Compléments d'analyse dans \(\mathbb{R}^n\)

Section 4 Convexité, concavité

Dans l'idée, une fonction \(f:I\in \R \rightarrow \R\) est convexe si, pour tous \(a,b\) dans \(I\text{,}\) le graphe de \(f\) est en dessous du segment de \(\R^2\) qui relie les points \((a,f(a))\) et \((b,f(b))\text{.}\)

Et inversement, \(f\) est concave si le graphe de \(f\) entre \(a\)et \(b\) est au-dessus du segment qui relie \((a,f(a))\) et \((b,f(b))\text{.}\)

Pour rendre ça un peu plus précis, il nous faut une meilleure description des segments de \(\R\) et de \(\R^2\text{.}\)

Projet 4.1. Segments.

(a)

Soient \(a\lt b\) deux réels. Montrer que

\begin{equation*} [a,b] = \{(1-t)a+tb, t \in [0,1]\} \end{equation*}

Indice.

Spoiler.

(b)

Donner l'équation de la droite qui passe par \((a,f(a))\) et \((b,f(b))\text{.}\)

Spoiler.

(c)

En déduire que si \((x,y)\) est un point du segment de droite de \(\R^2\) qui relie les points \((a,f(a))\) et \((b,f(b))\text{,}\) alors il existe \(t\in[0,1]\) tel que

\begin{equation*} \begin{cases} x=(1-t)a+tb\\ y=(1-t)f(a)+tf(b)\ \end{cases} \end{equation*}

autrement dit, sous forme de vecteurs:

\begin{equation*} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = (1-t)\begin{pmatrix}a\\f(a)\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}b\\f(b)\end{pmatrix} \end{equation*}

Spoiler.

Projet 4.2. Exemples.

(a)

Montrer que la fonction \(x\mapsto |x|\) est convexe sur \(\R\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Montrer (sans utiliser la dérivée !) que la fonction \(x\mapsto x^2\) est convexe sur \(\R\text{.}\)

Indice.

On sait que, quels que soient \(a,b\in\R\text{,}\) \((a-b)^2 \geq 0\text{,}\) et du coup \(a^2 - 2ab + b^2 \geq 0 \Rightarrow a^2 + b^2 \geq 2ab\text{.}\) On en déduit une égalité très utile:

\begin{equation*} \boxed{\forall\, a,b\in \R,\ ab \leq \dfrac{a^2+b^2}2} \end{equation*}

Spoiler.

(c)

Montrer (sans utiliser la dérivée !) que la fonction \(x\mapsto \sqrt x\) est concave sur \(\R^+\text{.}\)

Indice.

Une autre version de l'inégalité utile de la question d'avant:

\begin{equation*} \boxed{\forall\, a,b\in \R^+,\ \sqrt{a}\sqrt{b} \leq \dfrac{a+b}2} \end{equation*}

Spoiler.

(d)

Montrer que les fonctions affines sont à la fois convexes et concaves sur \(\R\text{.}\)

Spoiler.

(e)

Réciproquement, montrer que si une fonction définie sur \(\R\) est à la fois convexe et concave, alors elle est affine.

Indice.

Il s'agit donc de trouver deux réels \(c\) et \(d\) tels que

\begin{equation*} f(x)=cx+d \end{equation*}

\(\leadsto\) Dans ce cas, forcément, \(d=f(0)\text{,}\) et du coup, \(f(x)-f(0)=cx\) sdevrait être une fonction linéaire.

\(\leadsto\) Noter \(\ell(x)=f(x)-f(0)\) et montrer qu'il existe \(c\gt 0\) tel que \(\ell(x)=cx\text{.}\)

Spoiler.

Du coup, si \(f\) est une fonction définie sur un intervalle \(I\text{,}\) alors pour tout \(a \lt b\) dans \(I\text{,}\) si on prend un point entre \(a\) et \(b\text{,}\) on peut l'écrire

• Le point correspondant sur le segment de \(\R^2\) qui relie \((a,f(a))\) et \((b,f(b))\) est

  \begin{equation*} A= (1-t)\begin{pmatrix}a\\f(a)\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}b\\f(b)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}(1-t)a+tb\\(1-t)f(a)+tf(b)\end{pmatrix} \end{equation*}

• Le point correspondant du graphe de \(f\) est le point

  \begin{equation*} B= \begin{pmatrix}x\\f(x)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}(1-t)a+tb\\f((1-t)a)+tb)\end{pmatrix} \end{equation*}

\(\leadsto\) Si \(f\) est convexe, alors \(f((1-t)a+tb) \leq (1-t)f(a)+tf(b)\text{,}\) donc le point \(A\) sur le segment est au-dessus du point \(B\) sur le graphe.

