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Section 5 Fonctions à plusieurs variables - Ensemble de définition et limites en un point

Exercices Ensembles de définition

Quel est l'ensemble de définition des fonctions suivantes ?

1.

\begin{equation*} f_1(x,y)=3x+2y+7 \end{equation*}
Figure 5.1. Graphe de \(f_1\)

2.

\begin{equation*} f_2(x,y)=\ln(2xy) \end{equation*}
Figure 5.2. Graphe de \(f_2\)
Spoiler.
Figure 5.3. Ensemble de définition

3.

\begin{equation*} f_3(x,y)=y\ln(x) \end{equation*}
Figure 5.4. Graphe de \(f_3\)
Spoiler.
Figure 5.5. Ensemble de définition

4.

\begin{equation*} f_4(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \end{equation*}
Figure 5.6. Graphe de \(f_4\)
Spoiler.
Figure 5.7. Ensemble de définition

5.

\begin{equation*} f_5(x,y)=\ln\left(\frac{x\sqrt{1+y}}{x-1}\right) \end{equation*}
Figure 5.8. Graphe de \(f_5\)
Spoiler.
Figure 5.9. Ensemble de définition

6.

\begin{equation*} f_6(x,y)=y\ln(x)\sqrt{4-x} \end{equation*}
Figure 5.10. Graphe de \(f_6\)
Spoiler.
Figure 5.11. Ensemble de définition

7.

\begin{equation*} f_7(x,y)=\sqrt{x^3y^3-1} \end{equation*}
Figure 5.12. Graphe de \(f_7\)
Spoiler.
Figure 5.13. Ensemble de définition

8.

\begin{equation*} f_8(x,y)=e^{\sqrt{x^2+y^2-1}} \end{equation*}
Figure 5.14. Graphe de \(f_8\)
Spoiler.

9.

\begin{equation*} f_9(x,y)=\sqrt{\sin\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)} \end{equation*}
Figure 5.15. Graphe de \(f_9\)
Spoiler.

Voir les graphes ici: https://www.desmos.com/3d/6f43a4d99a

et les ensembles de définition ici: https://www.desmos.com/calculator/751vj4lmeq

Projet 5.1. Règles du logarithme.

On considère deux fonctions:

\begin{align*} f_1(x,y)\amp=\ln(1-x^2)-\ln(1-y^2)\\ f_2(x,y)\amp=\ln\left(\frac{1-x^2}{1-y^2}\right) \end{align*}

(a)

Donner le domaine de définition de \(f_1\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Donner le domaine de définition de \(f_2\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Ces deux fonctions sont-elles égales ?

Exercices Limites en 0

Trouver, si elles existent, les limites en \((0,0)\) des fonctions suivantes. Et s'il n'y a pas de limite, expliquer pourquoi !

1.

\begin{equation*} g_1(x,y)=\dfrac{x^4}{x^2+y^2} \end{equation*}
Figure 5.18. Graphe de \(g_1\)

2.

\begin{equation*} g_2(x,y)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{equation*}
Figure 5.19. Graphe de \(g_2\)

3.

\begin{equation*} g_3(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{equation*}
Figure 5.20. Graphe de \(g_3\)
Indice.

Ci-dessous, on a, en rouge, l'image de la courbe \(\gamma_1(t)=(0,t), t\in[-1,1]\) par \(g_3\text{,}\) et en bleu, l'image de la courbe \(\gamma_2(t)=(t,0)), t\in[-1,1]\text{.}\)

4.

\begin{equation*} g_4(x,y)=\frac{xy}{\|(x,y)\|}e^{\|(x,y)\|} \end{equation*}
Figure 5.21. Graphe de \(g_4\)

5.

\begin{equation*} g_5(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^4+y^2} \end{equation*}
Figure 5.22. Graphe de \(g_5\)
Indice.

