathbb N^*\text{.}\) Appliquons ce qu'on a obtenu à la question précédente avec \(b=n\text{:}\) on a montré qu'il existe \(\vec y_n\in\R^d\) tel que

ce qui équivaut à

comme souhaité.

Puisque, pour tout \(n\in\N^*\text{,}\) \(\|\vec y_n\|_1 = 1 \text{,}\) on a en particulier

donc la suite réelle \((y_{1,n})_n\) est bornée. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet donc une suis-suite convergente: il existe une application strictement croissante \(\phi_1:\N^*\rightarrow \N^*\) et \(y_1\in \R\) tels que

et c'est exactement ce qu'on voulait.

Comme précédemment, puisque, pour tout \(n\in\N^*\text{,}\) \(\|\vec y_n\|_1 = 1 \text{,}\) on a

et donc en particulier, pour tout \(n\text{,}\)

donc la suite réelle \((y_{2,\phi_1(n)})_n\) est bornée. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet donc une suis-suite convergente: il existe une application strictement croissante \(\phi_2:\N^*\rightarrow \N^*\) et \(y_2\in \R\) tels que

De plus, \((y_{1,\phi_1\circ\phi_2(n)})_n\) est une suite extraite de la suite convergente \((y_{1,\phi_1(n)})_n\) donc

Montrons par récurrence que, pour tout \(i=1,\ldots,d\text{,}\) il existe \(\sigma_i: \N^* \rightarrow \N^*\) strictement croissante telle que, pour tout \(j\leq i\text{,}\) la suite \((y_{j,\sigma_i(n)})_n\) converge.

• Initialisation: Pour \(n=1\text{,}\) on a obtenu plus haut une application strictement croissante \(\phi_1:\N^*\rightarrow \N^*\) et \(y_1\in \R\) tels que

  \begin{equation*} y_{1,\phi_1(n)}\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} y_1 \text{ dans } \R \end{equation*}

• Hérédité: Supposons qu'on a trouvé \(\sigma_i: \N^* \rightarrow \N^*\) strictement croissante telle que, pour tout \(j\leq i\text{,}\) la suite \((y_{j,\sigma_i(n)})_n\) converge vers un réel \(y_j\text{.}\) On cherche maintenant \(\sigma_{i+1}: \N^* \rightarrow \N^*\) strictement croissante et \(y_{i+1}\in \R\) tels que

  \begin{equation*} y_{i+1,\sigma_{i+1}(n)}\rightarrow y_{i+1} \end{equation*}

  et, pour tout \(j\leq i\text{,}\)

  \begin{equation*} y_{j,\sigma_{i+1}(n)}\rightarrow y_j \end{equation*}

  Pour garantir cette deuxième condition, on l'a vu, il suffit que \((y_{j,\sigma_{i+1}(n)})_n\) soit une suite extraite de la suite convergente \((y_{j,\sigma_{i}(n)})_n\text{.}\)

  Considérons donc la suite \((y_{i+1,\sigma_{i}(n)})_n\text{.}\) On a, pour tout \(n\in\N^*\text{,}\)

  \begin{equation*} |y_{i+1,\sigma_{i}(n)}| \leq |y_{1,\sigma_{i}(n)}|+...+|y_{d,\sigma_{i}(n)}| = \|\vec y_{\sigma_{i}(n)}\|_1=1 \end{equation*}

  autrement dit, \((y_{i+1,\sigma_{i}(n)})_n\) est uen suite bornée. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, alle admet donc une sous-suite convergente: il existe \(\phi_{i+1}: \N^* \rightarrow \N^*\) strictement croissante et \(y_{i+1}\in \R\) tels que

  \begin{equation*} y_{i+1,\sigma_{i}(\phi_{i+1}(n)}\rightarrow y_{i+1} \end{equation*}

  Posons \(\sigma_{i+1}=\sigma_{i}\circ \phi_{i+1}\text{.}\) Alors

  1. \(\sigma_{i+1}: \N^* \rightarrow \N^*\) est strictement croissante;

  2. Pour chaque \(j=1...,i\text{,}\) \((y_{j,\sigma_{i+1}(n)})_n\) est une suite extraite de \((y_{j,\sigma_{i}(n)})_n\text{,}\) donc converge vers \(y_j\text{;}\)

  3. \(y_{i+1,\sigma_{i+1}(n)}\rightarrow y_{i+1}\text{.}\)

  Donc on a gagné !

Et donc, pour trouver \(\sigma:\N^*\rightarrow\N^*\) qui fait converger \((y_{i,\sigma(n)})_n\) pour tout \(i\text{,}\) on prend \(\sigma=\sigma_d\text{.}\)

On a, pour tout \(i=1,...,d\text{,}\)

donc

donc \(\|\vec y\|_1=1\neq 0\text{.}\) Puisque \(\|.\|_1\) est une norme, ceci implique que \(\vec y\neq \vec 0\text{.}\)

On a, par l'inégalité triangulaire inversée (Théorème 1.1.5,(i))

Or, pour tout \(n\in\N^*\text{,}\)

Donc \(N(\vec y_{\sigma(n)})\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}N(\vec y)\text{.}\)

L'autre propriété que vérifie \(\vec y_n\text{,}\) c'est que pour tout \(n\in\N^*\text{,}\)

Or on a montré que \(N(\vec y_{\sigma(n)})\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}N(\vec y)\text{,}\) donc, par passage à la limite,

Puisque \(N\) est une norme, ceci implique que \(\vec y = \vec 0\text{.}\)

On a montré que, dans ce cas, \(N_1\) est équivalente ) \(\|.\|_1\text{:}\) il existe \(a_1,b_1\gt 0\) tels que

et on a, de même, \(a_2,b_2\gt 0\) tels que

Du coup, pour tout \(\vec x\in\R^d\text{,}\)

Donc \(N_1\) et \(N_2\) sont équivalentes.

(C'est la transitivité de l'équivalence de normes qu'on a déjà mentionné à la Remarque 3.2.)