\(\leadsto\) Et si \(f\) est concave, c'est l'inverse.

Donc cette définition décrit bien la situation qui nous intéresse.

Sous-section 4.1 Convexité et dérivée

Si on suppose en plus que \(f\) est dérivable sur \(I\text{,}\) alors il est plus facile de vérifier la convexité:

Proposition 4.3.

Soit \(f:I\rightarrow \R\) une fonction définie sur un intervalle \(I\subset \R\text{.}\) On suppose que \(f\) est dérivable à l'intérieur de \(I\text{.}\)

Alors \(f\) est convexe si, et seulement si, \(f'\) est croissante sur \(I\text{.}\)

Projet 4.3. Preuve de la proposition.

On va montrer ça par double implication.

(a)

\(\boxed{\Rightarrow}\) Supposons que \(f\) est convexe. Soient \(a,b\in I\) tels que \(a \lt b\text{.}\) On veut montrer que \(f'(a) \leq f'(b)\text{.}\)

Soit \(x \in I\) tel que \(a \lt x \lt b.\) Montrer que

\begin{equation*} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{equation*}

Spoiler.

(b)

En déduire que

\begin{equation} f'(a) \leq \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\tag{4.1} \end{equation}

Spoiler.

(c)

Montrer de la même façon que

\begin{equation*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq \frac{f(b)-f(x)}{b-x} \end{equation*}

et, de là, que

\begin{equation} f'(b) \geq \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\tag{4.2} \end{equation}

Spoiler.

(d)

Conclure la première implication.

Spoiler.

(e)

\(\boxed{\Leftarrow}\) Supposons maintenant que \(f'\) est croissante.

Soient \(a,b \in I\text{,}\) \(a \lt b\text{,}\) et \(t\in [0,1]\text{.}\) On doit montrer que

\begin{equation*} f((1-t)a + tb) \leq (1-t)f(a)+t f(b) \end{equation*}

Si \(t=0\) ou \(t=1\text{,}\) l'inégalité est vraie.

Supposons donc \(0\lt t \lt 1\) et notons

\begin{equation*} x_t=(1-t)a + tb \in \,]\,a,b\,[\, \end{equation*}

Justifier qu'il existe \(c \lt c'\) tels que

\begin{align*} f(x_t)-f(a) \amp=f'(c)(x_t-a)\\ f(b) -f(x_t) \amp=f'(c')(b-x_t) \end{align*}

Spoiler.

(f)

En déduire que

\begin{equation*} f(x_t) \leq f(a) + t(b-a) \frac{f(b)-f(x_t)}{(1-t)(b-a)} \end{equation*}

Spoiler.

(g)

En déduire que

\begin{equation*} f(x_t) + \frac{t}{1-t}f(x_t) \leq \frac{(1-t)f(a)+tf(b)}{1-t} \end{equation*}

Spoiler.

(h)

Conclure la deuxième implication.

Spoiler.

Une autre caractérisation des fonctions convexes compare leur graphe aux droites tangentes:

Proposition 4.4.

Soit \(f:I\rightarrow \R\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\subset \R\text{.}\)

Alors \(f\) est convexe si, et seulement si, sa courbe représentative est au-dessus de chacune des tangentes.

Projet 4.4. Preuve.

Pour ne pas changer, on va procéder par double implication.

Soit donc \(f:I\rightarrow \R\) une fonction dérivable.

(a)

Rappeler l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) en un point \(a\in I\text{.}\)

Spoiler.

(b)

\(\boxed{\Rightarrow}\) Supposons que \(f\) est convexe. Soit \(a\in I\text{.}\) Montrer que, pour tout \(x\in I\text{,}\)

\begin{equation*} f(x)\geq f'(a)(x-a)+f(a) \end{equation*}

et conclure.

Spoiler.

(c)

\(\boxed{\Leftarrow}\) Supposons maintenant que \(f\) est une fonction dont le graphe est au-dessus des tangentes.

Soient \(a,b\in I\text{,}\) montrer que

\begin{equation*} (f'(a)-f'(b))(b-a)\leq 0 \end{equation*}

et conclure.

Indice.

Spoiler.

Et pour savoir si \(f'\) est croissante... on fait comme d'habitude: on la dérive (si on peut !)

Proposition 4.5.

Soit \(f:I\subset \R \rightarrow \R\) un fonction.

On suppose que \(f\) est deux fois dérivable sur \(I\text{.}\)

Alors \(f\) est convexe ssi, pour tout \(x\in I\text{,}\) \(f''(x) \geq 0\text{.}\)