Ci-dessous, on a, en bleu, l'image de la courbe \(\gamma_1(t)=(t,t^2),t\in[-1,1]\) par \(g_5\text{,}\) et en violet, l'image de la courbe \(\gamma_2(t)=(t,-t^2)), t\in[-1,1]\text{.}\)

6.

\begin{equation*} g_6(x,y)=\dfrac{x^2+y^2}{x} \end{equation*}
Figure 5.23. Graphe de \(g_6\)
Indice.

Ci-dessous, on a, en bleu, l'image de la courbe \(\gamma_1(t)=(t,\sqrt{t}),t\in[0,2]\) par \(g_6\text{,}\) et en violet, l'image de la courbe \(\gamma_2(t)=(t,0)), t\in[-1,1]\text{.}\)

7.

\begin{equation*} g_7(x,y)=\frac{\sin^2(xy)}{x^2+y^2} \end{equation*}
Figure 5.24. Graphe de \(g_7\)

8.

\begin{equation*} g_8(x,y)=\dfrac{x^3+y^5}{x^2+y^4} \end{equation*}
Figure 5.25. Graphe de \(g_8\)

9.

\begin{equation*} g_9(x,y)=\dfrac{x^3y^3}{x+y} \end{equation*}
Figure 5.26. Graphe de \(g_9\)
Indice.

Ci-dessous, on a, en rouge, l'image de la courbe \(\gamma_1(t)=(t,t),t\in[-1,1]\) par \(g_9\text{,}\) et en bleu, l'image de la courbe \(\gamma_2(t)=(t,-t+t^7)), t\in[-1,1]\text{.}\)

Projet 5.2. Limite en 0 et paramètre.

Soient \(\alpha,\beta \geq 0\text{.}\) On considère la fonction:

\begin{equation*} f(x,y)=\frac{|x|^\alpha|y|^\beta}{x^2+y^2} \end{equation*}
Figure 5.27. Graphe de \(f\) pour \(\alpha=1.5,\beta=2\)
Figure 5.28. Graphe de \(f\) pour \(\alpha=0.7,\beta=0.5\)

(a)

Sur ce graphique : https://www.desmos.com/3d/43f0a68879, faire varifer \(\alpha\) et \(\beta\) et poser une hypothèse sur les valeurs de \(\alpha\) et \(\beta\) qui donnent une limite finie en \((0,0)\text{.}\)

(b)

Montrer que \(f\) a une limite finie en \((0,0)\) ssi \(\alpha+\beta \gt 2\text{.}\)

Projet 5.3. Limites "non commutatives".

(a)

On considère la fonction \(f(x,y)=\dfrac{x^2}{x^2+y^2}\text{.}\)

Montrer que

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0}\left(\lim_{y\rightarrow 0} f(x,y) \right)\neq \lim_{y\rightarrow 0}\left(\lim_{x\rightarrow 0} f(x,y) \right) \end{equation*}
Figure 5.29. Graphe de \(f\text{.}\)
Spoiler.

(b)

On considère la fonction \(g(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}\text{.}\)

Montrer que

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0}\left(\lim_{y\rightarrow 0} g(x,y) \right)= \lim_{y\rightarrow 0}\left(\lim_{x\rightarrow 0} g(x,y) \right) \end{equation*}
Figure 5.30. Graphe de \(g\text{.}\)
Spoiler.

(c)

On considère la fonction

\begin{equation*} h(x,y)=\begin{cases} y\sin\left(\dfrac1x\right)+x\sin\left(\dfrac1y\right) \text{ si } x\neq 0 \text{ et } y\neq 0\\ 0 \text{ si } x=0 \text{ ou } y=0 \end{cases} \end{equation*}

Montrer que:

  1. \(\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}h(x,y)\) existe;

  2. mais \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\left(\lim_{y\rightarrow 0} h(x,y) \right)\) et \(\displaystyle \lim_{y\rightarrow 0}\left(\lim_{x\rightarrow 0} h(x,y) \right)\) n'existent pas.

Spoiler.