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Section 7 Fonctions à plusieurs variables - Dérivabilité

Définition 7.1.

Soit \(f:D\subset \R^2 \rightarrow \R\) une fonction définie sur un sous-ensemble \(D\) de \(\R^2\text{.}\) Soit \((x_0,y_0)\in D\text{.}\)

  • On définit les dérivées partielles de \(f\) en \((x_0,y_0)\) par

    \begin{align*} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \amp= \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \amp= \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h} \end{align*}

  • Si les deux dérivées partielles de \(f\) en \((x_0,y_0)\) existent, on dit que \(f\) est dérivable en \((x_0,y_0)\text{.}\)

  • Si \(f\) est dérivable en \((x_0,y_0)\text{,}\) on appelle gradient de \(f\) en \((x_0,y_0)\) le vecteur

    \begin{equation*} \nabla f(x_0,y_0)= \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\right) \end{equation*}

Attention à ne pas confondre la dérivabilité de \(f\) en \((x_0,y_0)\) avec la différentiabilité de \(f\) en \((x_0,y_0)\text{.}\)

Définition 7.2.

Soit \(f:D\subset \R^2 \rightarrow \R\) une fonction définie sur un sous-ensemble \(D\) de \(\R^2\text{.}\) Soit \((x_0,y_0)\in D\text{.}\)

On dit que \(f\) est différentiable en \((x_0,y_0)\) si

\begin{equation*} f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0) = \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) h + \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) k + o(\sqrt{h^2+k^2}) \end{equation*}

Autrement dit, si on note \(u_0=(x_0,y_0)\) et \(v=(h,k)\text{,}\)

\begin{equation*} f(u_0+h)-f(u_0) = \nabla f(u_0)\cdot v + o(\|v\|) \end{equation*}
 1 

La différentielle de \(f\) en \(u_0=(x_0,y_0)\) est l'application linéaire

\begin{equation*} df(x_0) : v \in \R^2 \mapsto \nabla f(u_0)\cdot v \end{equation*}

La différentiabilité de \(f\) en \((x_0,y_0)\) est la condition à vérifier pour que le graphe de \(f\) (qui est une surface, voir ci-dessous) ait un plan tangent au point \((x_0,y_0)\text{.}\)

Définition 7.3.

Si \(f\) est différentiable en \(u_0\text{,}\) le plan tangent à \(f\) en \(u_0\) est le plan d'équation

\begin{equation*} z=f(x_0,y_0)+ \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) (x-x_0) + \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) (y-y_0) \end{equation*}

Attention : Il ne suffit pas qu'une fonction soit dérivable en \((x_0,y_0)\) pour que \(f\) soit différentiable en \((x_0,y_0)\) !

Par contre, on a le résultat suivant:

Les dérivées partielles sont les dérivées de \(f\) dans les "directions" des axes; mais on peut considérer les dérivées dans n'importe quelle direction donnée par un vecteur \(v\text{.}\) On appelle ça... les dérivées directionnelles.

Définition 7.5.

Soit \(f:D\subset \R^2 \rightarrow \R\) une fonction définie sur un sous-ensemble \(D\) de \(\R^2\text{.}\) Soit \(u_0=(x_0,y_0)\in D\text{,}\) \(v=(v_1,v_2)\in \R^2\text{.}\)

Si la limite

\begin{equation*} \lim_{t\rightarrow 0}\dfrac{f(u_0+tv)-f(u_0)}{t} \end{equation*}

existe, on l'appelle dérivée directionnelle de \(f\) en \(u_0\) dans la direction de \(v\text{,}\) et on la note \(D_vf(u_0)\text{.}\)

Attention, 2: Même si une fonction admet des dérivées directionnelles dans toutes les directions, il se peut qu'elle ne soit pas différentiable ! Par exemple, les fonctions

\begin{equation*} f_6(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^4+y^2} \amp\text{ si } (x,y)\neq (0,0)\\ 0 \amp\text{ si } (x,y)= (0,0)\\ \end{cases} \end{equation*}

et

\begin{equation*} f_8(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy^2}{x^2+y^2} \amp\text{ si } (x,y)\neq (0,0)\\ 0 \amp\text{ si } (x,y)= (0,0)\\ \end{cases} \end{equation*}

ont des dérivées directionnelles en \((0,0)\) dans toutes les directions, mais ne sont pas différentiables (on va le voir ci-dessous).

En revanche, on a

Et maintenant, quelques exercices:

Exercices 7.1 Points de dérivabilité et de différentiabilité

Source des graphes: Desmos. Voir par ici 2 .

1.

Montrer que la fonction

\begin{equation*} f_1(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} \end{equation*}

n'est pas dérivable en \((0,0)\text{.}\)

Figure 7.7. Graphe de \(f_1\)
Indice.
Figure 7.8.

Courbe de \(f_1(x,0)\)

Figure 7.9.

Courbe de \(f_1(0,y)\)

\(\leadsto\) Ces courbes ont-elles l'air dérivable en \(0\) ?

2.

En quels points la fonction

\begin{equation*} f_2(x,y)=|xy| \end{equation*}

est-elle dérivable ?

Figure 7.10. Graphe de \(f_2\)
Spoiler.

3.

Etudier la dérivabilité de la fonction

\begin{equation*} f_3(x,y)=|x-y|(x+y) \end{equation*}

aux points \((1,1),(0,0)\) et \((3,2)\text{.}\)

Figure 7.11. Graphe de \(f_3\)
Indice.
Figure 7.12.

Courbe de \(f_3(x,1)\) autour de \(x=1\)

Figure 7.13.

Courbe de \(f_3(1,y)\) autour de \(y=1\)

Figure 7.14.

Courbe de \(f_3(x,0)\) autour de \(x=0\)

Figure 7.15.

Courbe de \(f_3(0,y)\)autour de \(y=0\)

Figure 7.16.

Courbe de \(f_3(x,2)\) autour de \(x=3\)

Figure 7.17.

Courbe de \(f_3(3,y)\) autour de \(y=2\)

Spoiler.

4.

Soit\(\alpha=0\text{.}\) Montrer que la fonction

\begin{equation*} f_4(x,y)=|xy|^\alpha \end{equation*}

est différentiable en \((0,0)\) ssi \(\alpha \gt \dfrac12\text{.}\)

Figure 7.18. Graphe de \(f_4\) avec \(\alpha=0.2\)
Figure 7.19. Graphe de \(f_4\) avec \(\alpha=0.8\)

Voir ici 3  pour les graphes, et modifier le paramètre \(\alpha\text{.}\)

5.

On considère la fonction

\begin{equation*} f_5(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^3+x^2y(y-1)+xy^2-y^3}{x^2+y^2} \amp\text{ si } (x,y)\neq (0,0)\\ 0 \amp\text{ si } (x,y)= (0,0)\\ \end{cases} \end{equation*}

Etudier sa différentiabilité en \((0,0)\text{.}\)

Figure 7.20. Graphe de \(f_5\)
Indice.
Figure 7.21. Surface \(z=f_5(x,y)\) (en violet), et plan \(z=x-y\) (en rouge)
Spoiler.

6.

Montrer que la fonction

\begin{equation*} f_6(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^4+y^2} \amp\text{ si } (x,y)\neq (0,0)\\ 0 \amp\text{ si } (x,y)= (0,0)\\ \end{cases} \end{equation*}

ne vérifie pas la formule

\begin{equation*} D_v (0,0) = \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)v_1+\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) v_2 \end{equation*}
Figure 7.22. Graphe de \(f_6\)
Spoiler.

7.

On considère la fonction

\begin{equation*} f_7(x,y)= xe^{x^2}\sqrt{y} \end{equation*}

Déterminer les points où \(f\) admet des dérivées partielles, et les calculer.

Donner le plus grand ouvert du plan où les dérivées partielles sont continues.

Figure 7.23. Graphe de \(f_7\)
Spoiler.

8.

Calculer les dérivées partielles et directionnelles en \((0,0)\) de la fonction

\begin{equation*} f_8(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy^2}{x^2+y^2} \amp\text{ si } (x,y)\neq (0,0)\\ 0 \amp\text{ si } (x,y)= (0,0)\\ \end{cases} \end{equation*}
Figure 7.24. Graphe de \(f_8\)
Spoiler.

9.

Montrer que la fonction

\begin{equation*} f_9(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy^3}{x^2+y^2} \amp\text{ si } (x,y)\neq (0,0)\\ 0 \amp\text{ si } (x,y)= (0,0)\\ \end{cases} \end{equation*}

est différentiable en \((0,0)\text{:}\)

  1. avec la définition

  2. avec la continuité des dérivées partielles.

Figure 7.25. Graphe de \(f_9\)
Spoiler.

10.

Déterminer les points où la fonction

\begin{equation*} f_{10}(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^3y}{x^2+y^4} \amp\text{ si } (x,y)\neq (0,0)\\ 0 \amp\text{ si } (x,y)= (0,0)\\ \end{cases} \end{equation*}

est continue, dérivable, différentiable.

Figure 7.26. Graphe de \(f_{10}\)
Spoiler.

Projet 7.1. Courbe sur une surface.

(a)

On considère la surface \(\mathcal S\) d'équation

\begin{equation*} z=1-2x^2-y^4 \end{equation*}

et la courbe \(\Gamma\) donnée en coordonnées polaires par l'équation

\begin{equation*} \rho(\theta)=2\theta,\ \theta\in [0,3\pi] \end{equation*}

Autrement dit, \(\Gamma\) est paramétrisée par

\begin{equation*} \gamma(\theta )=(2\theta \cos(\theta ),2\theta \sin(\theta)),\ \theta \in [0,3\pi] \end{equation*}

Donner \(\dfrac{dz}{d\theta}\) en fonction de \theta

Figure 7.27. La courbe \(\Gamma\) dans le plan
Figure 7.28. La surface \(\mathcal S\) avec la courbe image de \(\Gamma\) par la fonction \(f(x,y)=1-2x^2-y^4\)
Spoiler.

Projet 7.2. Gradient et lignes de niveaux.

(a)

Montrer que le gradient de la fonction

\begin{equation*} f(x,y)=y-x \end{equation*}

est orthogonal à ses lignes de niveau.

(b)

Même question pour

\begin{equation*} f(x,y)=e^x \end{equation*}
Spoiler.

Sous-section 7.2 Liens entre toutes les façons de dériver

La situation, pour résumer, est la suivante:

Projet 7.3. Contre-exemples pour les flèches rouges.

(a)

Montrer que la fonction ci-dessous a des dérivées partielles en \((0,0)\text{,}\) mais n'est pas différentiable en \((0,0)\text{:}\)

\begin{equation*} f(x,y)= \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} \amp\text{ si } (x,y)\neq(0,0)\\ 0 \amp\text{ si } (x,y)=(0,0). \end{cases} \end{equation*}
(b)

Montrer que la fonction ci-dessous est continue en \((0,0)\) mais n'a pas de dérivées partielles en \((0,0)\text{:}\)

\begin{equation*} f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} \end{equation*}
(c)

Montrer que la fonction ci-dessous admet des dérivées partielles en \((0,0)\text{,}\) mais n'est pas continue en \((0,0)\text{:}\)

\begin{equation*} f(x,y) = \left\{ \begin{array}{cc} x \amp y=0 \\ 0 \amp \text{otherwise} \end{array}\right. \end{equation*}
(d)

Montrer que la fonction ci-dessous est continue en \((0,0)\) et n'a pas de dérivée directionnelle dans toutes les directions en \((0,0)\text{:}\)

\begin{equation*} f(x,y)=\sqrt{(x-y)^2+(x+y)^2} \end{equation*}
Indice.

(pas de dérivée directiionnelle dans la direction de \(v=(1,1)\) ou \(v=(-1,1)\)

(e)

Montrer que la fonction ci-dessous admet des dérivées directionnelles, mais n'est pas continue en \((0,0)\text{:}\)

\begin{equation*} g(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^2y}{x^4+y^2}\amp \textrm{ si }(x,y)\neq (0,0)\\ 0\amp \textrm{ sinon.} \end{array} \right. \end{equation*}
(f)

Montrer que la fonction ci-dessous est continue, mais pas différentiable:

\begin{equation*} f(x,y)=|xy|^{\frac{1}{3}} \end{equation*}

(voir ci-dessous)

(g)

Montrer que la fonction ci-dessous a des dérivées directionnelles en \((0,0)\) dans toutes les directions, mais n'est pas différentiable:

\begin{equation*} f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy^2}{x^2+y^2} \amp\text{ si } (x,y)\neq (0,0)\\ 0 \amp\text{ si } (x,y)= (0,0)\\ \end{cases} \end{equation*}
(h)

Montrer que la fonction ci-dessous a des dérivées partielle en \((0,0)\text{,}\) mais pas des dérivées directionnelles dans toutes les directions

\begin{equation*} f(x,y)= \begin{cases} \frac{xy}{x^2 + y^2} \amp\text{ si } (x,y)\neq(0,0)\\ 0 \amp\text{ si } (x,y)=(0,0). \end{cases} \end{equation*}
Indice.

Pas de dérivée dans la direction de \((1,1)\)

On rappelle que la notation "petit o" désigne une fonction telle que

\begin{equation*} \dfrac{o(t)}{t} \xrightarrow[t\rightarrow 0]{} 0 \end{equation*}
www.desmos.com/3d/9cf206fd16
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